Конструктивизм

КОНСТРУКТИВИЗМ (от лат. constructio — построение) — направление в эпистемологии и философии науки, в основе которого лежит представление об активности познающего субъекта, который использует специальные рефлексивные процедуры при построении (конструировании) образов, понятий и рассуждений (мы отвлекаемся от других смыслов термина «К.», используемого, напр., в искусстве, а также от различий между К. и конструкционизмом).         В рамках философии К. представляет собой подход, согласно которому всякая познавательная деятельность является конструированием; это альтернатива любой метафизической онтологии и эпистемологическому реализму. В философском употреблении различается узкий и широкий смысл термина «конструкция». Конструкция в узком смысле касается построения и представления понятий в восприятии, в геометрии и логике. От него отличается конструкция в широком смысле, относящая к особым — организующим, структурирующим, формирующим и образным — аспектам миропонимания и самосознания. Философские концепции, подчеркивающие активно-конструктивное свойство восприятия, познания и самой реальности, объединяются под общим и достаточно расплывчатым именованием «К.». К. — общее обозначение направлений и подходов в науке, искусстве и философии, в которых понятие конструкции играет главную роль в изображении процессов порождения предметов. В эпистемологии и философии науки 20 в. конструктивистские направления завоевывали влияние в противовес эмпиристским традициям, ориентированным на естествознание 19 в., и формалистской математике. Апелляция к конструктивности в познании может быть обнаружена в самых разных областях — от логики, математики и наук о природе до наук о культуре и обыденного знания — со ссылками на авторитет Евклида, Канта, Фреге, Дюгема, Динглера, Пиаже и др. В многообразии современных конструктивистских концепций можно выделить две группы — натуралистический и культуральный К.         Кант: Математика как конструктивная наука. В античных дискуссиях о математическом методе и способе бытия математических объектов зарождается понятие конструктивности. Школа Евдокса принимает в качестве доказательства существования математического объекта указание на принципы его конструирования или возможность его анализа как определенной конструкции. Геометрические теоремы служат исключительно исследованию общих свойств конструктивных объектов. Позиция платоновской Академии, напротив, состоит в том, что математика не создает, но лишь описывает и открывает нечто объективно сущее. Кант занимает антиплатонистскую позицию и использует понятие конструкции для демаркации философии от математики. Философия определяется как дискурсивно-разумное, понятийное познание. В нем особенное рассматривается с позиции общего, а само общее — в абстрактном смысле, с помощью понятий. Математическое познание, напротив, производно от некоторого интуитивного использования разума путем конструирования понятий, в котором общее усматривается в особенном. Поскольку этот подход носит неэмпирический характер, то математические конструкции представляют лишь количество, а не качество. При этом математическое конструирование имеет своей целью синтетические суждения априори. Конструировать понятие значит, по Канту, представить соответствующую ему форму чувственности. Она основана не на опыте, но может быть эмпирически представлена, является единичным и одновременно общим для всех возможных восприятий, которые покрываются данным понятием, и является результатом продуктивной способности воображения, или конструктивной деятельности. Конструирование математических понятий дает возможность рассматривать общее in concreto, в отдельном восприятии (см.: Кант И, Критика чистого разума. М., 1998. С. 538—542). Помимо узкого понятия конструктивности с кантовской философией связано и широкое использование термина «конструирование» в смысле создания образов (гештальтов) мира явлений. Креативно-конструктивная точка зрения опровергает трансцендентальный реализм объектов и явлений мира, показывает его необъяснимость и бессмысленность. Трансцендентальная философия, напротив, подчеркивает конструктивность миропонимания и самосознания путем указания на трансцендентальную природу способности суждения и схематизма, позволяющих применить категории к миру явлений. Немецкий классический идеализм также воспринимает учение Канта о конструировании и расширяет его представления за пределы математики на область философии. Обязанное Канту понятие «интеллектуального созерцания», лежащее в основе идеи философского конструирования, становится центральным мотивом философии Шеллинга и играет существенную роль у Фихте и Новалиса.         Логический К. Б. Рассел и А.Н. Уайтхед под влиянием логических работ Г. Фреге предпринимают попытку свести предложения и термины математики к логике. Центральный принцип логицизма требует логического конструирования понятий, т.