КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА

совокупность логических принципов, признаваемых представителями конструктивизма (в математике) и включающих абстракцию потенциальной, но не актуальной бесконечности, что определенным образом изменяет понимание логических связок и кванторов (по сравнению с их пониманием в классической логике), сочетая это понимание с конструктивными процессами (процессами, описываемыми алгоритмами). Так, дизъюнкция высказываний «А или В» считается обоснованной, если потенциально осуществим конструктивный процесс, позволяющий выбрать верный член этой дизъюнкции; аналогично оценивается обоснованность многочленных дизъюнкций. Близко к пониманию дизъюнкции истолкование квантора существования: утверждение «существует такой х, для которого справедливо условие А> считается обоснованным, если потенциально осуществим конструктивный процесс подбора конструктивного объекта х, подтверждающего условие. Обоснование конъюнкции «А и В» состоит в обосновании обоих (т. е. всех) конъюнктивных членов, а утверждение «Для всякого х справедливо условие А» считается обоснованным, если мы в состоянии для всякого объекта рассматриваемого вида доказать, что он удовлетворяет предъявленному требованию. Обоснование импликации «если А, то В» состоит в предъявлении конструктивного процесса, позволяющего по обоснованию утверждения А построить обоснование утверждения В. Отрицание утверждения А обосновывается предъявлением конструкции, приводящей к противоречию всякую попытку обоснования/!.
Конструктивное истолкование логических связок и кванторов допускает и различные другие уточнения. В частности, созданы различные аксиоматические системы конструктивной логики. Поскольку конструктивная позиция идейно близка интуиционистской, аксиоматические системы, первоначально предназначавшиеся для реконструкции интуиционистски приемлемых рассуждений (см. Интуиционистская логика), называются (или подразумеваются) конструктивными. (Напр., активно изучающиеся суперинтуиционистские логики в 60-е гг. и несколько позже назывались суперконструктивными.) Отличие этих логик от классической проявляется в том, что хотя конструктивно приемлемыми являются, напр., законы » -ip, -r-r-ip —> - (> q) -> (-.q —> -.), в этих системах отсутствуют практически все остальные варианты форм рассуждений «от противного» — закон снятия двойного отрицания -.-.> р, закон контрапозиции (-ip —> -iq) —> (q —> ), закон Клавия (-.> ) —> закон Пирса ((> q) —> ) —> и др. Кроме того, в конструктивной логике связки независимы, т. е. не выражаются друг через друга, нет классической взаимовыразимости кванторов всеобщности и существования. В результате оказываются, в частности, необоснованными рассуждения, приводящие к доказательству т. н. чистых теорем существования, типичным примером которых является доказательство Г. Кантора существования трансцендентных (т. е. действительных, но не алгебраических) чисел: приводится к противоречию предположение о возможности расположить все действительные числа в последовательность, в то время как алгебраические числа в последовательность можно расположить. Чистые теоремы существования (имеется в виду формулировка теоремы, проистекающая из доказательства) имеют вид -~3, не переводимый в ЗхА(х), поскольку их доказательства не дают конкретного х, подтверждающего справедливость А, а лишь приводят к противоречию утверждение об отсутствии такого х. Однако ввиду специфики конструктивных объектов и процессов многими представителями конструктивизма (в отличие, скажем, от приверженцев интуиционизма) принимается принцип конструктивного подбора (или принцип Маркова): если имеется алгоритм, позволяющий по произвольному конструктивному объекту х осуществлять конструктивный процесс установления наличия ух свойства Л, то в случае обоснования -г-ЗхА(х) считается обоснованным и ЗхА(х). Взаимосвязи классических и конструктивных логических систем проявляются на пропозициональном уровне в виде т. н. теоремы Гливенко: а) отрицательные утверждения в этих системах одинаковы; б) конструктивно приемлемым является двойное отрицание любого закона классической логики высказываний и наоборот. Для справедливости теоремы Гливенко для предикатных вариантов конструктивных и классических систем необходимо добавление в качестве схемы аксиом в конструктивную систему закона -,(/xA(x) хА(х}) и/или закона Уд:-гтД(х) —> -. ^ (обратная импликация -г- Ул4(х) -> Vx - принимается в конструктивной логике). Отличительной чертой систем конструктивной логики и построенных на их основе теорий являются т. н. 1) свойство дизъюнкции (или дизъюнктивное свойство) — если выводима дизъюнкция, то выводим и некоторый ее дизъюнктивный член, — и 2) экзистенциальное свойство — если выведена формула Эл4(х), то можно вывести и формулу A(t) при некотором конкретном эффективно разыскиваемом t, т. е. из доказательства существования конструктивного объекта с требуемыми свойствами можно извлечь конструкцию его построения. Кроме аксиоматических систем конструктивной логики, имеются различные семантические построения, отражающие конструктивные воззрения на смысл логических связок, формул и т. д. Наиболее известными являются рекурсивная реализуемость по С. К. Клини и ее варианты, а также разработанная Н. А. Шаниным мажорантная семантика арифметических формул и созданная А. А. Марковым ступенчатая система построения логических языков с одновременным определением их семантики «снизу вверх».
Лит.: Марков А. А. О логике конструктивной математики. М., 1972; Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М., 1977; Он же. Элементы математической логики. М., 1984; Справочная книга по математической логике, т. IV: Теория доказательств и конструктивная математика. М., 1983; Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. 2-е изд. М., 1996.
А. В. Чагров