(назовем его ?y/?x) и (2) в отыскании "предварительной" производной, т.е. функции от обоих аргументов х 1 их, к-рая при х 1^х равняется ?y/?x, но, в отличие от этого отношения, при х1=х определена (и непрерывна относительно х1). Алгоритм отыскания такой "предварительной" производной для аналитич. функций действит. переменной был (для разных случаев) подробно указан Марксом. Производная функция определялась Марксом как значение "предварительной" производной при х1=х. Задача вторичных алгоритмов состоит в сведении сложных задач к последовательностям первичных алгоритмов. Введение вторичных алгоритмов и переход к собственно дифференц. исчислению основаны на диалектич. оборачивании метода, выражением к-рого (оборачивания) является оперирование с дифференц. символами. Последние, игравшие вначале роль отражения реального математич. процесса, изменяют свою сущность Они сами становятся объектом исчисления, являясь теперь оперативными символами. Открытый Марксом процесс образования дифференциального исчисления, связанный с оборачиванием метода и изменением роли символов, имеет много общего с процессом формирования всех символических исчислений. Он позволяет также правильно понять задачу создания а к с и о м а т и к и исчисления. Сила примененного в M. p. M. Метода проявилась, в частности, в том, что Марксу удалось открыть новое понятие дифференциала как оперативного символа. Аналогичная идея впервые появилась лишь в 1911 (в работах франц. математика Ж. Адамара) в связи с обобщением понятий классич. анализа на функциональный анализ. Перечень важнейших проблем, к-рые исследовал Маркс, этим не исчерпывается. M. p. M. содержат замечат. идеи по ряду вопросов развития математики, актуальные и для современного нам этапа. Среди них: высказывания о решающем значении для математики введения переменной величины (аналогичную идею, высказанную Энгельсом, см. "Диалектика природы", 1955, с. 206), о развитии понятия функции, об отображении движения средствами математики, о связанной с этим задаче о способах представления изменения переменной величины, о борьбе воззрений как необходимом условии развития математики и мн. др. M. p. M. подготовлены к изданию в Ин-те марксизма-ленинизма при ЦК КПСС. Лит.: Маркс К., Математические рукописи, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1, с. 15–73; его же, [Письмо ] Энгельсу 11 января 1858 г., в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 22, М.–Л., 1929; его же, [Письмо ] Энгельсу 6 июля 1863 г., там же, т. 23, М.–Л., 1930; Энгельс Ф., [Письмо ] Марксу 18 августа 1881 г., там же, т. 24, М.–Л., 1931; его же, [Письмо ] Марксу 21 и 22 ноября 1882 г., там же; Яновская С., О математических рукописях К. Маркса, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1; Гливенко В. И., Понятие дифференциала у Маркса и Адамара, там же, 1934, No 5; ?ыбников К. ?., Математические рукописи Маркса, БСЭ, 2 изд., т. 26. К. Рыбников. Москва.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ К. МАРКСА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ К. МАРКСА
значительная (около тысячи страниц) часть рукописного наследия К. Маркса, отражающая его занятия математикой. M. p. M. были сохранены Энгельсом, к-рый придавал им большое значение и намеревался их опубликовать (см. предисловие Энгельса ко2-му изданию "Анти-Дюринга"). M. p. M. свидетельствуют о многолетнем (начиная с 50-х гг. 19 в.) изучении Марксом математики. Вначале его интересы сосредоточивались преимущественно на возможных в то время приложениях математики к исследованию экономич. проблем и на систематич. пополнении своих математич. знаний. Вскоре после выхода в свет 1-го т. "Капитала" (1867) занятия Маркса математикой приобрели самостоят. направление (см., напр., "Капитал", т. 2, 1955, с. 3) и продолжались до конца его жизни. К этому периоду времени относится подавляющая часть сохранившихся M. p. M. Объектами изучения в M. p. M. в этот период являлись: аналитич. геометрия, алгебра (гл. обр. общая теория уравнений) и, в особенности, математич. анализ. Маркс изучал последний с целью раскрыть тайну, окружающую "еще и в наше время те величины, которые применяются в исчислении бесконечно малых, – дифференциалы и бесконечно малые разных порядков..." (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 214). Он проанализировал все способы обоснования математич. анализа (вплоть до работ франц. математика О. Коши) и показал их неудовлетворительность. Затем Маркс приступил к систематич. изложению своей точки зрения. Работа эта осталась незаконченной; смерть Маркса прервала ее. В M. p. M. проявились черты метода науч. исследования Маркса – метода материалистич. диалектики – в применении к изучению конкретных проблем математики. Это придает им непреходящую науч. ценность. Рукописи