е. сведения всех понятий и понятийных систем к небольшому набору понятий путем дефиниций. В более поздних работах Рассел распространяет эту программу на естественные науки и психологию. Физические и психические феномены строятся из чувственных данных как логические конструкции. «Логическое построение мира» Р. Карнапа можно рассматривать как развитие этого проекта в рамках логического позитивизма, пусть даже с помощью понятия «конституирование» и на основе методического солипсизма. Конструктивное обоснование арифметики, анализа и логики П. Лоренцен строил на основе операционистской, или диалогической, логики, открывающей путь к «рациональной грамматике». Логические выводы понимаются в данном контексте лишь как крайний случай успешного обоснования некоторого тезиса в диалоге. Совместно с В. Камлахом Лоренцен закладывает основы методического К. и конструктивистской философии науки Эрлангенской школы. В ней термин «конструктивный» относится к методическому введению конструктов, которые формируются без помощи научных аксиом, и естественного языка. Перенос конструкционистских методов на физику и философию науки осуществляется также в операционализме П. У Бриджмена и Г. Динглера, согласно которым объекты научного знания конституируются с помощью специфических для науки методов.         Натуралистический и культуральный К. Различие методического и радикального К. у С. Цеккато и Г. Динглера вначале казалось несущественным, однако затем они разошлись в разные стороны и сегодня характеризуются культуральной ориентацией методического и натуралистической ориентацией радикального К. (при всех возможных исключениях).         Формирование методического К. в области логики и математики начинается с Г. Фреге, а в философии физики — с Г. Динглера. В работах П. Лоренцена и К. Лоренца логика была понята с точки зрения конструируемости логически истинных форм высказываний, близко к интуиционистской логике (Л.Е.Я. Брауэр) и в отличие от формально-аксиоматических вариантов классической логики. Истолкование логики в плане философии языка как средства рациональной аргументации позволяет включить традиционные учения о понятии, суждении и умозаключении в конструктивную логическую пропедевтику (В. Камлах, П. Лоренцен), в которой разрабатывается систематика форм суждений (априорные, аналитически-дефиниторные; формальные и материально-синтетические суждения протофизики; апостериорные и эмпирические суждения реальных наук). Конструктивность арифметики и анализа, которые формулируются, в отличие от теоретико-множественных подходов, при помощи классической аксиомы выбора, ограничивают предметную область высшей математики эффективно конструируемыми моделями и их формами.         В методическом К. Эрлангенской школы (назван так в 1991 для отличия от радикального К.) протофизика разрабатывается как пересмотренная в русле философии языка и развитая далее концепция Г. Динглера. Территориальное разделение (Ю. Миттельштрасс, Ф. Камбартель в Констанце; П. Лоренцен, О. Швеммер в Эрлангене) привело и к дальнейшему расхождению интересов в рамках методического К. В Марбурге сосредоточились разработчики прототеорий в естествознании, ревизии философии языка и логики, а также «культурального поворота» в рассмотрении таких традиционных областей, как эпистемология, натурфилософия, эстетика и эвдемонистская этика. В области геометрии пути Эрлангенской (Лоренцен) и Марбургской (П. Яних) школ также разошлись. Общим остались только принцип методического порядка и культуралистская установка, согласно которой человеческая деятельность в культурном контексте образует основу для реконструкции познавательных результатов.         Радикальный К., обязанный ссылке Э. Глазерсфельдана Ж. Пиаже, первоначально подчеркивал конструктивность познавательных результатов в смысле биолого-психологической теории развития индивида и эволюционно-биологической концепции У Матураны и Ф. Варелы и далее пришел к антиреалистической картине познания как продукта деятельности организма и его мозга, направленной против теорий познания как отражения. Наряду с X. ф. Ферстером, который свою эпистемологию называл «оперативной», различные школы радикального К. взяли на вооружение позитивистскую и натуралистскую ориентацию («нередукционистский физикализм» Г. Рота и X. Швеглера).         Однако методический К. парадоксальным образом оказался радикальнее радикального К,, ибо он не только опирается на признание естественнонаучных результатов, но и подвергает их эпистемологической реконструкции. Там, где психология развития Ж. Пиаже усматривает радикальную конструктивность в установлении равновесия между ассимиляцией и адаптацией как естественными процессами с точки зрения наблюдателя более высокого уровня, методический К. начинает с «уже данных» речевых и деятельностных актов человека в жизненном мире. Действия в смысле самостоятельности целей и сопряжения целей и средств отличаются от простого поведения, объяснимого в терминах естественной причинности. Поскольку же предметы идеальных (логики и математики) и реальных (физики) наук не являются природными объектами в той же мере, что и элементы естественного и научного языков, то исторически существующие языки (языки отдельных наук, язык образов, философские языки и т.