ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Философия математики
раздел науки, который занимается исследованием природы математического познания; соотношением теоретической математики и эмпирической действительности; структурой чистой математики; проблемой связи математики и логики (эпистемологическая проблематика). В круг ее интересов входит также проблематика онтологическая: способ существования предмета математических исследований, природа объектов математики, проблема бесконечности в математике, основания математики, причины высокой степени общности математики и применимости ее методов для анализа предметов различной природы.
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, ее различных направлений, дисциплин и теорий. К числу важнейших философских проблем математики в целом относятся: предмет математики, природа математического знания, способы его обоснования, анализ логических принципов и законов, используемых в математике, ценность математического знания, место математики в науке и культуре. Философские проблемы математики на протяжении всей ее истории привлекали к себе пристальное внимание как самих математиков, особенно крупных ее творцов, так и многих философов (Пифагора, Платона, Аристотеля, Эвклида, Гаусса, Лобачевского, Кантора, Пуанкаре, Гильберта, Рейтинга, Гсделя, Маркова, Колмогорова и мы. др.). Как и в философии в целом, в философии математики существуют различные направления и подходы. Например, при решении проблемы предмета математики это — объективизм (идеалистического и материалистического характера) и субъективизм (интуиционистского и конструктивистского толка). При решении вопроса о природе математического знания (как возможно математическое знание?) это — эмпиризм и априоризм. В решении проблемы обоснования математики в XX в. четко оформились четыре основных направления: логицизм, формализм, интуиционизм и конструктивизм. Пет единства среди математиков и философов и в решении вопроса о ценности математического знания, и его роли в культуре (от понимания математики как обслуживающего средства и языка других, более практически значимых и объективных по содержанию естественных, инженерно-технических и социальных наук, до ее понимания как самодостаточной, высшей, универсальной и подлинно объективной науки). Для более строгого решения проблем обоснования математики, в XX в. оформилась даже определенная математическая дисциплина: метаматематика. Ее основными проблемами являются вопросы непротиворечивости, полноты и логической строгости отдельных математических теорий и доказательств. Имеющий место плюрализм в философии математики и вытекающая из него конкуренция различных направлений и школ имеет для математики в целом положительное значение, характеризуя ее как сложную и открытую когнитивную систему, способную к дальнейшему развитию. (См. математика, философия науки, философские основания науки).
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
метанаука, предметом которой является математика. Это определение нуждается в определенном уточнении. Дело в том, что с известной осторожностью следует использовать термин «метаматематика». Под метаматематикой часто понимается не Ф. м., а раздел математической логики, изучающий формализованные языки. Ее называют также теорией доказательств. Предметом Ф. м. является математика в целом, включая и то, что принято называть метаматематикой. Интерес к математике был характерен для философии на всем пути ее развития, начиная от Платона (см.). Но решающие новации произошли в конце XIX — начале XX в. Были развиты различные подходы к пониманию природы математики, ее метода, используемой концепции истины, взаимоотношения с другими науками, ее понятий. Все эти вопросы нуждались в философской экспликации. Предпринятые в указанном направлении усилия не пропали даром. На сегодняшний день Ф. м. наряду с философией физики является лидером философско-научных дисциплин. В данной статье имеет смысл кратко изложить основные подходы, имеющие место в Ф. м. Ниже мы следуем логике статьи [1], которая, на наш взгляд, скомпонована весьма удачно. Согласно математическому реализму математические объекты не являются творениями человеческого ума и существуют сами по себе. Они не изобретаются людьми, а обнаруживаются ими. Так, натуральные числа и соотношения между ними никто не придумал, и никто не в состоянии их отменить. От имени математического реализма обычно выступают представители логицизма (см.), например Г. Фреге (см.), теоретике-множественного направления (см.), в частности К. Гёделъ (см.), и математического эмпирицизма, например, У. Куайн (см.).
Математический реализм часто приравнивают к платонизму, ибо математические объекты признаются столь же самостоятельными, как идеи Платона. Остается, однако, неясным где и в каком же виде существуют эти объекты. Логицизм в математике (Г. Фреге, Б. Рассел (см.)) сводит определенность математических объектов к природе логических конструктов, но при этом, по мнению многих исследователей, не учитывается специфика математических объектов. Эмпиризм состоит в приписывании математических свойств реальным процессам, например, физическим и экономическим явлениям. Создается, однако, впечатление, что и на этот раз специфика математических объектов недооценивается исследователями. В ослабленной форме эмпиризм в математике приобретает форму квазиэмпиризма (X. Патнэм (см.)). Этот подход становится все более популярным в Ф.м. Квазиэмпири- цисты полагают, что было бы неверно исключать математические объекты из экспериментальной деятельности человека. Они там присутствуют, о чем свидетельствуют в частности вычислительные эксперименты.
