Развитие математики в Древней Греции в середине первого тысячелетия до н. э. связано с тем, что в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились условиями, позволившие создать математику как теоретическую науку. А . Н . Колмогоров определяет ее как период элементарной математики. Математики Древней Греции, наряду с решением практических задач, производят обобщение математической практики, что было связано с выявлением системности в отдельных областях математики и отражало закономерности математического мышления людей того времени.
Возникновение первых математических теорий сопровождалось общим процессом становления первых естественно-научных теорий. Практические задачи, связанные с необходимостью арифметических вычислений и геометрических измерений и построений, постепенно выделялись в отдельную область математики – логистику. Историки науки первые математические доказательства, как и первую постановку вопроса о первоначале всего существующего, связывают с именем Фалеса. С ним соотносят достижения в области доказательств первых геометрических теорем, а также разработку дедуктивного метода в математике в целом.
В пифагореизме была создана первая философская теория математики, в которой математическое знание представлено как необходимая основа всякого другого знания и как наиболее истинная ее часть. В философии Пифагора математика выражает глубинную сущность мира, поскольку связана с истинной и неизменной природой вещей. В этой философской школе разрабатывался язык, позволяющий описывать природу и Вселенную. Центральным для пифагореизма являлось истолкование сути математического знания. Пифагор утверждал, что «математический узор» лежит в основе единства всех явлений природы. По сути он и его последователи космологизировали и мистифицировали математику. Математика рассматривалась как исходная точка в описании действительности. Пифагор учил о том, что всюду – от гармонии в музыке до планетных орбит – скрыты числа, что позволило ему сформулировать тезис: «Все сущее есть Число». Числа имели пространственное выражение и были представлены как геометрические элементы (точка, линия, плоскость и трехмерное тело). Геометрическими элементами трехмерных тел являются пять правильных многогранников – пирамида, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдру – и шар. В вещном оформлении окружающего мира из таких материальных стихий, как земля, вода, воздуха, огонь и эфир, важную роль играют и геометрические фигуры. Куб рассматривался как нечто устойчивое, поэтому из этой геометрической фигуры образована земля. Вода, как более подвижная и текучая стихия, связывалась с икосаэдром. Воздух, как самая легкая и подвижная стихия, сопоставлялась с октаэдром. Огонь, как стихия стремящаяся вверх, составлен из пирамид. Додекаэдр, по своей форме напоминающий шар, рассматривался как геометрическая фигура эфира и одновременно как приблизительное очертание Космоса. Точным и последним очертанием Космоса считался шар.
Вопросы о природе математической закономерности и истоках ее безусловной истинности, поставленные в пифагорейской школе, нашли свое продолжение в философии Платона. По Платону, математические истины являются врожденными, они несут в себе впечатления об истине, полученные душой в мире идей. Математическое познание по сути своей становится припоминанием, т. к . оно не требует ни опыта, ни наблюдения природы, а только видение разумом. В диалогах Платона арифметика – это чистое знание и центр всего космоса знаний, поэтому наука о числе – высшая мудрость. В диалоге «Государство» арифметика представлена Платоном как наука, ведущая к размышлению и познанию чистого бытия. Искусство счета (логистику) Платон отделяет от теоретической арифметики как науки. Согласно ряду наук, предложенному Платоном, за арифметикой следуют: геометрия, влекущая к истине и воздействующая на философскую мысль, устремляя ее ввысь, стереометрия, касающаяся измерений кубов и всего имеющего глубину, астрономия, предмет изучения которой – «вращение тел» и числовые соотношения в движении небесных светил. Завершающей ряд математических наук является музыка как учение о гармонии, в котором представлено умозрительное изучение числовых соотношений в музыкальных созвучиях. Представленный ряд наук, считает Платон, позволяет только с помощью разума, минуя ощущения, обращаться к сущности любого предмета. В XIII и XIV книгах «Метафизики» Аристотель анализирует основные положения платоновского учения о числе. Рассматривая вопрос о месте математики в системе наук, он исходит из того, что математика не исследует бытие в движении, поэтому она не может быть основой других наук, несмотря на то, что она доказательна, абстрактна и истинна. «Первой философией» у Аристотеля является учение о Боге как неподвижном Перводвигателе, бестелесной чистой форме. Затем следуют физические науки, их предметом является сущность, имеющая в себе начало движения и покоя. И только после этого идет математика. Любой математический объект, считал Аристотель, является всего лишь отвлечением от физических тел. С точки зрения математических идей, Аристотель развивал учение о том, что не существует актуально неделимого бесконечного тела и числа как чего-то отдельного и в то же время бесконечного. Бесконечность существует в потенции, актуально – ее нет.
Математические представления присутствуют в философии атомизма Левкиппа и Демокрита. По Демокриту, исходным понятием являлся атом как первосущность. Геометрические фигуры рассматриваются им не как умозрительные сущности, а как материальные тела, состоящие из атомов. Демокрит считал, что физическое предшествует математическому, поэтому и определяет свойства математических объектов. Математический атомизм во многих исследованиях по истории математики рассматривается, скорее, как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом.
В «Началах» Евклид подытожил и системно представил достижения древнегреческой геометрии и математики в целом. В первой книге «Начал» раскрываются особенности метода математического суждения и форма изложения Евклида. Историки математики считают, что теория Евклида является истоком современного аксиоматического построения математических теорий. Так, К. Рыбников отмечает, что в логической структуре «Начал» отражен исторический путь формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до более сложных – теории отношений, метода исчерпывания, классификации иррациональностей и др. А. В . Шуталева