КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

в математике и логике) – состоит в том, что исследование ограничивается конструктивными объектами и проводится в рамках абстракции потенциальной осуществимости без привлечения абстракции актуальной бесконечности; при этом отвергаются т. н. чистые теоремы существования; существование объекта с данными свойствами лишь тогда считается доказанным, когда указывается способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами. В конструктивных математич. теориях ограничиваются рассмотрением конструктивных объектов нек-рого стандартного типа, что избавляет от необходимости формулировать общее определение конструктивного объекта (понятие конструктивного объекта не определяется, а лишь поясняется). Стандартизации подлежат как элементарные конструктивные объекты, так и способы сочленения элементарных конструктивных объектов. Один из простейших типов конструктивных объектов образуют слова в определ. фиксированном а л ф а в и т е. Слово в данном алфавите есть ряд букв этого алфавита. Напр., (1): ???????????? есть слово в греч. алфавите. Здесь элементарными конструктивными объектами являются буквы данного алфавита, а способ их сочленения – это написание рядом друг с другом. Натуральные числа можно рассматривать как слова в алфавите, единств. буквой к-рого является |. В частности, единица рассматривается как слово |, два – как слово ||, три – как слово |||. При рассмотрении слов появляется понятие о д и н а к о в о с т и. Напр., слово (1) мы считаем одинаковым со словом (2) ????????????. Естеств. образом здесь применяется а б с т р а к ц и я отождествления: мы отождествляем одинаковые слова (1) и (2), отвлекаемся от имеющихся различий между ними, говорим, что это одно и то же слово. При рассмотрении слов в данном алфавите возникает потребность в абстракции и др. типа – в абстракции потенциальной о с у щ е с т в и м о с т и. Она состоит в отвлечении от практич. границ наших возможностей в пространстве, времени и материале при построении слов. Напр., мы отвлекаемся от практич. невозможности написать на данной доске данным мелом сколь угодно длинные слова и начинаем рассуждать так, как если бы это было возможно. Мы утверждаем, в частности, что к любому слову в данном алфавите можно приписать справа любое другое слово в этом алфавите. Рассматривая натуральные числа как слова в однобуквенном алфавите, мы утверждаем, что любые два натуральных числа можно сложить. Это, однако, вовсе не означает, что мы начинаем рассматривать "натуральный ряд" как нек-рый бесконечный "объект". Такое рассмотрение было бы связано с абстракцией актуальной бесконечности, выходящей за рамки К. н. и характерной для т. н. классич. математики и логики. Здесь мы имеем водораздел, отделяющий К. н. от классического. Характерное различие между этими двумя направлениями связано с предложениями о существовании. Конструктивисты и "классики" по-разному понимают самый термин "существование" в связи с объектами математики и логики. В "классической" математике и логике доказываются многочисленные "чистые теоремы существования", состоящие в утверждениях о существовании объектов с такими-то свойствами, при полном игнорировании способов построения таких объектов. К. н. отвергает такого рода предложения. Так, конструктивное понимание параметрич. предложений о существовании, т.е. предложений о существовании, содержащих параметры, могущие принимать различные значения, состоит в их трактовке как предложений о возможности построения алгорифмов, перерабатывающих любое допустимое значение параметров в объект, существование которого утверждается. Например, конструктивный смысл теоремы Эвклида: "для всякого натурального числа х существует простое число у, большее х" (где х играет роль параметра) усматривается в том, что имеется алгорифм, к-рый дает возможность, исходя из произвольного натурального числа х, получить простое число у, большее х – алгорифм, "перерабатывающий" любое натуральное число х в простое число у, большее х. Конструктивному пониманию существования объекта соответствует конструктивное понимание дизъюнкций – предложений вида "Р или Q". Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений Р, Q установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает оснований считать верным закон исключенного третьего: "Р или не верно, что Р". Т.о., К. н. требует своей конструктивной логики, в нек-рых важных пунктах отличной от классической. Оформление и развитие К. н. имело место на основе осуществленного в 30-х гг. 20 в. уточнения понятия алгорифма (см. Алгоритм), освободившего это понятие от расплывчатости и субъективизма. Это было сделано в работах неск. авторов, шедших разными путями: Черча, Клини, Тьюринга, Поста. Теории, построенные этими авторами, – теория рекурсивных функций Клини, исчисления ?