Представители формализма в математике (Д. Гильберт, Р. Карнап (см.)) акцентируют внимание на внутреннем устройстве математики, защищая идеалы аксиоматического метода и часто финитизма. Вопрос о природе самих математических объектов остается в значительной степени открытым. Как известно, исследования Гёделя поставили под сомнение программу финитного формализма. В рамках интуиционизма (Л. Брауэр, А. Гейтинг, Л. Кронекер) математическим объектам придается конструктивный характер. Они должны быть построены за конечное число ходов. А это означает, что абсолютное большинство математических объектов является результатом человеческой деятельности, что противоречит математическому реализму. Существенные сложности возникают при характеристике не производных, а изначальных математических объектов, данных интуитивно. Считается, что они и не изобретаются, и не присущи реальным объектам. Налицо некоторая форма априоризма. Математический конструктивизм (А. Марков, Н. Шанин) в ряде моментов отличается от интуиционизма. Более строго определяются правила построения математических конструктов, которым придается характер алгоритмов. Природа исходных математических объектов не предполагает непременную ссылку на интуицию. Их часто понимают как извлечения из человеческой практики. В этом состоит главный тезис т. наз. социального конструктивизма.
Математический фикционализм (X. Филд) приравнивает математические объекты к полезным в науке фикциям. При желании от них можно отказаться, но лучше этого не делать. Со ссылкой на успехи науки этот подход многими исследователями признается плохо обоснованным.
Согласно математическому когнитивизму (Дж. Лакофф) математические объекты выступают чертой когнитивного аппарата человека. Вне его они не существуют. Как видим, существуют самые различные подходы к интерпретации содержания математики. Лишь для краткости мы ограничились рассмотрением природы математических объектов. В действительности же каждый из подходов касается большого круга вопросов. Поле Ф. м. обширно и все еще недостаточно осмыслено.
Математический реализм часто приравнивают к платонизму, ибо математические объекты признаются столь же самостоятельными, как идеи Платона. Остается, однако, неясным где и в каком же виде существуют эти объекты. Логицизм в математике (Г. Фреге, Б. Рассел (см.)) сводит определенность математических объектов к природе логических конструктов, но при этом, по мнению многих исследователей, не учитывается специфика математических объектов. Эмпиризм состоит в приписывании математических свойств реальным процессам, например, физическим и экономическим явлениям. Создается, однако, впечатление, что и на этот раз специфика математических объектов недооценивается исследователями. В ослабленной форме эмпиризм в математике приобретает форму квазиэмпиризма (X. Патнэм (см.)). Этот подход становится все более популярным в Ф.м. Квазиэмпири- цисты полагают, что было бы неверно исключать математические объекты из экспериментальной деятельности человека. Они там присутствуют, о чем свидетельствуют в частности вычислительные эксперименты.
Представители формализма в математике (Д. Гильберт, Р. Карнап (см.)) акцентируют внимание на внутреннем устройстве математики, защищая идеалы аксиоматического метода и часто финитизма. Вопрос о природе самих математических объектов остается в значительной степени открытым. Как известно, исследования Гёделя поставили под сомнение программу финитного формализма. В рамках интуиционизма (Л. Брауэр, А. Гейтинг, Л. Кронекер) математическим объектам придается конструктивный характер. Они должны быть построены за конечное число ходов. А это означает, что абсолютное большинство математических объектов является результатом человеческой деятельности, что противоречит математическому реализму. Существенные сложности возникают при характеристике не производных, а изначальных математических объектов, данных интуитивно. Считается, что они и не изобретаются, и не присущи реальным объектам. Налицо некоторая форма априоризма. Математический конструктивизм (А. Марков, Н. Шанин) в ряде моментов отличается от интуиционизма. Более строго определяются правила построения математических конструктов, которым придается характер алгоритмов. Природа исходных математических объектов не предполагает непременную ссылку на интуицию. Их часто понимают как извлечения из человеческой практики. В этом состоит главный тезис т. наз. социального конструктивизма.
