МАТЕМАТИКА

Найдено 11 определений
Показать: [все] [проще] [сложнее]

Автор: [российский] [зарубежный] Время: [советское] [постсоветское] [современное]

Математика
(от греч. mathema – знание) – наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). По Ф. Энгельсу, чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Источник: Философия логика и методология науки Толковый словарь понятий. 2010 г.

Математика
от греч. mahtematike и mahtema — познание, наука) — наука (группа наук) о количественных отношениях и пространственных формах реального (действительного) мира, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально — о математических множествах и величинах. Математические построения относятся к сфере идеального бытия и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть «применены* к эмпирическим взглядам. Несмотря на строгость математических допущений (аксиом, постулатов) в математике существуют неразрешимые вопросы или неполнота принятых допущений, доказанная австрийским математиком и логиком Куртом Геделем в 1931 году. Неполнота систем является одним из важных критериев научности.

Источник: Начала современного естествознания: тезаурус

Математика
Первоначально наука о величинах, фигурах и числах (см. Аристотель, «Метафизика», книга 13 (М), глава 3). Затем, и чем дальше, тем больше – наука, позволяющая дедуктивно‑гипотетически осмыслить или вычислить множества, структуры, функции, отношения. В том, что реальность подчиняется математике, как это наглядно доказывает математизация физики, нет ничего удивительного. Удивительно то, что реальность ей не подчиняется. Можно математически рассчитать движение падающего с дерева листа. Но падать и кружиться заставляет его отнюдь не математика. А что же? Гравитация, ветер, сопротивление воздуха, т. е. все то, что поддается расчету, но само ничего не вычисляет. Галилей заблуждался, полагая, что Вселенная записана языком математики. На самом деле это человеческий мозг пишет на языке Вселенной, потому что это его родной язык.

Источник: Философский словарь.

Математика
 (греч. — знание) — наука о математических структурах (множествах, между элементами к-рых определены некоторые отношения). По определению Ф. Энгельса, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» («Анти-Дюринг»). На первых этапах развития М., возникшая в глубокой древности под влиянием запросов практики, имела своим предметом простейшие виды чисел и геометрических фигур. Это положение сохранялось в основном до 17 в. С этого времени и вплоть до второй половины 19 в. М. развивалась преимущественно как математический анализ, -к-рый и был открыт в 17 в. Открытие неэвклидовых геометрий и создание теории множеств (Множеств теория) привели к перестройке всего здания М. и созданию совершенно новых ее отраслей. Важное значение приобрела в совр. М. математическая логика. Методы М. широко используются в точном естествознании. Применение ее в биологии и общественных науках до последнего времени носило случайный характер. Создание (под непосредственным влиянием практики) таких отраслей, как линейное программирование, теория игр, теория информации, и появление электронных математических машин открывают здесь совершенно новые перспективы. Философские вопросы М. (характер и происхождение математической абстракции, ее особенности) являлись всегда ареной борьбы между материализмом и идеализмом. Особенно важное значение, имеют философские вопросы, возникшие в связи с проблемами оснований М. (20 в.) (Формализм, Интуиционизм).

Источник: Философский словарь. 1963

МАТЕМАТИКА
наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально - о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика - наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о правилах исчисления этих объектов. Чистая математика занимается величинами как таковыми, прикладная математика имеет дело с измеримыми и исчислимыми явлениями, т.е. с именованными числами. Чистая математика в состоянии вывести, просто "вычислить", свои результаты с помощью некоторых простых понятий и предположений, "аксиом", посредством чисто логических заключений, с правильностью которых должно согласиться каждое здравомыслящее существо ("математическая" достоверность, строгая аргументация). Математические построения .относятся к сфере идеального бытия (см. Бытие) и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть "применены" к эмпирическим взглядам (Кант). На развитие философии математики, т.е. вопроса о ее собственной сущности и ее действительно высших положениях (см. Аксиома) и вопроса о ее значении для теории познания и логики, в новейшее время влияли и влияют Фреге, Рассел, Гильберт, Брауер, или т. н. (математическое) "исследование основ" (см. Логистика). Оно обнаруживает "кризис принципов", углублению которого препятствуют (математический) формализм (Гильберт) и (математический) интуитивизм (Брауэр); это исследование пространно объясняет кризис, но не устраняет его полностью. Оно способствует также важному пониманию того, что в математике существуют неразрешимые вопросы (теорема Геделя). С др. стороны, для обширной области математики может быть приведено окончательное доказательство ее непротиворечивости (Гильберт, Генцен).

Источник: Философский энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКА
наука о количественных отношениях самих по себе, взятых в отвлечении от их действительных носителей, от качественной стороны объектов, или, как говорят, «о количественных отношениях в чистом виде» (Ф. Энгельс, АЛ. Колмогоров). Иногда математику определяют как науку «об абстрактных структурах» (Н. Бурбаки). Понятие «абстрактной структуры» очень близко по содержанию понятию «форма» в ее теоретико-множественном определении, поэтому иногда математику определяют как науку «о формах». (П.С. Александров). Для более однозначного понимания предмета математики важно четкое определение категорий «количество», «число», «форма», «абстрактная структура». В определении Энгельса —Колмогорова число рассматривается как частный случай количества, то есть только как метрически заданное количество. Другим видом количества выступают тогда пространственные и топологические отношения, метрика которых не задана. С другой стороны, «количество» в широком понимании может истолковываться как частный случай «формы» и даже как тождественное ему понятие. Наконец, понятие «абстрактной структуры», с одной стороны, шире интуитивно-содержательного понимания предмета математики (ибо, по крайней мере, логические структуры заведомо являются абстрактными структурами), а, с другой стороны, если под «абстрактными структурами» иметь в виду только «математические структуры», тогда определение математики как «науки об абстрактных структурах» будет очень точным, но тавтологическим. В любом случае важно иметь в виду, что современная математика представляет собой очень сложную многоуровневую и многоаспектную конструкцию. В ней различают «чистую» и «прикладную» математики, формальные и содержательно-интерпретированные теории, конструктивную и неконструктивную (классическую) математику, в которых используются существенно различные средства, методы и критерии приемлемости математических теорий и доказательств. Если при этом иметь в виду очень большое число различных математических дисциплин со своими частными предметами и проблемами (по отношению к общему предмету математики), то становится понятной та огромная мощь и влияние, которые оказывает математика на развитие всей современной науки и культуры. И это влияние благодаря поразительной точности, доказательности и эффективности математического знания будет в дальнейшем только возрастать. (См. количество, форма, вывод, доказательство).