п.) должны подвергнуться методической реконструкции. Это означает, что фактические способы употребления языка должны быть сведены с помощью конструирования к элементарным ситуациям языкового нормирования так, чтобы получить методически упорядоченный, свободный от пропусков и кругов процесс использования норм. Программы реконструкции методического К. содержат предложения по решению проблемы методологического фундаментализма. Они направлены, прежде всего, против трилеммы Мюнхгаузена, сформулированной в критическом рационализме и предполагающей гипотетичность всякого обоснования.         Конструктивистская теория символа. Идея активно-конструктивного характера того, что называется миром и реальностью, так же, как познания себя и других, разрабатывалась наиболее полно в конструктивистской теории символа Н. Гудмена и в теории интерпретации Г. Абеля. Методологическому обоснованию строго номиналистического К. посвящена ранняя работа Н. Гудмена «Структура явления». Подобно Карнапу, он использует современную логику для построения эпистемологической концепции, хотя и дистанцируется от интенции последнего. Исходя из положения о том, что идея чистого данного не может быть последовательно эксплицирована, он отказывается от строгой дихотомии восприятия и понятия, наблюдения и теории в науке. Путем построения конструктивной системы и формулировки конструктивных дефиниций следует обеспечить не столько формализацию предсистемных и повседневныхобластей знания, сколько креативные объяснения, требование интенсионального и экстенсионального тождества применительно к дефиниендуму и дефиниенсу оказывается слишком сильным, Гудмен разрабатывает более гибкую модель экстенсионального изоморфизма в качестве необходимого и достаточного основания отношения правильности. Этот критерий, согласно которому опыт требует некоторой структуры, а не экстенсиональной тождественности, допускает легитимность альтернативных дефиниенсов даже тогда, когда не все из них экстенсионально совпадают с дефиниендумом.         В поздних работах Гудмен показывает креативно-конструктивный характер употребления символов и вскрывает, тем самым, внутреннюю связь логики, искусства, обыденного и научного познания. То, как мы употребляем символы в процессе восприятия, разговора, мышления и деятельности, обнаруживает свою зависимость от способов функционирования используемых символических систем. Эти способы функционирования и связанные с ними конструктивные действия (композиция и декомпозиция, ассоциация и диссоциация, организация и реорганизация, дополнение и удаление) должны быть поняты в рамках некоторой общей теории символов, и это становится лейтмотивом философии Гудмена. Многообразие символических систем, обладающих конструктивными функциями, последовательно ведет к допущению множества миров. Специальный случай конструктивной активности рассматривается в теории ретроспективного конструирования («Пути создания миров»). Она объясняет феномен движения образа, исследуемый в экспериментальной и теоретической психологии. Восприятие при переходе от одного гештальта, положения, величины некоторой фигуры к другому, создает «единое целое» с помощью дополнения или перебрасывания мостика. Г у д м е н подчеркивает параллельности этих процессов конструктивным процессам в «реальном» восприятии движения и изменения.         Конструктивистская философия интерпретации.         Иной смысл приобретает понятие конструкции в философии интерпретации Г. Абеля и методологии интерпретационистских конструктов X. Ленка. Процессы понимания мира, себя и других называются Абелем «креативно-конструктивными процессами интерпретации». Точнее, это такие процессы, «в которых мы нечто как определенное нечто феноменально выделяем, идентифицируем и реидентифицируем, применяем к нему предикаты и обозначения, что-то приписываем, конструируем связи, классифицируем путем разделения на классы и затем применительно к мирам, сформированным таким образом, получаем мнения, убеждения и обоснованное знание» (Abel G. Was ist Interpretationsphilosophie? // Simon). (Hg.) Zeichen und Interpretation. Frankfurt a. M., 1994. S. 16f.).         Полученная в результате констелляция интерпретативных конструктов располагается, далее, на разных уровнях некоторой модели и может там рассматриваться как результат основного процесса организации, структурирования и конципирования реальности и опыта.         