Математический фикционализм (X. Филд) приравнивает математические объекты к полезным в науке фикциям. При желании от них можно отказаться, но лучше этого не делать. Со ссылкой на успехи науки этот подход многими исследователями признается плохо обоснованным.
Согласно математическому когнитивизму (Дж. Лакофф) математические объекты выступают чертой когнитивного аппарата человека. Вне его они не существуют. Как видим, существуют самые различные подходы к интерпретации содержания математики. Лишь для краткости мы ограничились рассмотрением природы математических объектов. В действительности же каждый из подходов касается большого круга вопросов. Поле Ф. м. обширно и все еще недостаточно осмыслено.
Источник: Философия науки. Краткий энциклопедический словарь. 2008 г.
философия математики
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ — отрасль философии науки, исследующая природу математических объектов и способы математических доказательств. Абстрактный характер объектов и особая убедительность доказательств математики еще в античную эпоху привлекли внимание философов к анализу специфики ее предмета и метода исследования. Как самостоятельная отрасль Ф. м. сформировалась в начале 20 в., когда возникли парадоксы в теории бесконечных множеств Г. Кантора, приведшие к кризису оснований математики. В поисках выхода из этого кризиса были выдвинуты три основные программы обоснования математики: логицизм, формализм и интуиционизм. Логицизм, во главе с Б. Расселом, стремился свести классическую математику к логике; формалисты, возглавляемые Д. Гильбертом, — представить ее в виде формальной системы и затем доказать ее непротиворечивость; интуиционисты, объединившиеся вокруГл.Э.Я. Брауэра, отвергли абстракцию актуальной бесконечности, на которой основывается теория множеств Г. Кантора. Наряду с новыми математическими принципами обоснования математики, эти программы опирались также на определенные философские установки. Сторонники логицизма придерживались широко распространенной среди работающих математиков позиции платонизма, согласно которой математические объекты являются независимыми от субъекта, вечными, неизменными сущностями, наподобие идей Платона. Такая точка зрения может объяснить, почему математика независима от опыта, а ее истины не нуждаются в эмпирическом доказательстве. Но ни платонизм, ни позднее возникший математический реализм не могут ответить на вопрос, почему математические теории и методы находят применение в естествознании и др. конкретных науках. Идеи математического реализма достигли своей кульминации в программе теоретико-множественного обоснования математики. Вместо потенциальной, или становящейся, бесконечности она вводит абстракцию актуальной бесконечности, заданной одновременно всеми своими элементами, а не возникающей шаг за шагом, как в потенциальной бесконечности. Онтологически актуальная бесконечность, по мнению Кантора, реализуется «в высочайшем совершенстве, в совершенно независимом, внемировом бытии, in Deo (в Боге. — ПР.), где я называю его абсолютно-бесконечным или просто абсолютным». Несмотря на идеалистические и даже теологические взгляды Кантора, его теория множества получила широкое признание у математиков. Сам Кантор и его последователи надеялись, что теория множеств приведет к окончательному обоснованию всей классической математики. Не только логицисты, но и сторонники формализма считали, что онтологические принципы теории множеств не нуждаются в реформировании. Гильберт в связи с этим заявил: «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Против концепции математического реализма выступили сторонники математического интуиционизма, которые отказались от абстракции актуальной бесконечности и применения к бесконечным множествам законов классической логики. Они справедливо считают, что эти законы были установлены путем изучения конечных множеств объектов, но затем их необоснованно экстраполировали на бесконечные множества. Особой критике подвергается при этом закон исключенного третьего, потому что на нем основываются так называемые чистые доказательства существования, когда существование объекта доказывается именно на применении этого закона. В отличие от классической математики, интуиционисты требуют, чтобы доказательство было действительно проведено на деле, а искомый объект построен или вычислен. Для защиты своей позиции они обращаются к интуиционистской Ф. м. И. Канта, согласно которому общезначимый и необходимый характер математических суждений основывается на априорных формах сознания, изначально присущих человеку. Арифметика опирается на априорную интуицию времени, а геометрия — на априорную интуицию пространства. В связи с открытием неевклидовых геометрий Л.