Источник: Философия науки: Словарь основных терминов

Математика
Математикой называют науку об отвлеченных величинах или количествах и формах и многообразных отношениях или пропорциях между ними, с необходимостью вытекающих, на основании одного умственного созерцания. Имея дело с одним отвлеченным созерцанием и не нуждаясь в показаниях чувств и опыта, математика превосходит все другие науки самостоятельностью, точностью и аподиктической достоверностью. Существенная важность математики для основательного естествознания явственна и бесспорна; но и для наук нравственных знание математики или, по крайней мере, основных частей ее очень важно. Несмотря на качественное различие между двумя сферами жизни — физической и нравственной, или ифической, несмотря на то, что эта последняя доступна преимущественно интенсивной силе и полноте самосознания, все же она выражается в орудиях вещественных и познается до некоторой степени в измерениях пространства и времени. А потому самое понимание нравственной жизни, и особенно высшее в науке философской, бывает тем глубже и основательнее, чем больше при изучении жизни и ее проявлений мы можем пользоваться и пособиями математики. Если верно положение схоластиков, что — res oppositae penes se positae magis illucescunt (различие между несходными вещами тем явственнее, чем ближе они сопоставлены), то даже для лучшего понимания отличительных свойств психической или нравственной жизни от физической необходимо знание тех механических законов, которым подлежит весь мир физический (а необходимое орудие для познания этих законов и заключается в математике), чтобы ярко оттенилось существенное несходство между ними, несмотря на то, что нравственные силы живут и действуют тут же, в окружающем нас физическом мире, как своем орудии и символе. Но при всей важности математика, сама по себе, знакомая только с отвлеченными величинами и их пропорциями, далеко еще не соответствовала бы смыслу образования, так как не занимается качествами жизни и тем менее высшею или психическою жизнью и ее самопознанием в человеке, без чего, как без вершины, все низшие ряды жизни составляют и дают только материал — материал громадный и ценный, но все же только материал, слагающийся из бесконечной цепи причин и действий, но не смысл материала, не замкнувшийся в себе круг жизни с сознанием ее начала и цели. В математике различают две основных части: одна, а именно алгебра, занимается численными величинами, а другая — геометрия — очертаниями или формами. Кроме того, различают в математике чистые и прикладные части, и в чистой — высшие вычисления — дифференциальное, интегральное, вариационное и т. д.

Источник: Философский словарь или краткое объяснение философских и других научных выражений встречающихся в истории философии. 1876

Математика
(μανθάνω учусь, μαθηματική). Математикой называют науку об отвлеченных величинах или количествах и формах и многообразных отношениях или пропорциях между ними, с необходимостью вытекающих, на основании одного умственного созерцания. Имея дело с одним отвлеченным созерцанием и не нуждаясь в показаниях чувств и опыта, математика превосходит все другие науки самостоятельностью, точностью и аподиктической достоверностью. Существенная важность математики для основательного естествознания явственна и бесспорна; но и для наук нравственных знание математики или, по крайней мере, основных частей ее очень важно. Несмотря на качественное различие между двумя сферами жизни — физической и нравственной, или ифической, несмотря на то, что эта последняя доступна преимущественно интенсивной силе и полноте самосознания, все же она выражается в орудиях вещественных и познается до некоторой степени в измерениях пространства и времени. А потому самое понимание нравственной жизни, и особенно высшее в науке философской, бывает тем глубже и основательнее, чем больше при изучении жизни и ее проявлений мы можем пользоваться и пособиями математики. Если верно положение схоластиков, что — res oppositae penes se positae magis illucescunt (различие между несходными вещами тем явственнее, чем ближе они сопоставлены), то даже для лучшего понимания отличительных свойств психической или нравственной жизни от физической необходимо знание тех механических законов, которым подлежит весь мир физический (а необходимое орудие для познания этих законов и заключается в математике), чтобы ярко оттенилось существенное несходство между ними, несмотря на то, что нравственные силы живут и действуют тут же, в окружающем нас физическом мире, как своем орудии и символе. Но при всей важности математика, сама по себе, знакомая только с отвлеченными величинами и их пропорциями, далеко еще не соответствовала бы смыслу образования, так как не занимается качествами жизни и тем менее высшею или психическою жизнью и ее самопознанием в человеке, без чего, как без вершины, все низшие ряды жизни составляют и дают только материал — материал громадный и ценный, но все же только материал, слагающийся из бесконечной цепи причин и действий, но не смысл материала, не замкнувшийся в себе круг жизни с сознанием ее начала и цели. В математике различают две основных части: одна, а именно алгебра, занимается численными величинами, а другая — геометрия — очертаниями или формами. Кроме того, различают в математике чистые и прикладные части, и в чистой — высшие вычисления — дифференциальное, интегральное, вариационное и т. д.

Источник: Философский словарь или краткое объяснение философских и других научных выражений. Киев 1876 г.

МАТЕМАТИКА
(Mathematik) — наука, или группа наук, о познаваемых разумом множествах, количествах и структурах, специально — о математических множествах и величинах, например элементарная математика — наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия), и о правилах исчисления этих объектов. Чистая математика занимается величинами как таковыми, прикладная математика имеет дело с практическими способами и упрощенными решениями, относящимися к измеримым и исчислимым явлениям, которые ей доставляют физика и другие области конкретного исследования. Классическая чистая математика в состоянии вывести, просто «вычислить» свои результаты с помощью некоторых простых понятий и предположений (аксиом) посредством чисто логических заключений, с правильностью которых должно согласиться каждое здравомыслящее существо («математическая» достоверность, строгая аргументация). В современном обосновании математики «аксиомы» не являются более очевидными истинами, а формально вводимыми «допущениями», причем речь идет исключительно о непротиворечивости всей системы аксиом. Онтологически рассматриваемые математические построения относятся к сфере идеального бытия и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку они могут быть «применены» к эмпирическим явлениям (Кант). При таком подходе было бы ошибочным причислять математику к естественным наукам. Основание для этого имеет вторичный характер только в том случае, когда результаты идеального математического исследования находят применение и конкретизацию в естественно-научной и технической области. На развитие философии математики, т. е. вопроса о ее собственной сущности и ее действительных или формальных положениях (см. Аксиома) и вопроса о ее значении для теории познания и логики, в новейшее время влияли и влияют Фреге, Рассел, Гильберт, Брауер, т. е. так называемое (математическое) «исследование основ». Оно обнаруживает «кризис принципов», разрешению которого препятствует (математический) формализм (Гильберт), конвенционализм и (математический) интуитивизм (Брауер); это исследование объясняет кризис, но не устраняет его полностью. Оно способствует также важному пониманию того, что в математике существуют неразрешимые вопросы (теорема Гёделя). С другой стороны, для обширной области математики может быть приведено окончательное доказательство ее непротиворечивости (Гильберт, Генцен).
Е. Husserl. Philos, der Arithmetik, 1891; L. Brunschvicg. Les étapes de la philos, mathématique. Paris, 1912; R. Baldus. Formalismus u. Intuitionismus in der M., 1924; H. Dingler. Philos, der Logik u. Arithmetik, 1931; W. Dubislav. Philos, der M. in der Gegenwart, 1932; H. Dingler. Die Grundlagen der Geometrie, 1933; D. Hilbert, P. Bernays. Grundlagen der M., I—II, 1934—1939; E. Colerus. Von Pythagoras bis Hilbert, 1937; R. Courant/ H. Robbins. What is M.? London, 1941 (dt. 1962); B. v. Freytag-Löringhoff. Gedanken zur Philos, der M., 1948; H. Weyl. Philos, der M. und der Naturwiss., 1948, 1976; A. Darbon. La philos, des mathématiques. Paris, 1949; E. A. Maziarz. The Philosophy of M. New York, 1950; O. Becker. Das mathemat. Denken der Antike, 1957; S. Körner. Philosophy of M. London, 1960 (dt. 1968); O. Becker. Grundlagen der M. in geschichtl. Entwicklung, 1964; E. Angelis, W. Risse. Die mathemat. Methode in der Philos., 1970; P. Bernays. Abhandlungen zur Philos, der M., 1976; J. Göckl. Wahrheit u. Beweisbarkeit, 1976; V. N. Molodskii. Studien zu philos. Problemen der M., 1977 (russ. 1969); W. Heitsch. M. und Weltanschauung, 1978; H. Meschkowski. Problemgesch. derM., I—II, 1979—1981; R. Rheinwald. Der Formalismus und seine Grenzen. Unters, zur neueren Philos. der M., 1984; F. Schmitz. Wittgenstein. La philos, et les mathématiques. Paris, 1988.

