ПАРАДОКСЫ
ПАРАДОКСЫ
противоречия в рассуждении, возникающие при соблюдении его логической правильности. Понятие П. родственно понятиям апории и антиномии. П. обычно рассматриваются как вид антиномий, примером к-рых может служить сформулированная в античной философии антиномия «Лжец»: «Один критянин сказал: «Все критяне лгут». Что он сказал — истину или ложь?» Если его высказывание истинно, то оно должно быть ложным, если же оно ложно, то критянин сказал истину. Антиномии делятся на два вида: семантические (подобные антиномии «Лжец») и П., к к-рым относят формально-логические противоречия, вскрытые в кон. 19 в. в теории множеств и математической логике. П. означает равную доказуемость двух взаимоисключающих предложений (высказываний). Так, открытый Расселом парадокс о множестве всех нормальных множеств, выраженный в обычном, естественном языке, может быть описан следующим образом: «Полковой парикмахер бреет тех и только тех солдат и офицеров своего полка, к-рые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?» И положительный, и отрицательный ответы на этот вопрос оказываются в равной степени доказуемыми. Наличие в рассуждении (теории) формально-логических противоречий (П.) свидетельствует о научной непригодности этого рассуждения. Отсюда возникают проблемы выяснения причин появления П. и нахождения способов их устранения. Главная причина возникновения в научном рассуждении П. состоит в сложном диалектическом характере человеческого познания, в противоречивом взаимоотношении его формы и содержания. Так, применяемые на каждой ступени познания абстракции, тот или иной уровень формализации и т. д. являются ограниченными, лишь до определенной степени соответствующими выражаемому ими содержанию. Универсального пути устранения П. не существует. В логике и математике разработаны способы устранения П. определенных видов (теория типов, ограничение принципа абстракции и т. д.).
Источник: Краткий словарь по философии. 1970
Парадоксы
(логики и теории множеств) — формально-логические противоречия, к-рые возникают в содержательной теории множеств и формальной логике при сохранении логической правильности хода рассуждения; родственны апориям Зе-нона и семантическим антиномиям, известным с глубокой древности. В совр. науке П. были обнаружены в конце 19 в. в некоторых разделах теории множеств (напр. П., обнаруженные Георгом Кантором в 1895 и Чезаре Бурали-Форти в 1897). Один из наиболее известных П. открыт Расселом в 1902. П. возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Они могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (напр., приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в к-рой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников П. и нахождения способов их устранения. Диалектико-материалистический анализ показывает, что П. являются выражением глубоких диалектических и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции (объемности), позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты, со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех П. При решении задачи устранения П. из научных теорий возможны различные пути: построение теории типов (иерархия типов), ограничение принципа абстракции и т. п.; так, для устранения П. из теории множеств были созданы аксиоматические теории множеств, в к-рых на понятие множества налагались ограничения, достаточные для исключения известных П. (первая такая система была предложена в 1908 Э. Цермело). Проблема философского осмысления и конкретных решений П. — одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики (Антиномия).
Источник: Философский словарь. 1963