Э. Я. Брауэр отказался от априорной интуиции пространства Канта, но сохранил его интуицию времени, чтобы модернизировать интуиционистскую Ф. м. «Главным в математической деятельности, — утверждал он, — являются умственные построения, осуществляемые на основе непосредственной интуиции, а не язык или логика, посредством которых выражаются результаты этой деятельности». По его мнению, теоремы в математике выводятся исключительно посредством интроспективной интуиции, которая убеждает гораздо сильнее, чем любая логическая аргументация. Однако многие математики не разделяют такое мнение, справедливо считая, что интуиция представляет собой, в лучшем случае, предположение или догадку, которые нуждаются в дальнейшей проверке, не говоря уже о том, что она имеет субъективный характер и меняется от одного лица к др. К 1960-м стало ясно, что цели, провозглашенные логицизмом, формализмом и интуиционизмом, не были достигнуты, хотя в результате их исследований было получены важные новые результаты в математической логике и основаниях математики. Но эти результаты имеют, скорее, технический, логико-математический характер, чем философский. Поэтому в последние десятилетия были предприняты новые исследования, раскрывающие др. аспекты математического познания. К ним следует отнести, прежде всего, такие направления, как конструктивизм, структурализм в математике и современный реализм. На развитие конструктивного направления несомненное влияние оказали математические идеи интуиционизма, однако конструктивисты опираются на более четкие определения своих объектов и операций, а также на точное определение понятия алгоритма, служащего основой для построения конструктивной математики. Выдающийся вклад в развитие этой математики внесла отечественная школа ученых во главе с А.А. Марковым. В противовес интуиционистам, они подчеркивают связь математики с конструктивной деятельностью как в самом математическом творчестве, так и во взаимодействии с естествознанием и др. науками. Вместе с тем они подвергли критике субъективистские взгляды на природу математических объектов и интуицию как на единственно надежный источник их познания. Структурализм опирается на идеи аксиоматического представления математического знания, а также на ее формализацию, разработанную в школе Д. Гильберта. Аксиоматический подход настойчиво пропагандировался, начиная с 1939, влиятельной группой, состоящей в основном из франц. математиков, выступающих под псевдонимом мифического математика Н. Бурбаки. Они поставили перед собой амбициозную цель: изложить важнейшие математические дисциплины с помощью аксиоматического метода и, таким образом, представить все существующее математическое знание в виде грандиозной аксиоматической структуры. «В своей аксиоматической форме, — заявляет Н. Бурбаки, — математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм». Такая точка зрения встречается не только среди представителей школы Н. Бурбаки и др. математиков, но и среди известных ученых. Об этом свидетельствует, в частности, высказывание видного амер. физика Е. Вигнера, который говорит о «непостижимой эффективности математики». Школа Н. Бурбаки, хотя и признает связь математики с действительностью, но не занимается философским ее анализом. Современный структурализм, как и Н. Бурбаки, считает наиболее фундаментальным в математике понятие структуры, а не абстрактного объекта и даже множества, которое оказывается частным случаем структуры. С этой точки зрения, П. Бенацерафф, напр., выступает против представления чисел множествами или абстрактными объектами, рассматривая их как знаки (цифры) в определенной знаковой структуре. Остается, однако, онтологический вопрос: является ли понятие структуры более простым и удобным, чем абстрактный объект? Не ведет ли это к отождествлению математического знания с эмпирическим? Убедительного ответа на него современные структуралисты не дают. Современный реализм, в отличие от таких своих предшественников, как Дж.С. Милль, не отождествляет математическое познание с естественнонаучным. Однако новые тенденции в современной философии математики подчеркивают поворот математики к практике, который выражается в использовании компьютеров в доказательствах, в числовом экспериментировании, в признании различных версий доказательств и т.п. В связи с этим происходит постепенный отказ от прежних чрезмерно абстрактных концепций математики и критериев строгости ее доказательств, значительную роль в ней начинают играть конструктивные и вычислительные методы. Все это обусловило возрождение интереса к эпистемологическим проблемам математики. Математическое познание стало рассматриваться как специфический, но связанный с общенаучным, процесс развития мышления, в ходе которого допускаются и преодолеваются ошибки, а полученные результаты находят применение в естественных, технических и социальных науках. Г.И. Рузавин Лит.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1965; Клайн М. Математика: утрата определенности. М., 1984; Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. М., 1984; Рассел Б. Введение в математическую философию. М., 1996; Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983; Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, 2002.