Источник: Философский словарь [Пер. с нем.] Под ред. Г. Шишкоффа. Издательство М. Иностранная литература. 1961

МАТЕМАТИКА
наука об особых типах формализованных языков. Самое популярное определение предмета М. принадлежит группе французских ученых, известных под псевдонимом Н. Бурбаки: «М. представляется скоплением абстрактных форм — математических структур» [1.С. 258]. На первый взгляд это определение заслуживает полного одобрения, но при ближайшем рассмотрении вызывает сомнение предикат «абстрактные». Что такое абстрактное? Отвлеченное от чего-то. Но как понимать это отвлечение? По этому поводу не в состоянии сообщить ничего вразумительного как философы, так и математики. Часто предпринимаемая попытка интерпретировать абстрактное в качестве тождественного существенному несостоятельна уже постольку, поскольку М. причастна и к несущественному. Абстрактное — термин с неясным концептуальным содержанием. При характеристике предмета М. он вряд ли уместен.
В связи с вышеизложенным резонно отметить, что вопрос о специфике М. стал плодотворно обсуждаться лишь после образования основных философско-математических направлений — логицизма, формализма, интуиционизма (см.). Строго говоря, можно показать, что представители этих направлений по-разному определяли предмет М. Впрочем, Д. Гильберту удалось найти такую формулировку, которая в известной степени удовлетворила всех. «В М. предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки... Все высказывания, которые составляют вместе М., превращаются в формулы, так что сама М. превращается в совокупность формул» [2. С. 366]. Итак, по Гильберту, предметом М. является некий формализованный язык.
Желая конкретизировать его содержание, можно указать, что он реализуется в соответствии с аксиоматическим методом, т.е. в нем в качестве структурных элементов выступают аксиомы, правила вывода и заключения. Разумеется, правомерно желание уточнить тем или иным способом содержание математического метода. Мы лишь подчеркиваем, что без уточнения его содержания невозможно охарактеризовать специфику М. Таким образом, М. — это формализованный язык, реализуемый в соответствии с определенным, например аксиоматическим, методом. Добавим к этому, что в отличие, например, от логики М. имеет дело с такими специфическими референтами, как комплексные числа, геометрические фигуры, вероятности и т.п. Против определения М. как комплекса формализованных языков нет оснований возражать ни у логицистов, ни у интуиционистов, ни у представителей теоретико-множественного направления. Возражения идут со стороны тех, кто склонен видеть за программой формализации М. известное выхолащивание ее содержания, сущности (эссенции). Суть спора между т. наз. формалистами и эссенциалистами состоит, на наш взгляд, в различном понимании соотносительности М. с другими науками. Формалисты полагают, что связь М. с другими науками реализуется за счет особой операции интерпретации. Так, уравнение у = а + bх имеет формализованный характер. Содержательный же характер оно принимает лишь после соответствующей его интерпретации. Так, известное уравнение из физики Vr = Vo + at имеет не только формализованный, но и конкретно-содержательный характер. Его понимание предполагает знание понятий скорости (Vi и Va), ускорения (а) и времени (t). Математику совсем не обязательно знать физику и другие дисциплины. Эссенциалист рассуждает в другом ключе. Он отмечает схожесть уравнений у = а + bх и Vi = = Vo + at. Его позиция такова: у = а + bх заключено, «сидит» в Vi = Vo + at. Эссенциалисты считают, что формалисты рискуют пройти мимо актуальнейших для М. вопросов, истоки которых содержатся, например, в физике или экономике. Формалисты обвиняют эссенциалистов в отождествлении М. с другими науками. Наши симпатии находятся на стороне формалистов, и вот почему. Математический формализм утонченнее математического эссенциализма. Эта утонченность обеспечивается обращением к концепту интерпретации. Во-первых, формализм далеко не бессмысленен. Во-вторых, у эссенциалистов нет никакого аналога ему. Верно, конечно, что в нематематических науках часто обнаруживаются проблемы, которые дают толчок творческому поиску в М., например, в рамках математической физики, физической геометрии, теории катастроф, теории динамических систем, исследования операций. Важно однако понимать, что математики выполняют заказ своих коллег из других наук на выработку необходимого им формализованного языка. Образно говоря, математик не является, например, физиком. Тот или иной математик может быть и физиком. Но Иванов-математик не может заменить собой Иванова-физика, равно как Иванова-экономиста. М. — одна из наук, не более того. Считать по-другому, значит, становиться на позиции математического фетишизма, напоминающего о печальной участи физикализма, социологизма, технократизма и прочих «измов». Что касается обвинения формалистов в некомпетентности относительно междисциплинарных связей, то оно несостоятельно. Эти связи учитываются формалистами за счет операции интерпретации.
Итак, подчеркнем еще раз, предметом М. являются особые типы формализованных языков. Разумеется, не следует ставить знак равенства между формализованным и формальным языком. Последний ущербен, ибо, не выполняя своего назначения, игнорирует те или иные содержательные аспекты. Формализованный язык не обладает этим недостатком. Это не бессодержательный, а формализованный язык. Его сила заключена в формализованности. Суть дела в том, что формализованные языки обладают значительными преимуществами над неформализованными.

Источник: Философия науки. Краткий энциклопедический словарь. 2008 г.