На одном уровне располагаются конструктивные действия в области восприятия и ощущения, в которую тем самым оказываются, включены моменты концептуализации. Это процессы ограничения, ассоциации, различения, предпочтения, анализа, синтеза и проектирования. Всякий предмет восприятия рассматривается как продукт перцептивной конструкции и интерпретации, в который входят как логические, так и эстетические компоненты. На другом уровне могут быть расположены мышление и теоретическое конструирование, специфика которых определяется сенсорным дефицитом. Замена восприятия концептом имеет, в то же время, прагматический характер и соответствует критериям когеренции, консистентное™ и эмпирической истинности.         Согласно интерпретативной философии Абеля, отдельный уровень соответствует пространственно-временной локализации, категоризации и классификации, т.е. деление на роды и виды также является формированием интерпретативных конструктов с точки зрения определенных целей. Они, в свою очередь, покоятся на глубоко лежащей интерпретативной практике жизненного мира. Конкретные типы реальности являются, таким образом, продуктами интерпретативных конструктов на различных уровнях человеческого мира. Реальность оказывается зависимой от функций систем описания, обозначения и интерпретации. Поскольку же эти системы коренятся в «изначально-продуктивных» катетеризирующих функциях знаков, которые предполагаются любой «организацией опыта», глубоко заложены в жизненной практике и выбираются непроизвольно, то тем самым удается избежать релятивизма. Исходя из того, что креативно-конструктивные процессы включаются в когнитивные, науки и искусства могут быть поняты как «проявление продуктивной и ориентировочной активности человеческого бытия-в-мире» (Abel G. Konstruktionen der Wirklichkeit // Sedlmayr E. (Hg.). Wirklichkeit, Bild, Begriff. Berlin, 1997. S. 76), как различные «способы миросозидания».         Особый тип К. — социальный К. — сформировался в рамках социально-гуманитарных наук. Его исходной предпосылкой является своеобразный фундаментализм, уже отброшенный в философии естественных наук. Обществоведы, отказавшись от социального атомизма и индивидуализма, сегодня, в основном, исходят из понятия социума как целого, которое больше суммы своих частей. Такое понятие общества может использоваться как экс-плананс при объяснении частных социальных феноменов (практических действий, речевых актов, экономических структур, религиозных убеждений): каждый из них при этом конструируется из совокупности выполняемых им социальных функций, или ролей.         Методы социального конструирования оказались востребованы в социологии научного знания, начиная со второй половины 1970-х, и при этом как в экстерналистском (Б. Варне, Д. Блур), так и интерналистском (Б. Латур, С. Вулгар, К. Кнорр-Цетина) направлениях данной дисциплины. В первом из них конструирование когнитивных феноменов от первобытной магии до современной науки строилось в форме их редукции к набору убеждений и верований («социальных образов»), принятых в рамках некоторой социокультурной группы и выражающих собой ее основные параметры (внешнюю границу и внутреннюю структуру, по М. Дуглас). Во втором направлении объяснение научных теорий и фактов исходит из самой структуры научного сообщества, которая, правда, в значительной степени скопирована с общества в целом. В частности, в нем фундаментальный характер играет коммуникация между учеными, в которой выражаются их субъективные интересы и стремления (к успеху, благосостоянию, престижному положению и т.п.). Поэтому в процессе научного общения первоначальные факты до неузнаваемости трансформируются: от протокола лабораторных наблюдений до итогового отчета перед ученым советом или научным фондом пролегает дистанция огромного размера.         Социология научного знания, казалось, справилась с наиболее трудной задачей, которая стояла перед социологическим объяснением естествознания. Подобно тому как ранее разные формы политической и религиозной идеологии были разоблачены с помощью редукции к социальным потребностям и интересам, так теперь понятия научной онтологии (атом, кварк, материя, ген, естественный отбор, нейрон, вирус) были провозглашены социальными конструктами. Открытие в них социального содержания и даже их полное сведение к социальным образам и аналогиям открывало дорогу к превращению естествознания в обществознание. На обществоведов возлагалась, тем самым, чрезвычайно трудная задача перевода всех результатов и методов науки (современной в том числе) на язык социологии. Эта практическая сложность задачи обременялась еще и неизжитыми методологическими заблуждениями: провозглашение специфики социального как предмета обществознания шло рука об руку с отрицанием специфического предмета наук о природе. Методологический фундаментализм и редукционизм, превращенные из метода социальной критики в способ построения систематического теоретического знания, оборачивались против самих себя. Ведь и понятия социальных и гуманитарных наук также должны допускать социальную интерпретацию. Само понятие общества есть, таким образом, социальный конструкт, происхождение которого нельзя объяснить никак иначе, чем из самого себя. Этот мыслительный ход и был сделан Н. Луманом, концепция которого явилась особым типом социального К. Ему пришлось вернуться к своеобразному социальному атомизму и допустить (не без помощи логического круга), что само общество конструируется из отдельных коммуникативных актов, в то время как коммуникация уже предполагает социальные связи.         