не содержат попыток формального построения системы определений и аксиом в качестве логич. базы математич. дисциплин. Любое понятие или метод Маркс рассматривал с т. зр. развития его из первоначальных, неразвитых форм. Задачу полного выяснения смысла и логич. связи математич. понятий и методов Маркс разрешил на пути исследования их историч. происхождения и развития. Так, им был изучен вопрос о предпосылках создания дифференц. исчисления: о тех операциях и понятиях элементарной алгебры, к-рые являлись неразвитыми формами, "прообразами" (по выражению Маркса) понятий и методов этого исчисления. M. р. М. содержат ряд высказываний, раскрывающих сложную историю создания анализа бесконечно малых, включающую в частности: (а) переход от алгебры конечного к алгебре бесконечного, соответствующий переходу от дискретного к непрерывному, сопровождающийся внедрением в математику понятий бесконечного ряда, непрерывности, предела и др.; (б) переход от операций алгебры (теперь допускаемых уже и в бесконечном числе) к операциям собственно дифференц. исчисления, оперирующего с характерными для него символами. Алгоритмы дифференц. исчисления, по мысли Маркса, делятся на первичные и вторичные, или а л г о р и т м ы с в е д ? н и я. Первые позволяют непосредственно находить по аналитич. выражению функции аналитич. выражение ее производной для возможно более широкого класса функций. Специфич. для дифференц. исчисления символы dx, dy и т.п. при этом играют роль отражения реально протекающего (без употребления этих символов) математич. процесса дифференцирования, а не исходного пункта. Процесс дифференцирования функции f(x) состоит, по Марксу, в полагании и последующем (после выполнения нек-рых операций) снятии разности j(x1)-f(x). Предшествующие этому снятию операции состоят в (1) образовании отношения (назовем его ?y/?x) и (2) в отыскании "предварительной" производной, т.е. функции от обоих аргументов х 1 их, к-рая при х 1^х равняется ?y/?x, но, в отличие от этого отношения, при х1=х определена (и непрерывна относительно х1). Алгоритм отыскания такой "предварительной" производной для аналитич. функций действит. переменной был (для разных случаев) подробно указан Марксом. Производная функция определялась Марксом как значение "предварительной" производной при х1=х. Задача вторичных алгоритмов состоит в сведении сложных задач к последовательностям первичных алгоритмов. Введение вторичных алгоритмов и переход к собственно дифференц. исчислению основаны на диалектич. оборачивании метода, выражением к-рого (оборачивания) является оперирование с дифференц. символами. Последние, игравшие вначале роль отражения реального математич. процесса, изменяют свою сущность Они сами становятся объектом исчисления, являясь теперь оперативными символами. Открытый Марксом процесс образования дифференциального исчисления, связанный с оборачиванием метода и изменением роли символов, имеет много общего с процессом формирования всех символических исчислений. Он позволяет также правильно понять задачу создания а к с и о м а т и к и исчисления. Сила примененного в M. p. M. Метода проявилась, в частности, в том, что Марксу удалось открыть новое понятие дифференциала как оперативного символа. Аналогичная идея впервые появилась лишь в 1911 (в работах франц. математика Ж. Адамара) в связи с обобщением понятий классич. анализа на функциональный анализ. Перечень важнейших проблем, к-рые исследовал Маркс, этим не исчерпывается. M. p. M. содержат замечат. идеи по ряду вопросов развития математики, актуальные и для современного нам этапа. Среди них: высказывания о решающем значении для математики введения переменной величины (аналогичную идею, высказанную Энгельсом, см. "Диалектика природы", 1955, с. 206), о развитии понятия функции, об отображении движения средствами математики, о связанной с этим задаче о способах представления изменения переменной величины, о борьбе воззрений как необходимом условии развития математики и мн. др. M. p. M. подготовлены к изданию в Ин-те марксизма-ленинизма при ЦК КПСС. Лит.: Маркс К., Математические рукописи, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1, с. 15–73; его же, [Письмо ] Энгельсу 11 января 1858 г., в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 22, М.–Л., 1929; его же, [Письмо ] Энгельсу 6 июля 1863 г., там же, т. 23, М.–Л., 1930; Энгельс Ф., [Письмо ] Марксу 18 августа 1881 г., там же, т. 24, М.–Л., 1931; его же, [Письмо ] Марксу 21 и 22 ноября 1882 г., там же; Яновская С., О математических рукописях К. Маркса, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1; Гливенко В. И., Понятие дифференциала у Маркса и Адамара, там же, 1934, No 5; ?ыбников К. ?., Математические рукописи Маркса, БСЭ, 2 изд., т. 26. К. Рыбников. Москва.