МАТЕМАТИКА
греч. ??????????, от ?????? – знание, наука) – наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и основной предмет M. составляют количественные и пространственные отношения и формы. "Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и переменные величины..." (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1957, с. 37). Если, напр., социолог интересуется ростом народонаселения с течением времени, а физик изменением давления газа в связи с изменением температуры, то математик видит здесь только функциональную зависимость числа у от числа х. Кроме количеств. и пространств. отношений и форм, в М. изучаются др. отношения и формы, в частности в математической логике – формы логич. вывода, в геометрии – n-мерные пространства, которые, конечно, не являются пространств. формами в обычном смысле слова, но имеют прообразы в действительности, напр. в виде множества всех возможных состояний той или иной механич. системы (т.н. фазовое пространство системы). В общем, в предмет М. могут входить любые формы и отношения действительности, к-рые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основание для чисто логич. развития теории. Кроме того, в М. рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные определяемые на основе уже известных форм и отношений. Именно так появились "мнимые" числа, "воображаемая" геометрия Лобачевского и др.; причем сами термины "мнимое", "воображаемая" подчеркивают, что речь идет о мыслимых объектах, реальный смысл к-рых выяснился не сразу. В наст. время определение новых объектов математич. теорий стало столь обычным делом, а способы их истолкования настолько развиты, что разделение их на действительные и лишь логически возможные по большей части утрачивается. Тут имеется переход – через ряд абстракций и определений – от понятий, реальный смысл к-рых очевиден (напр., целое число), к таким, к-рым не удается дать наглядной интерпретации (напр., нек-рые понятия множеств теории). М. может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т.е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений, т.к. форма есть система отношений частей целого, а отношения в М. всегда фигурируют как система отношений между к.-л. абстрактными объектами. Если две системы А1 и А2 таковы, что объекты и отношения одной можно сопоставить с объектами и отношениями другой так, что объектам из А1 находящимся в данном отношении, всегда отвечают объекты из А2, находящиеся в соответств. отношении, и обратно, то такое сопоставление наз. изоморфизмом, а системы – изоморфными. То общее, что есть в изоморфных системах, и есть "чистая" форма. Соответственно М. рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений). Но это вовсе не значит, что эти формы всегда имеют внешний или чисто количеств. характер; напр., симметрия кристаллич. решетки (определяемая математически) является существенной качеств. ее характеристикой. О с о б е н н о с т и М. 1. Форма, отвлеченная от содержания, выступает как самостоят. объект, так что непосредств. предметом М. оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрич. фигуры, а не реальные тела и т.п. В природе есть, напр., тела более или менее шарообразной формы, но шарообразная форма, взятая сама по себе, превращается в идеальный объект – геометрич. шар; в природе есть разнообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в М. как идеальный объект – функция, и т.д. Абстракции и идеализации есть и во всякой др. науке, но там им не придается такого самодовлеющего значения, они всегда сверяются с действительностью. М. же абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, а сравнение их с действительностью есть задача не самой М., а ее приложений. Поэтому в М. не заботятся, напр., о том, что не только практически невозможно абсолютно точное измерение, но что и не существует абсолютно точных значений реальных величин. За нек-рыми пределами уточнения количеств. изменения влекут качественные, и данная величина теряет смысл, тело оказывается состоящим из атомов, давление газа – из ударов молекул и т.д. Но такой "переход количества в качество" зависит от природы величины, а раз в М. отвлекаются от этой природы, то в ней этот переход исчезает. Величина, взятая в отвлечении от содержания, величина в о о б щ е, естественно, мыслится как абсолютно точная, как допускающая неограниченно уточняющееся измерение. Точно так же, хотя совр. физика установила, что реальное пространство не является точно эвклидовым, никто не считает от этого эвклидову геометрию как математич. теорию неточной или нестрогой. Ее строгость и точность определяются соответствием ее выводов осн. посылкам, закрепленным и выраженным в аксиомах. 2. Результаты М. – теоремы – получаются путем логич. вывода из осн. понятий и посылок, ссылка на опыт не считается математич. аргументом (математич. выкладки суть не более как концентрированные в символич. форме логич. выводы). Это, так же как предыдущая особенность М., вовсе не означает, что М. не заимствует свои понятия из опыта и что она не имеет отношения к действительности. Но М. исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится в их определении. Поэтому естественно, что в М. ее результаты получаются путем логич. выводов из самих этих определений, из самих понятий о соответств. формах, так что чистая М. имеет чисто дедуктивный, умозрит. характер. 3. Отличительной особенностью М. является непреложность ее выводов. Логически допустимо нарушение законов физики, но невообразимо, чтобы, напр., дважды два не было четыре. Эта непреложность выводов М. объясняется не более как их логич. связью с принятыми посылками. Они логически необходимы лишь постольку, поскольку приняты посылки. "Дважды два – четыре" следует из определения умножения. Следовательно, во-первых, указанная особенность М. вытекает из предыдущих, а во-вторых, она относительна: вывод обязателен лишь постольку, поскольку приняты его основания. 4. Для М. характерно наличие ряда ступеней абстракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся. Уже понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел, о любом вещественном числе суть результаты ряда абстракций; затем уже внутри самой М. возникли понятия комплексного и, далее, гиперкомплексного числа. Аналогично возникли понятия о неэвклидовых и многомерных пространствах и др. Для совр. М. вообще характерно сознат. введение новых понятий на базе уже имеющихся. Эта черта М. естественно связана с ее основной, определяющей особенностью, потому что, во-первых, достаточно полное отвлечение тех или иных форм и отношений от содержания происходит не сразу, а через ряд абстракций, а во-вторых, придавая своим понятиям самодовлеющие значения, М. уже тем самым делает их основанием для образования новых понятий, для новых ступеней абстракции. 5. Особенностью М. является также универсальность ее применений. В любой области, где только удается поставить задачу математически, М. дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. Мы одинаково считаем любые предметы, лишь бы они были строго разграничены. Одни и те же уравнения могут описывать совершенно разные по существу явления. Т.о., в абстрактности М. заключается ее сила: чем больше отвлечение от содержания, тем шире возможности приложений. Но по той же причине универсальность приложений М. не абсолютна, а относительна: правомерность ее применения в данной области, к данной задаче должна быть обоснована анализом содержания. 6. М. занимает особое положение среди других наук, т.к. исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или к общественным наукам. Тем не менее М. зародилась из практики как естеств. наука и только в результате достаточно длит. накопления знаний, выяснения понятий и связей между отд. результатами превратилась в "чистую" М., дальнейшее развитие к-рой, продолжая идти в тесной связи с естествознанием, включало существенное расширение ее предмета, восхождение к более высоким ступеням абстракции. Так, если у Эвклида имеются в виду геометрич. объекты в их обычном наглядном, хотя и отвлеченном от материального содержания, смысле, то теперь в основаниях геометрии говорят о "любых объектах", лишь бы они удовлетворяли соответствующим аксиомам. Словом, отвлечение от содержания исследуемых М. форм и отношений шло постепенно и продолжается. Хотя определения математич. понятий все более уточняются, они не становятся абсолютно точными; математич. точность и строгость выводов также развивается, и то, что считалось строгим прежде, уже не считается таким теперь. В этом отношении хорошим примером может служить арифметика. Предмет ее составляет система натуральных чисел 1, 2, 3,... с их отношениями: большего к меньшему, суммы к слагаемым и т.