Следствие

логическое следствие (лат. consequentia) – важнейшее понятие формальной логики, входящее в определение ее осн. задачи: выведения С. из данных посылок (аксиом). В совр. формальной логике используются две осн. модификации понятия С.: синтаксическая и семантическая. С и н т а к с и ч е с к а я модификация понятия С. равносильна формальному (синтаксическому, всегда в рамках нек-рого данного исчисления; см. также Синтаксис в логике) определению связи одной формулы (или нескольких), называемой (или называемых) С., с др. формулами, называемыми посылками, посредством металогич. отношения выводимости – следования. Синтаксич. определение С. формулируется так, чтобы зависимость от правил принимаемой логики (правил вывода данного исчисления) была выражена явно. Напр.: (1) формула В является (синтаксическим) логич. С. из формул А1, А2, ..., Аn в системе правил R (символически: А1, А2, ..., Аn В), если по правилам этой системы из А1, А2, ..., Аn можно построить вывод (см. Вывод в матем. логике), в к-ром заключительной будет формула В. При этом и в применении правил вывода абстрагируются от к.-л. семантич. трактовки этих правил, рассматривая их только как "словарные" конструкции. Напр., правило modus ponens в таком случае означает, что, встретив в выводе формулы А и A?B, можно написать формулу В, "позабыв", однако, что "?" означает "если..., то" и что формулы A и А?В предполагаются истинными. С е м а н т и ч е с к а я модификация понятия С. связана с задачей выяснения "практической пригодности" исчисления в качестве формальной основы нек-рой содержательной теории. Семантич. определение С. фиксирует связь посылок и С. через их отношение к "действительности", к-рую они описывают, – к модели. Напр.: (2) В является семантическим логич. С. из посылок А1, ..., Аn, если В истинно в любой действительности (модели), в к-рой истинны А1, ..., Аn. При семантич. определении С. пользуются понятием истинности (или реализуемости) посылок, хотя само определение не предполагает конкретных посылок (истинных или ложных в философском смысле); оно формулируется только для переменных. Очевидно, что определение С. в семантич. смысле не зависит от выбора аксиом и правил вывода; вместе с тем оно отвечает интуитивному ("житейскому") пониманию логич. С.: из истинных посылок получаются только истинные С. Поэтому оно может служить в качестве семантич. мотивировки выбора соответствующих аксиом и правил вывода для всех (или почти всех – хотя бы всех классических!) "чистых" (неинтерпретированных) исчислений. В идеале аксиомы и правила вывода исчисления должны выбираться так, чтобы класс формальных (синтаксических) С. исчисления совпадал с классом содержательных (семантических) С. теории, формализуемой посредством этого исчисления, что, как известно, равносильно условию его (дедуктивной) полноты. Хотя семантич. определение С. не нуждается в указании на правила вывода, вовсе без правил оно все же не может обойтись. Именно, оно нуждается в правилах интерпретации формул, устанавливающих связь между языком исчисления и действительностью путем указания для каждой формулы определ. вида условий ее истинности (ложности) по отношению к модели. Характер этих правил, или способов истолкования истинности суждений, показывает в каждом конкретном случае, имеем ли мы дело с классической, интуиционистской или же с конструктивной семантикой. Иногда, полагая, что понятие информации известно (и определено независимо от понятия логич. С.), им пользуются для "информационного" определения понятия С., называя С. нек-рого предложения (или предложений) такое предложение, к-рое, будучи (конъюнктивно) прибавлено к первому (или к первым), не изменяет содержащейся в нем (в них) информации. Хотя такое определение С. зависит от нелогического и достаточно неясного самого по себе понятия информации, на приемлемом в ряде случаев интуитивном уровне, оно все же полезно, поскольку подчеркивает аналитич. характер дедуктивного знания, сводя его, по существу, к такому знанию, для получения к-рого не требуется никакой "новой" информации, кроме той, к-рая уже содержится в посылках. (В истории логики хорошо известны утверждения об аналитич. характере умозаключений "из общих положений" – Аристотель, Т. Гоббс, авторы Пор-Рояля логики, Дж. С. Милль и др.) На протяжении длительного историч. развития формальной логики (начиная с древнегреческой) понятие С., по существу, не изменяло своего значения: логич. С. называли то, что выводится из посылок по правилам логики. Для традиц. логики такими правилами были, как известно, правила силлогизма, правила непосредственных умозаключений и нек-рые другие, к-рые принимались всеми филос. школами, независимо от того, как в той или др. филос. школе эти правила обосновывались. С появлением математической логики, когда выяснилось, что "одна и та же" логика может выражаться в различных логических исчислениях с различными правилами вывода, так что относительность последних уже не вызывала сомнений, традиц. определение С. было признано неудовлетворительным, игнорирующим о т н о с и т е л ь н ы й характер логич. средств вывода и з а в и с и м о с т ь понятия С. от этих средств. Т.о., необходимость в уточнении понятия С. возникла прежде всего при построении (и изучении) логич. исчислений, к-рым исторически предшествовала идея вывода С. при помощи нек-рого механич. приема – идея алгорифмизации вывода С. Та же необходимость появилась и в связи с решением ряда прикладных задач, особенно в практике применения логики в математич. доказательствах. До начала 20 в. считалось, что принципиальные различия в филос. предпосылках, лежащих в тех или иных обоснованиях математики, не могут да и не должны влиять на логич. средства, допускаемые в матем. рассуждениях и, естественно, на характер логич. С. Открытие интуиционистской логики (1908) коренным образом изменило эту т. зр. Ориентируясь на "субъективное", "человеческое", "наше" знание, матем. интуиционизм наделил логич. операции только таким смыслом, к-рый вытекает из возможностей этого знания, из возможностей рациональной интуиции; он возродил филос. идею зависимости логики от феноменологии духа, отказав логике в независимой от опыта онтологич. значимости, в претензии на описание реальности за границами нашего познания (ср. Ф. Энгельс: "Бытие есть вообще открытый вопрос, начиная с той границы, где прекращается наше поле зрения", – "Анти-Дюринг", 1966, с. 39). Поэтому теперь любой филос. подход, делающий человека (и человеческую практику) отправным пунктом теории, не может ipso facto не учитывать интуиционистскую (и конструктивную) критику. Между тем, т. зр. классич. математики, основываясь на принципе исключенного третьего, постулируя априорное (и положительное) решение проблемы распознавания истинности (ложности) любого высказывания в нек-ром абсолютном смысле, независимо от нашей способности познания (и, естественно, "границ нашего поля зрения"), должна удовлетворять как "платонистский" идеализм, так и тот вариант материализма, согласно к-рому "...действительность... берется только в форме объекта..., а не как человеческая чувственная дея-т е л ь н о с т ь , п р а к т и к а, не субъективно" (Maркс К., см. Маркс. К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 3, с. 1). Лит.: Бет Э., Метод семантических таблиц, в сб.: Математич. теория логического вывода, Сб. переводов, М., 1967; Гейтинг ?., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Столл Р. Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., М., 1968, с. 93–108, 133–38. М. Новоселов. Москва.