Итоги. Философско-методологический смысл дискуссий вокруг К. состоит в исчерпанности классической программы фундаментализма в обосновании науки, а также в необходимости понимания процессов самоорганизации в природе и обществе. Три понятия — целеполагание, обоснование и творчество — являются ключевыми для К., если под ним понимать все противоречивое многообразие его программ. Является ли самоорганизация и целеполагание прерогативой человека, или они присущи всей живой (неживой) природе? Представляет ли собой объяснение лишь приспособление непознаваемого мира к возможностям ограниченного человека, или корни познавательных способностей уходят далеко в глубь природы, где имеют место аналогичные информационные процессы? Трактовка природной самоорганизации как целесообразности вносит в К. элементы изначально чуждого ему платонизма. Но если конструирование является универсальным механизмом генезиса и развития природы и общества, то и конструктивно-креативная деятельность человека получает надежное обоснование. В таком случае пределы обоснованию и объяснению следует искать не в глубинах человеческой субъективности, но в природных и социальных закономерностях. Этой натуралистической и монистической точке зрения противостоит методологическая и дуалистическая позиция, согласно которой конструктивность — уникальное свойство человеческого сознания и деятельности. В таком случае весь мир делится на пассивную реальность, подлежащую преобразованию, и человека, относительно свободно его осуществляющего. Причем в основном человеческая свобода реализует себя в сфере сознания, благодаря чему и строится конструктивное объяснение и понимание мира и человека. Но эта методологическая свобода оборачивается постоянной необходимостью решать парадоксы и антиномии, преодолевать ошибки и заблуждения, а процесс познания оказывается весьма рискованным и ответственным мероприятием.         И.Т. Касавин         К. радикальный — современная эпистемологическая концепция или течение,усматри вающего свою основную проблему или предмет в проблеме «перспективы наблюдателя других наблюдателей», причем под наблюдателем может пониматься как воспроизводство (аутопойезис) живых организмов (У. Матурана, Ф. Варела), так и система личности как последовательность ментальных актов (X. фон Ферстер, Э. фон Глазерсфельд, Рот, Г. Бэйтсон), а также та или иная система коммуникаций (Н. Луман, Д. Бэккер). Человек же как понятие, неопределенное через его специфические операции, наблюдателем не является.         Аксиомой радикального К. является свойственное и всему К. положение, что реальность не отражается и не репрезентируется языком и сознанием, а создается в процессе наблюдения или познания. Поскольку всякое воспроизводство живого организма, всякий ментальный акт и всякое коммуникативное событие требует подсоединения и отбора последующих аналогичных событий, то самоосуществление организма, психики и коммуникации полагается совпадающим с когнитивными процессами. При этом для выбора своих будущих состояний, а значит для наблюдения и самоконструирования, радикально-конструктивиски интерпретируемые агенты задействуют специальные инструменты — различения, понимаемые как медиумы отбора своего и отклонения всего чуждого, не входящего в данную систему событий.         В качестве методологического учения радикальные конструктивисты используют «логику различений» Дж. Спенсера-Брауна, разработанную в его книге «Законы формы». Свое эпистемологическое основание конструктивисты ищут в неком базовом различении, которое выступает основным инструментом создания или конструкции реальности. Таковым может выступать различение реальности и действительности. Под реальностью понимается мир, независимый от познавательной активности. Действительность же составляет мир познанного, освоенного, данного нам феноменально. «Базовые различения» в каждой конструктивисткой эпистемологии могут быть разные, но в целом допускают сведение к указанному выше. Так, системно-теоретическая версия радикально-конструктивистского (Н. Луман, Д. Бэккер, Е. Эспозито) подхода полагает в качестве базового различение система/внешний мир, где под последним понимается когнитивно недоступная системе реальность. Внешний мир — конструкция системы, которая, собственно, и является постоянно воспроизводящемся самоотличением себя от созданного ею продукта — внешнего мира. В мире самом по себе никаких различений не происходит.         