д. Отд. число само по себе не имеет свойств; если мы спрашиваем о свойствах, напр., числа 6, то замечаем, что 6=5+1, 6=2?3 и т.п., так что свойства данного числа состоят в его отношениях к др. числам. Отношения же эти суть отвлеченные образы реальных количеств. отношений между совокупностями предметов. Каждое отд. число ("два", "пять" и т.п.) есть свойство совокупности предметов – общее у совокупностей, предметы к-рых можно сопоставить по одному, и различное у таких, для к-рых такое сопоставление невозможно. Наличие такого свойства устанавливалось в процессе практич. счета предметов. Первоначально число определялось сравнением с к.-л. конкретным предметом (напр., "пять" – "рука"). Первая ступень абстракции состояла в отвлечении от такого конкретного предмета, когда число выделилось как свойство совокупности; так, говорили: "три камня" и т.д. Следующая ступень абстракции состояла в том, что появилось понятие о числах самих по себе, без связи с к.-л. предметами; числа выступили как самостоятельные идеальные объекты. (Ср. образование понятий о др. свойствах, напр.: "как уголь", "черный", "чернота"; здесь грамматич. форма существительного придает свойству характер самостоят. объекта.) Одновременно возникали действия над числами как абстрактное отображение реальных действий над совокупностями предметов; напр., умножение происходит из счета совокупностями по два, по три и т.п. В процессе практич. счета люди открывали не только связи между отд. числами, но и общие законы, как, напр., то, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Так формировалась система чисел. История ее фактич. возникновения служит прямым подтверждением правильности материалистич. понимания М. Материализм признает как факт идеальный характер непосредственного объекта арифметики, но, в противоположность идеализму, признает также, что "...идеальное есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней" (Маркс К., Капитал, т. 1, 1955, с. 19). В становлении арифметики важную роль играло введение обозначений для чисел. Они позволили оперировать с числами, лежащими за пределами наглядного представления. Как понятие вообще выражается словом, так отвлеченное число – словом или знаком. Как "язык есть непосредственная действительность мысли" (Маркс), так и математич. обозначения есть "непосредственная действительность" математич. абстрактных понятий. Следующая ступень абстракции состояла в образовании понятия о любом целом числе вообще, в отвлечении от практич. ограниченности счета и, следовательно, в осознании потенциальной возможности неогранич. продолжения числового ряда, закономерности к-рого, естественно, выводятся логически из понятия об этом ряде как бесконечной последовательности, образуемой с помощью единств. операции – прибавления единицы. Так, арифметика как искусство счета переросла в теоретич. арифметику, что знаменовало возникновение чистой, дедуктивной М. Следующая ступень абстракции, ясно выявившаяся лишь в 19 в., состояла в формировании понятия о множестве всех целых чисел, к-рое мыслится как целое (как актуальна я бесконечность, в отличие от потенциальной бесконечности неограниченно продолжаемого ряда чисел; см. Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости). Такое понимание бесконечности натурального ряда послужило естеств. основой для введения существенно нового понятия трансфинитных порядковых чисел, на основе к-рого, в свою очередь, метод математич. индукции был дополнен новым методом доказательства и определения, т.н. трансфинитной индукцией (см. Математическая индукция). Далее были подвергнуты более глубокому анализу самое понятие о целом числе и логич. средства теоретич. арифметики. Р а з в и т и е М. История М. делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восходит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно М. – превращения накопл. знаний в науку – следует считать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае – правил решения арифметич. задач и определения простейших площадей и объемов; само слово "геометрия" означает "землемерие"). Это произошло в 3–2-м тысячелетиях до н.э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В то время математич. правила формулировались на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математич. знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретич. способы вывода новых результатов, складывались первые математич. доказательства. В конечном итоге это привело к качеств, скачку: сложилась "чистая" М. с ее дедуктивным методом. Конечно, этот "скачок" был достаточно длительным. Насколько известно; это произошло в 7–5 вв. до н.э. в Греции, куда математич. знания перешли из Египта. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Фалесом. В 5 в. до н.э. появляется систематич. изложение геометрии, тогда же Демокрит дал глубокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее за ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. М, Это логич. построение, явно выходившее за пределы эмпирически данного, очень четко обозначало окончат, оформление чистой М. (Следует различать знание математич. фактов от установления их логич. доказательств. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника, было известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана.) Принципиальное значение для развития М. имело появление понятия о бесконечности, к-рое играет в М. такую роль, что М. порой даже определяют как "науку о бесконечности". Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло также представление о неогранич. делимости геометрич. фигур. Непрерывное, первоначально не подвергавшееся анализу, выступает как неограниченно делимое, содержащее неогранич. число частей, точек, моментов. [Дальнейшее развитие М. идет в следующих направлениях: 1) накопление новых результатов в рамках уже определившихся понятий; 2) расширение предмета М., включение в него новых форм и отношений и, следовательно, формирование принципиально новых понятий; 3) изобретение новых методов решения задач и доказательства теорем; 4) восхождение к более высоким абстракциям и более широким обобщениям; 5) углубление осн. понятий. Соответственно, развитие М. не сводится к количеств, росту, но включает качеств, изменения, связанные с существенным расширением ее предмета и образованием новых понятий и теорий. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опровергает геометрию Эвклида, но обе теории включаются в нек-рую общую систему. В этом состоит одно из своеобразий развития М. Развитие М. идет как под влиянием др. наук и техники, так и "внутренним" путем. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние др. наук и – гл. обр. через них – практики. Если последовательность развития определяется объективной логикой предмета М., то скорость его определяется обществ, условиями. ] Первый этап развития "чистой" М. после ее оформления в 7–5 вв. до н.э.– это эпоха элементарной М. Она продолжается до 17 в. и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греч. М.) характеризуется глубоким развитием и господством геометрии, к-рую греки подвели вплотную к аналитич. геометрии и интегральному исчислению; второй – характеризуется, преимуществ, развитием элементарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Ср. Азия, страны арабского Востока, Зап. Европы) и завершается, когда Декарт ввел совр. алгебраич. символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адэкватную ее содержанию. Следующий этап в развитии М. охватывает период с начала 17 в. до сер. 19 в. Его обычно определяют как эпоху переменных величин, тогда как элементарную М. определяют как науку о постоянных величинах и простейших геометрич. фигурах. Такое определение неточно. Скорее элементарную М. нужно определять как к о н с т р у к т и в н у ю М. В ней изучаются не только связи между постоянными, но и между переменными величинами, т.е. функции (зависимость площади круга от радиуса, синус угла и т.