(назовем его ?y/?x) и (2) в отыскании "предварительной" производной, т.е. функции от обоих аргументов х 1 их, к-рая при х 1^х равняется ?y/?x, но, в отличие от этого отношения, при х1=х определена (и непрерывна относительно х1). Алгоритм отыскания такой "предварительной" производной для аналитич. функций действит. переменной был (для разных случаев) подробно указан Марксом. Производная функция определялась Марксом как значение "предварительной" производной при х1=х. Задача вторичных алгоритмов состоит в сведении сложных задач к последовательностям первичных алгоритмов. Введение вторичных алгоритмов и переход к собственно дифференц. исчислению основаны на диалектич. оборачивании метода, выражением к-рого (оборачивания) является оперирование с дифференц. символами. Последние, игравшие вначале роль отражения реального математич. процесса, изменяют свою сущность Они сами становятся объектом исчисления, являясь теперь оперативными символами. Открытый Марксом процесс образования дифференциального исчисления, связанный с оборачиванием метода и изменением роли символов, имеет много общего с процессом формирования всех символических исчислений. Он позволяет также правильно понять задачу создания а к с и о м а т и к и исчисления. Сила примененного в M. p. M. Метода проявилась, в частности, в том, что Марксу удалось открыть новое понятие дифференциала как оперативного символа. Аналогичная идея впервые появилась лишь в 1911 (в работах франц. математика Ж. Адамара) в связи с обобщением понятий классич. анализа на функциональный анализ. Перечень важнейших проблем, к-рые исследовал Маркс, этим не исчерпывается. M. p. M. содержат замечат. идеи по ряду вопросов развития математики, актуальные и для современного нам этапа. Среди них: высказывания о решающем значении для математики введения переменной величины (аналогичную идею, высказанную Энгельсом, см. "Диалектика природы", 1955, с. 206), о развитии понятия функции, об отображении движения средствами математики, о связанной с этим задаче о способах представления изменения переменной величины, о борьбе воззрений как необходимом условии развития математики и мн. др. M. p. M. подготовлены к изданию в Ин-те марксизма-ленинизма при ЦК КПСС. Лит.: Маркс К., Математические рукописи, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1, с. 15–73; его же, [Письмо ] Энгельсу 11 января 1858 г., в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 22, М.–Л., 1929; его же, [Письмо ] Энгельсу 6 июля 1863 г., там же, т. 23, М.–Л., 1930; Энгельс Ф., [Письмо ] Марксу 18 августа 1881 г., там же, т. 24, М.–Л., 1931; его же, [Письмо ] Марксу 21 и 22 ноября 1882 г., там же; Яновская С., О математических рукописях К. Маркса, "Под знаменем марксизма", 1933, No 1; Гливенко В. И., Понятие дифференциала у Маркса и Адамара, там же, 1934, No 5; ?ыбников К. ?., Математические рукописи Маркса, БСЭ, 2 изд., т. 26. К. Рыбников. Москва.Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.