Можно сформулировать основной парадокс К.: достоверной, т.е. отличной от «действительности», реальностью является собственно различение реального и действительного. Реальным может быть лишь сомнение в действительности. В предельном случае число реальностей соответствует числу наблюдений, хотя наблюдения обладают способностью уплотняться, что ведет к созданию воспроизводимых реалий — вещей, объектов, слов и понятий, так что возникает впечатление, будто множеству наблюдений соответствует единственная наблюдаемая реальность. Вопрос же об абсолютном или последнем наблюдателе всех наблюдателей разделил судьбу ньютоновского абсолютного пространства. Существуют лишь локальные (пространства) наблюдения.         Конструктивистская «онтология» может быть метафорически представлена как мир, словно сотканный из миллиардов одновременно осуществляющихся актов наблюдения — моментально вспыхивающих лучей, высвечивающих свой собственный локальный сектор, тут же гаснущих и в следующие мгновение освещающих другое. Радикальность различения реальности и действительности выходит далеко за пределы даже установок критического рационализма, утверждавшего достоверность знания хотя бы заведомо недостоверных аспектов реальности, т.е. достоверность положений о том, чем реальность не является. В то же время и с точки зрения радикального К. ложность, как «другая сторона» истины, выражает принцип рефлексии, принуждает к размышлениям об исследуемом факте или явлении, в то время как истина принимается как не требующая особой мыслительной работы. Иными словами, любое истинное суждение, каким бы нетривиальным оно ни казалось, всегда находится на пути к превращению в тривиальность, просто сопровождающую размышления ученого как фоновое знание, не требующее специального обоснования и концентрации внимания.         Очевидно, что ключевой вопрос радикального К. состоит все в том же классическом отношении знания реальности (действительности) и самой действительности, но это отношение получает теперь новую редакцию. Проблемой для философского исследования становится не сама действительность, а способы ее конструкции, что требует обращения к конкретным эмпирически фиксируемым операциям наблюдения тех или иных агентов или наблюдающих систем. В этом смысле К. не отрицает реальности, но, наоборот, исследует ее генезис. Реальность появляется тогда, когда наблюдатель второго порядка оказывается способным увидеть то, что не видит наблюдатель первого порядка. Ведь у первого наблюдателя его видение, познание (сектор наблюдения) и осваиваемый им сектор реальности совпадают. Он не способен воспринимать само различение, разделяющее его локальный мир (т.е. наблюдение) и недоступные ему сферы.         Лишь наблюдателю второго порядка открывается скрытое от первого «пространство», а значит— и само различие зримого и незримого.         К. претендует на то, чтобы снять классический дуализм субъекта и объекта (в конструктивистской терминологии: операции наблюдения и наблюдаемого феномена). Для этого из физики привлекается понятие комплементарное™, т.е. дополняющих друг друга реалий, которые, однако, не допускают их одновременного наблюдения. И действительно, кажется убедительным, что в сосредоточивании внимания на самой познавательной активности, или, по крайней мере, на одной познавательной операции, от наблюдения ускользает объект, на который она направлена; и наоборот. Знание первого наблюдателя является для него истинным, а значит, применительно к нему нельзя говорить о различии знания и истины (истинного знания). Истина как самостоятельная по отношению к знанию категория появляется лишь в наблюдении второго порядка, когда второй наблюдатель делает вывод, что не все, что знает первый (в чем он уверен или убежден), является истинным.         А.Ю. Антоновский         К. — термин, имеющий широкий спектр значений, чаще всего употребляется для обозначения особого направления в искусстве 20-х г г. 20 в., разработавшего свой художественный стиль.         