п.), кривые линии и поверхности; используется, по существу, понятие предела (напр., при определении длины окружности). Все это было в греч. М. Но при этом речь шла о конструктивно заданных фигурах и функциях, об о п р е д е л е н н о м процессе приближения к пределу. Общие же понятия кривой, функции, предела в элементарной М. просто отсутствуют. У греков кривая, не заданная определенным геометрич. построением, считалась "механической". Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего именно в том, что в предмет М. были включены зависимости между переменными величинами вообще, появилось соответственно общее понятие функции и возник аппарат исследования функций (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды), т.е. возникла теория функций – анализ бесконечно малых. Создание анализа подготовлялось с нач. 17 в. в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейбницем. Это новое направление М. имело три источника. Первый составляло изучение движения, зависимостей между переменными в природе (астрономич. законы Кеплера, законы падения, открытые Галилеем, и др.). Решающее влияние задач механики на развитие анализа видно из след. примера. Второй закон динамики в формулировке самого Ньютона утверждает, что изменение количества движения пропорционально силе; но это "изменение" есть производная по времени, так что закон приобретает точную форму, только если ввести понятие производной. Для определения же движения по его "изменению" необходимо интегрирование. Поэтому Ньютон, можно сказать, был вынужден изобрести анализ, чтобы дать общие методы формулировки законов и решения задач механики. Второй источник представляла геометрия с ее задачами вычисления площадей и объемов и проведения касательных. Третий – алгебра, дававшая удобную символику и формальный аппарат, приведший, напр., к представлению функций в виде рядов. Метод координат связал геометрию с алгеброй (Декарт, 1637), а затем и с анализом – кривые задаются функциями, функции изображаются кривыми. Этот синтез сыграл важную роль в становлении и развитии как анализа, так и геометрии. Предметом этой последней также становятся любые (достаточно "гладкие") кривые. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное развитие математич. анализ. Его идеи и методы проникли в более старые области М. (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его приложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия). Выяснение основ анализа (общее определение функции, теория пределов и др.) совпало с началом следующего периода в развитии М. Следующий этап длится с 1-й пол. 19 в. до сер. 20 в. и характеризуется тем, что в предмет М. включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространственными и количественными в первоначальном смысле слова, причем нек-рые из этих форм и отношений определяются внутри самой М. Одновременно интенсивно развиваются и подвергаются воздействию новых идей ранее определившиеся области М. В результате всего этого М. превращается из науки о количеств. и пространств. отношениях и формах, какой она была прежде, в науку о логически возможных чистых формах только сходных, вообще говоря, с количественными и пространственными. Этот переворот идет неск. путями. Появляется неэвклидова геометрия (Лобачевский, 1826; Я. Бойай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отд. свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных "геометрий" – теорий возможных, формально сходных с пространственными, форм и отношений. Из них важнейшие: риманова геометрия (Б. Риман, 1854) и топология. Полученная на пороге 19 в. геометрич. интерпретация введенных еще в 16 в. мнимых (точнее – комплексных) чисел сняла с них покров таинственности и дала толчок дальнейшему расширению понятия числа и величины (гиперкомплексные числа, векторы, тензоры и др.), а также созданию новой области анализа – теории функций комплексной переменной. Одновременно (начиная от Э. Галуа) складываются совершенно новые направления алгебры: теория групп и др. алгебраич. систем. Каждая такая система есть множество к.-л. элементов, между к-рыми имеются отношения, формально сходные с отношениями между числами (между слагаемыми и суммой, сомножителями и произведением, отношение порядка "больше" – "меньше" и др.). Алгебра из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений превратилась в науку о любых таких системах. В этот же период идет бурное развитие сохраняющего свою центр. роль в М. математич. анализа, а также уточнение его осн. понятий: предела, функции переменной (т.е. произвольного вещественного числа). Ставшие общепринятыми к 1870 представления, что "числовая прямая" должна рассматриваться как множество чисел, а любая геометрич. фигура как множество точек, привели к созданию Кантором теории множеств, в т.ч. специально теории точечных множеств, оказавшей громадное влияние на М. Во-первых, на почве теории точечных множеств были обобщены осн. понятия анализа (функция, производная, интеграл и др.), вошедшие затем в аппарат теорий, непосредственно связанных с приложениями (напр., теории дифференц. уравнений), а также в геометрию, где теперь исследуются фигуры гораздо более общие, чем прежде. Во-вторых, теория множеств породила в М. общую теоретико-множественную т. зр., согласно к-рой всякий объект М. трактуется как множество каких-то элементов, в к-ром имеются те или иные отношения (между элементами, между элементами и подмножествами – частями этого множества, между подмножествами). Пространство определяется как множество точек (тогда как, напр., Риман определял его как "протяженность"); область изменения переменной – как множество ее допустимых значений; функция может быть определена как множество упорядоч. пар (значение х и соответствующее значение у) и т.д. Это придало М. б?льшую ясность и единообразие и облегчило точные определения вновь вводимых понятий. Вершиной рассматриваемого этапа в развитии М. явился функциональный анализ, возникший в начале 20 в. В нем соединились идеи и методы совр. анализа, геометрии и алгебры. Он дал новую постановку многим задачам теории функций, теории дифференц. и интегр. уравнений и вариационного исчисления, открыл новые сильные методы их решения и явился адекватным аппаратом для квантовой механики. Середина 20 в. является началом нового этапа в развитии М., к-рый опять-таки характеризуется существенным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих способов и возможностей математич. вывода (математич. логика, теория алгоритмов). Эти математич. дисциплины оказывают существенное влияние на более старые области М.: ищутся схемы решений, к-рые можно осуществлять на машинах, оформилось целое конструктивное направление в М., изучающее проблемы алгоритмич. решения задач, доказательства теорем и построения математич. теорий. Возникли новые дисциплины: теория информации, теория автоматов, теория игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производств. и экономич. задачи, вопросы выбора системы экспериментов и др.; к ней примыкают также спец. методы планово-экономич. расчетов). Характерным является также усиление роли и расширение приложений теории вероятностей (с к-рой связана теория информации и др. указанные новые дисциплины), зародившейся еще в 17 в. и развивавшейся с нарастающей интенсивностью, особенно по мере того как со 2-й пол. 19 в. стало все более выясняться значение статистических закономерностей (см. Вероятность). Все это связано с распространением применений М. на биологию, лингвистику, новые области техники, практич. задачи планирования произ-ва, обществ. науки и др. Можно сказать, что новый предмет М. составляют "сложные" системы, их структура и "поведение", т.е. переходы из одних состояний в другие (см. Кибернетика). О с н о в а н и я М. Основание всякой науки лежит в действительности, к-рую она отражает. Однако М. имеет своим непосредств. предметом не сами объекты и явления действительности, а идеальные объекты, к-рые она рассматривает умозрительно, исключая из своих аргументов ссылку на опыт. Отсюда проистекает особая, характерная именно для M. постановка вопросов о ее основаниях. Задачу оснований М. составляет анализ ее осн. понятий, осн. посылок ее теорий и способов доказательства. Сюда же примыкают вопросы об истинности математич. утверждений и существовании математич. объектов. Основания М. стали предметом исследования вместе с формированием чистой М. Греки, приведя геометрию в логич. систему, выявили те осн. положения (аксиомы), к-рые могли быть положены в ее основу. Теперь ясно, что система аксиом Эвклида была далеко не полной, но важен самый факт сознательного и уже довольно тонкого анализа оснований геометрии. (Для арифметики подобный анализ явился делом уже 19 в., что естественно, т.