-конверсии Черча, теория машин Тьюринга, теория финитных комбинаторных процессов Поста – оказались эквивалентными друг другу и привели по существу к одному и тому же уточнению понятия алгорифма. Новые уточнения этого понятия, также эквивалентные прежним, были построены рядом др. авторов. В наст. время продолжают публиковаться все новые и новые теории алгорифмов, эквивалентные прежним теориям. Для целей К. н. оказалась удобной теория "нормальных" алгорифмов. Н о р м а л ь н ы е а л г о р и ф м ы строятся по следующему плану. Фиксируется нек-рый алфавит А. Из его букв и нек-рых вспомогат. знаков строится стандартного вида "схема" будущего алгорифма. Алгорифм формулируется затем как нек-рое стандартного вида предписание, определяемое схемой. Оно определяет процесс последоват. преобразования слова в алфавите А. В качестве исходного слова при этом может быть взято любое слово P в алфавите А. Процесс, порождаемый данным алгорифмом, состоит из последоват. дискретных шагов, на каждом из к-рых получается нек-рое слово в алфавите А. Алгорифм определяет также окончание процесса, к-рое может и никогда не наступать. Если окончание наступает, то мы говорим, что данный алгорифм п р и м е н и м к с л о в у Р, и называем слово Q, получаемое на последнем шаге, р е з у л ь т а т о м применения алгорифма к слову Р. Мы говорим тогда, что данный а л г о р и ф м перерабатывает слово P в слово Q и выражаем это равенством U (Р) = Q, где U – знак рассматриваемого алгорифма. Нормальный алгорифм определяется своим алфавитом и своей схемой. Схема нормального алгорифма может быть закодирована словом в двубуквенном алфавите. Это слово называется з а п и с ь ю данного алгорифма. Теория нормальных алгорифмов строится в рамках абстракции потенциальной осуществимости. Слова в рассматриваемом алфавите А, схемы нормальных алгорифмов в А – все это потенциально осуществимые конструктивные объекты. Сам процесс применения нормального алгорифма к данному слову рассматривается как потенциально осуществимый процесс. Для того чтобы удостовериться в применимости алгорифма U к слову Р, не обязательно, чтобы процесс применения U к P был выполнен перед нашими глазами от начала до конца. Как же можно удостовериться в этом? Сов. конструктивисты А. А. Марков и Н. А. Шанин считают здесь возможным применять рассуждение "от противного", т.е. утверждать, что а л г о р и ф м U применим к слову Р, если предположение о неограниченной продолжаемости процесса приме-нения U к P опровергнуто приведением к нелепости. Они мотивируют это тем, что никакого выхода за рамки К. н. при этом не происходит: абстракция актуальной бесконечности не привлекается, существование продолжает совпадать с потенциальной осуществимостью построения. Если на основании доказанной невозможности неогранич. продолжаемости детерминированного процесса утверждается, что этот процесс закончится, то при этом дается совершенно определенный способ построения: продолжать процесс до его завершения. То обстоятельство, что при этом число шагов может не быть "заранее" ограниченным, ничего здесь по существу не меняет. К тому же требование, чтобы это число было заранее ограниченным, едва ли может быть точно и объективно формулировано. Рассмотренный способ доказательства применимости алгорифма дает возможность обосновать следующий способ рассуждения. Пусть для свойства b; имеется алгорифм, выясняющий для всякого натурального числа n, обладает ли n свойством b;. Если опровергнуто предположение о том, что ни одно число не обладает свойством n, то имеется натуральное число со свойством b;. Найти это натуральное число можно тогда путем перебора натуральных чисел, начиная с нуля, причем для каждого рассматриваемого натурального числа n мы выясняем, пользуясь алгорифмом, наличие к-рого предполагается, обладает ли n свойством b;. В силу этого данный способ рассуждения наз. методом конструктивного п о д б о р а. Использование точного понятия алгорифма дает возможность развивать конструктивную математику и конструктивную математич. логику как науки. В частности, в настоящее время строятся конструктивный математич. анализ (важные результаты здесь получены А. А. Марковым, Н. А. Шаниным, Г. С. Цейтиным, И. Д. Заславским и др. сов. учеными), во многих отношениях непохожий на классический. Есть основания думать, что К. н. в математике будет удовлетворять запросам, предъявляемым математике со стороны др. наук. К. н. имеет точки соприкосновения с т. н. интуиционистской математикой (см. Интуиционизм). Конструктивисты сходятся с интуиционистами в трактовке предложений о существовании натурального числа с данным свойством как констатации наличия метода построения числа с этим свойством. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкций и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемыми методологич. основы интуиционизма. Интуиционисты не признают человеч. практику источником формирования математич. понятий, методов математич. построении и методов умозаключений. Единств. источником математики они считают первоначальную "интуицию", а критерием истинности в математике – "интуитивную ясность". В основу своей теории действит. чисел интуиционисты кладут идею "свободно становящейся последовательности", к-рую они считают интуитивно ясной, но к-рая для многих др. математиков совсем не ясна. Эта идея во всяком случае несовместима с осн. требованием К. н., состоящим в том, что лишь конструктивные объекты допускаются в качестве объектов исследования. Лит.: Марков ?. ?., Теория алгорифмов, Тр. Матем. ин-та, т. 38, М., 1951, с. 176–89; его же, Теория алгорифмов, там же, т. 42, М., 1954; Цейтин Г. С., Алгорифмич. операторы в конструктивных метрич. пространствах, там же, т. 67, М.–Л., 1962; Заславский И. Д., Некоторые свойства конструктивных чисел и конструктивных функций, там же; Шанин ?. ?., О конструктивном понимании математических суждений, там же, т. 52, М.–Л., 1958; его же, Конструктивные веществ. числа и конструктивные функциональные пространства, там же, т. 67, М.–Л., 1962; Specker E., Nicht konstruktiv beweisbare S?tze der Analysis, "J. Symbolic Logic", 1949, v. 14, No 3. А. Марков. Москва.