В философии науки и математике — способ построения и обоснования научных теорий, противоположный теоретико-множественному (см. Множеств теория) и аксиоматическому методу. Впервые возник и получил дальнейшее развитие в связи с проблемами обоснования математики в 20 в. Теория бесконечных множеств, созданная в конце 19 в. усилиями немецкого математика Г. Кантора, пыталась дать окончательное обоснование всей классической математике. Однако через некоторое время в ней возникли антиномии, или парадоксы, которые свидетельствовали о том, что она не может считаться надежным фундаментом здания математики. Со временем число парадоксов стало увеличиваться, и в математике громко заговорили о кризисе ее оснований. В поисках выхода из этого кризиса было выдвинуто несколько новых программ ее обоснования, одной из которых стала программа аксиоматизации теории множеств Кантора. Основная цель этой программы заключалась в том, чтобы, во-первых, ограничить использование понятия множества такими рамками, которые исключили бы возможность образования произвольных множеств, которые служат источником появления парадоксов. (К таким понятиям относится, напр., понятие множества всех множеств Б. Рассела, которое не содержит себя в качестве собственного элемента. Для его популяризации он приводит пример деревенского парикмахера, бреущего тех, и только тех, жителей деревни, которые не бреются сами. На вопрос, как он должен поступить с собой, нельзя дать никакого определенного ответа. В сам о м деле, если он бреет себя, тогда, по принятому условию, он не должен брить себя; если же не бреет себя, тогда обязан брить себя.) Кантор, провозгласивший идею, что сущность математики состоит в ее свободе, ничем не ограничивал процесс образования множеств. По мнению многих математиков, именно ничем не ограниченная свобода в образовании множеств и приводит к появлению парадоксов в этой теории. Во-вторых, необходимо было позаботиться, чтобы все свойства и отношения множеств, необходимые для обоснования математики, можно было логически вывести из аксиом теории множеств. Как заявлял Д. Гильберт, никто не может изгнать нас из рая, который построил Кантор.         В начале 20 в. и позднее было создано несколько различных систем аксиоматической теории множеств. Однако все эти теории имели один общий недостаток: они доказывали, что в их рамках не могут появиться известные до сих пор парадоксы, но не гарантировали появления других, неизвестных, парадоксов.         Наиболее радикальные программы по устранению парадоксов и выходу из кризиса оснований математики были выдвинуты сторонниками формализма во главе с Д. Гильбертом и интуиционизма, объединившихся вокруг Л.Е.Я. Брауэра. Гильберт пытался справиться с парадоксами теории множеств и спасти классическую математику от кризиса путем полной ее формализации с помощью аксиоматического метода. Для этого необходимо было, во-первых, представить ее в виде формализованной аксиоматической системы, а во-вторых, доказать непротиворечивость полученной формальной системы. Такие доказательства не используют абстракции актуальной бесконечности и поэтому должны проводиться с помощью финитных, или конечных, методов, которые являются настолько элементарными, что не вызывают каких-либо сомнений. Такие доказательства Гильберт рассматривает в метаматематике, которая выступает по отношению к формализованной математике как содержательная теория. Е с л и с помощью финитных методов метаматематики в формализованной системе математики нельзя будет обнаружить противоречие, т.е. доказать появление в ней двух противоречащих теорем или формул А и п А, то система будет считаться непротиворечивой, и в ней не могут появиться парадоксы. Однако доказательство в 1931 К. Геделем его знаменитой теоремы о неполноте формальной арифметики показало невозможность осуществления полной формализации классической математики. Программу Гильберта известный отечественный математик А. А. Марков характеризует как неудавшуюся попытку обосновать теоретико-множественную математику на базе конструктивной, а самого Гильберта считает одним из основоположников конструктивной математики.         Дальнейшее развитие идеи К. получили в рамках интуиционистской математики, которую возглавил Л. Брауэр. Интуиционисты считали, что источником возникновения не только парадоксов, но и трудностей в теории множеств, служит использование в ней абстракции актуальной бесконечности. Парадоксы являются лишь симптомами необоснованного применения этой абстракции, поскольку в ней бесконечные множества уподобляются конечным множествам. Напр., бесконечный ряд натуральных чисел рассматривается как актуально построенный, завершенный, одновременно заданный всеми своими числами, а не потенциальный, возникающий после прибавления единицы к предыдущему числу. Поэтому интуиционисты вместо абстракции актуальной бесконечности используют абстракцию потенциальной бесконечности. Они считают также, что сторонники теоретико-множественной математики необоснованно переносят законы классической логики, верные для конечных множеств, на бесконечные множества. Прежде всего, это относится к закону исключенного третьего, который используется в чистых доказательствах существования в математике. В них существование математического объекта считается доказанным, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию. В противоположность этому интуиционисты считают существование объекта доказанным, если его действительно можно построить или вычислить. Поэтому они отказываются и от чистых доказательств существования в математике, и от примене