к. понятие целого числа представляется более очевидным и более ясным, чем осн. понятия геометрии.) Греки же начали исследование возможной зависимости одних аксиом геометрии от других: они стремились вывести аксиому о параллельных из др. аксиом Эвклида. Двухтысячелетняя история этих попыток завершилась построением геометрии Лобачевского, в основе к-рой лежит отрицание этой аксиомы. Возникновение неэвклидовой геометрии и др. абстрактных теорий, знаменовавшее в 19 в. новый этап в развитии М., вместе с анализом основ более старых теорий привело к существенно более глубокому исследованию оснований М. На почве этих исследований оформилось следующее понимание аксиоматич. "обоснования" математич. теорий. Предмет любой данной теории составляет нек-рое множество объектов с нек-рыми отношениями между ними, причем природа объектов никак не определена. Свойства же отношений точно формулируются в соответств. аксиомах. В этом виде аксиоматика данной теории составляет определение ее предмета. Конкретным же предметом теории может служить любое множество объектов с отношениями, для к-рых выполняются аксиомы, если входящие в них термины истолкованы соответств. образом (подробнее см. Метод аксиоматический). Важнейшим из относящихся к любой аксиоматич. системе вопросов является вопрос о ее непротиворечивости (т.е. попросту осмысленности, т.к. противоречивая теория заведомо не может иметь никакого реального смысла). Она доказывается тем, что дается какая-нибудь интерпретация (модель) системы аксиом. Такая модель строится на основе к.-л. др. математич. теории, и тем самым вопрос сводится к непротиворечивости последней. Так, геометрия Лобачевского истолковывается в эвклидовой геометрии, а этой последней дают аналитич. интерпретацию, в к-рой точка плоскости определяется как пара чисел. Однако понятие (аксиоматика) вещественного числа также нуждается в выяснении непротиворечивости. В общем, метод интерпретаций не дает окончат. доказательства непротиворечивости никакой теории, а лишь сводит одну теорию к другой, так что вопрос о непротиворечивости математич. теорий не может быть решен на этом пути в рамках самой М. В конечном счете, убеждение в состоятельности таких теорий М., как, напр., арифметика, оказывается той же природы, что и убеждение в состоятельности теорий естествознания: оно основано на том, что в этих теориях при всем их долгом развитии не обнаруживаются противоречия, что эти теории имеют громадное поле приложений, что они отражают действительность. Однако анализ оснований М. породил др. путь решения той же проблемы, состоящий в исследовании самих логич. средств математич. доказательства, что составляет задачу математич. логики. Если мы отвлекаемся от какой бы то ни было интерпретации, то единственным критерием правильности теоремы оказывается то, что она строго доказана. Математич. объект (напр., решение к.-л. уравнения) считается существующим, если доказано его существование. Речь идет не об истине как соответствии утверждения действительности, не об объективном существовании, а о логич. доказуемости. Но что значит точное доказательство? Противоречия, обнаружившиеся в нек-рых далеких выводах теории множеств, обострили этот вопрос, поскольку идеи этой теории пронизали все основания М. Убеждение в истинности М., основанное на ее гигантских достижениях, не могло снять указанного вопроса. Отказ от его решения означал бы подрыв доверия к строгости дедуктивного метода М. Стремясь спасти положение, нем. математик Д. Гильберт поставил проблему оснований М. следующим образом. Математич. теория трактуется чисто формально (отсюда название учения Гильберта – формализм), т.е. она строится на основе: перечня основных понятий; точного описания правил формулирования допустимых (считающихся осмысленными в этой теории) утверждений и определений; формулировок исходных утверждений (аксиом); указания правил вывода одних утверждений из других. Тогда утверждения теории можно записывать в подходящих символах и рассматривать правила формулирования и вывода просто как правила оперирования с этими символами. Теория превращается в формальную схему, и вопрос о непротиворечивости, о доказуемости в ее пределах той или иной теоремы сводится к исследованию этой схемы. Значение этой т. зр. состоит не только в том, что она очень четко ставит вопрос о математич. доказательстве, но и в том, что, превращая теорию в схему механич. выкладок, позволяет, хотя бы в принципе, передать осуществление этих выкладок машине. В этой связи особое значение приобретает теория алгоритмов (см. Алгоритм). Машина же есть объективный предмет и ее работа – объективный процесс, а не теория, так что здесь основания М. опять приходят к объективной действительности, хотя и др. образом. (М. как совокупности таких формальных схем противопоставляется метаматематика как учение о самих этих схемах, но на самом деле формальная схема уже не есть наука, так что метаматематика и есть М.) Однако очень скоро выяснилось, что указанный подход не решает проблемы: было доказано, что никакая формальная теория не может исчерпать даже арифметику; доказательство непротиворечивости формальной теории не может быть получено в рамках самой этой теории. Всегда неизбежен переход от данной теории к более широкой и т.д. Напр., непротиворечивость обычной арифметики доказана с помощью т.н. конструктивных трансфинитных чисел. Но хотя такое доказательство удается провести средствами, убедительность к-рых весьма велика (логич. их база есть минимальная логика), относительно них также может быть поставлен вопрос о непротиворечивости и т.д. (см. Метатеория). Т.о., дедуктивный метод М. был спасен не в том окончат. смысле, как надеялся Гильберт. Перед основаниями М. лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончат. основания М. так или иначе упираются в отношение ее к действительности. Отношение М. к действитель-ности и к другим наукам. Возникнув из прямого отражения природы, постоянно заимствуя из нее новые понятия, М. отделяет их от действительности, закрепляет их и идет дальше в значит. мере путем внутр. развития, путем логич. доказательства теорем, образования новых понятий, построения новых теорий. А эти теоремы, понятия, теории применяются потом к исследованию действительности. По мере восхождения ко все более высоким абстракциям связь М. с практикой, с действительностью становится все менее непосредственной и осуществляется через др. науки. Во-первых, она черпает в них новые задачи, новые понятия, источники новых теорий и импульсы к развитию. Напр., вся теория дифференц. уравнений возникла и развивается под решающим влиянием механики и физики. Во-вторых, М. выступает по отношению к др. наукам как метод формулировки количеств. закономерностей, как аппарат для построения и разработки теорий, как средство решения задач. Влияние М. распространилось в наст. время не только на точные науки (механику, астрономию, физику), но и на др. естеств. науки и нек-рые области обществ. наук. При этом М. служит не только средством исследования отд. вопросов (напр., математич. статистика применялась в обществ. науках уже давно), но также влияет на формирование новых понятий и теорий. М. приобретает все большее эвристич. значение, особенно в физике, где порой сначала пишутся уравнения, а потом выясняется их физич. смысл. Так было, напр., с квантовой механикой. Значение М. состоит именно в том, что она оказывается методом, своего рода "идеальной техникой", создающей аппарат для др. наук. Это ясно видно из таких выражений, как, напр., "математический аппарат квантовой механики", или из отношения римановой геометрии к общей относительности теории, для к-рой она явилась готовым аппаратом. Понимание М. как идеальной техники не противоречит ее определению как науки о "чистых" формах, поскольку дедуктивное исследование логически возможных чистых форм и есть построение математич. аппарата. Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоят. объектов, М. не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее (напр., математич. континуум включает свойства, которыми не обладают реальные величины, т.к. они не имеют абсолютно точных значений). Это тем более верно в отношении логически возможных форм, определяемых внутри самой M.: они создаются, а не копируются, так же как далеко идущие логич. выводы из исхо

Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.



Найдено научных статей по теме — 15

Читать PDF
343.07 кб

Математика как модель смысловой структуры теоретического знания

Чупахин Николай Петрович
Проблема смыслообразования в теоретическом знании решается с явления a posteriori потенциальной возможности мироосвоения, называемой далее послеопределенностью А.
Читать PDF
280.62 кб

Математика и реальность: круглый стол в редакции Вестника ВятГУ (январь 2011)

Орлов Владимир Вячеславович
Читать PDF
402.73 кб

Круглый стол «Математика и реальность»

Барабашев Алексей Георгиевич, Баранцев Рэм Георгиевич, Вечтомов Евгений Михайлович, Клещёв Денис Сергеевич, Ленски Вольфганг , Ненашев Михаил Иванович, Перминов Василий Яковлевич, Чермных Василий Владимирович, Шатров Анатолий Викторович, Шемякинский Владимир Михайлович, Юлов Владимир Федорович
При редакции журнала «Вестник Вятского государственного гуманитарного университета» в январе 2011 года был проведен Круглый стол, на котором обсуждалась проблема «Математика и реальность».
Читать PDF
93.72 кб

Математика и философия

Жулева Людмила Дмитриевна
Рассматривается роль математики в развитии научного познания, определяется взаимосвязь философии и математики.
Читать PDF
91.35 кб

Логика и математика

Бочаров Вячеслав Александрович
В статье обсуждается мнение о том, что логика в своих исследованиях использует математические методы познания.
Читать PDF
736.68 кб

Пифагореизм, платонизм, математика и логика

Бочаров Вячеслав Александрович
В статье обосновывается положение о необходимости для понимания характера законов логики и математики признания наличия мира платоновских идей.
Читать PDF
235.54 кб

Деквантование математических структур, тропическая математика и геометрия

Литвинов Г. Л., Шпиз Григорий Борисович
A brief introduction to tropical and idempotent mathematics is presented. Geometrical applications are discussed.
Читать PDF
202.33 кб

Математика и философия (о диалектике развития математики)

Осипов В. Ф.
В работе рассматриваются совместные действия и синтез взаимно противоположных элементов мыслительной деятельности математика.
Читать PDF
169.62 кб

Флоренский - любовь и математика: обратная перспектива человека

Макарычев С. П., Макарычев М. С.
Читать PDF
153.46 кб

Число Эрота. Диалектика числа, или математика любви в «Пире» Платона

Селиверстов Виктор Леонидович
Диалог «Пир» — яркое свидетельство принадлежности Платона к пифагорейской традиции.
Читать PDF
241.92 кб

2012. 04. 005. Мугнаи М. Логика и математика в XVII веке. Mugnai M. logic and Mathematics in the sev

Щичко А. С.
Читать PDF
113.65 кб

2002. 02. 017. Оливер А. Логика, математика и философия. Oliver A. logic, Mathematics, and philosoph

Морозов И. В., Панченко А. И., Яковлев В. А.
Читать PDF
408.09 кб

Знание и социальное представление. Глава 6. Возможна ли альтернативная математика. Перевод Е. Напрее

Блур Дэвид
Читать PDF
91.87 кб

2001. 01. 004. Казарян В. П. , лолаев Т. П. Математика и культура: учеб. Пос. /под ред. Лебедева С.

Сапунов М.
Читать PDF
9.28 мб

Натурфилософия античности в зеркалах науки и культуры. Математика и логика

Герасимова И. А.

Найдено книг по теме — 16

Похожие термины:

  • МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА И ДРЕВНЕЙ ВАВИЛОНИИ

    В Древнем Египте и Древней Вавилонии математическое знание не было наукой в современном смысле и может быть охарактеризовано как протоматематика («прото» – это приставка, происходящая от гречес
  • МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

    Развитие математики в Древней Греции в середине первого тысячелетия до н. э. связано с тем, что в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились условиями, позволившие создать математику как те
  • МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ

    процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного зн
  • математизация науки

    МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУКИ — применение математики для теоретического представления научного знания. И само научное знание, и математика, и математизация научного знания зародились в античности. Перву
  • Математизация

    научный метод, заключающийся в широком внедрении математических методов исследования (аксиоматизация, формализация, теория катастроф и пр.) в различные отрасли научного знания. Широкое применени
  • ЛЕВ МАТЕМАТИК

    ???? ? ???????????) (805–870) – визант. философ и ученый, армянин по происхождению. Принадлежал к умеренному направлению иконоборчества. В 840–43 был митрополитом Фессалоники, но был смещен в 843 после восстанов
  • ЭМПИРИЗМ В МАТЕМАТИКЕ

    понимание математики в качестве эмпирической дисциплины. Во-первых, имеется в виду, что математические понятия получают посредством абстрагирования от несущественных сторон реальной действител
  • ПЛАТОНИЗМ В МАТЕМАТИКЕ

    направление в математике. Платонистами часто называют сторонников теоретико-множественного подхода, в частности, Г. Кантора, Э. Цермело, А. Френкеля и К. Геделя. Как известно, согласно Платону матем
  • ФОРМАЛИЗМ в математике

    одно из осн. направлений в основаниях математики (и логики), к-рое в качестве гл. задачи в области обоснования математики считает доказательство непротиворечивости отд. математич. теорий и – в идеа
  • КОНСТРУКТИВИЗМ В ЛОГИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

    металогическое и метаматематическое направление, значительный вклад в развитие которого внесли отечественные ученые А.А. Марков и Н.А. Шанин. По своему концептуальному содержанию конструктивизм
  • Единство философии, математики и физики в учении Декарта

    К числу сфер знания, где можно наиболее плодотворно применять правила метода, Декарт относит математику и физику, причем он с самого начала, с одной стороны, "математизирует" философию и другие нау
  • ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

    раздел науки, который занимается исследованием природы математического познания; соотношением теоретической математики и эмпирической действительности; структурой чистой математики; проблемо
  • ИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

    исследовательская область философии, в которой выявляются основания математического знания, место математики в системе знания, онтологический статус математических объектов, методы математики
  • ЕДИНСТВО МАТЕМАТИКИ

    ее целостность, являющаяся результатом комплекса междисциплинарных связей, реализующихся внутри ее самой. Три главных проекта представления Е. м. были связаны с приданием особого статуса соответ
  • Физика математическая

    теория математических моделей физических явлений.
  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

    см. Математическая индукция.
  • Принципы математики

    «ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ» («PRINCIPIA MATHEMATICA») — трехтомный труд о логике и основаниях математики, написанный А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 (около 2000 с). Целью этой работы было по
  • ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ: ФИКШИНАЛИЗМ ИЛИ ДЕФЛЯЦИОНИЗМ

    (fictionalism, от англ. fiction – вымысел, выдумка; deflationism, от англ. to deflate – выпускать воздух, уменьшать) – направление современной философии науки, основным тезисом которого является избыточность математи
  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

    общее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к-рых употребляется термин "бесконечность", нет жесткой границы (поскольку вс
  • Математическая единица

    Философский смысл термина: Монада (тождество) (Пифагор); простая сущность (Платон).