совпадение, предполагающее нумерическое единство.
ТОЖДЕСТВО
Тождество
ТОЖДЕСТВО
1) полное сходство; 2) мат: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него знаков.
Источник: Словарь науки. Общенаучные термины и определения. 2008 г.
Тождество
равенство (числовое, алгебраическое, аналитическое), справедливое во всех точках области или при всех допустимых значениях переменных (ср. Идентичность).
Тождество
1. В философии Г. Гегеля: одно из основных понятий закона единства и борьбы противоположностей; отношение вещи к самой себе или к другим вещам, сторонами которого являются свойства, силы и тенденции, совпадающие друг с другом. 2. Полное сходство. 3. В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него знаков.
ТОЖДЕСТВО
философская категория, выражающая: а) равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов (а б с т р а к т н о е тождесто); б) единство сходства и несходства, тождества (в первом значении) и различия, обусловленною изменением, развитием предмета (к о н к р е т н о е тождество). Оба вида тождества в процессе познания взаимно связаны и переходят друг в друга: первый из них выражает момент устойчивости, второй – изменчивости.
Источник: Евразийская мудрость от а до Я
ТОЖДЕСТВО
то, посредством чего одна вещь абсолютно подобна другой. Понимание обычно предполагает подведение («идентификацию») нового знания под то, что мы уже знаем. Именно в этом смысле тождество — форма всякого понимания. Мейерсон видел в синтезе всех знаний об универсуме, в их редукции к тождеству идеал науки: как раз, наука должна прийти в результате к единой формуле (представленной сегодня формулой относительности), из которой мы сможем вывести все частные законы науки. Этот идеал предстает скорее как философский, чем как научный, потому что научный прогресс ведет скорее к бесконечной диверсификации методов науки (специализация), и ее непосредственная цель состоит скорее в вечной возможности познания новых объектов, чем в унификации методов (эта работа по унификации составляет цель размышления о науке, эпистемологии).
Источник: Философский словарь
Тождество
закон тождества состоит в том, что мы не можем не мыслить каждую вещь, как ту именно, а не другую. Без этого логического закона мы ни о чем не могли бы мыслить, ничего не могли бы представлять, наконец, ничего не могли бы соединять и разделять ни представлением, ни рассудком, и все в нашем уме превратилось бы в хаос. Закон тождества в связи с законом противоречия, в силу которого мы не можем что-либо, признанное как то же, не признавать как то же и утверждать, что оно не то же. На основании этого закона ничто противоречащее не должно быть допускаемо. Таков логический смысл закона тождества; на основании его мы не можем ни представлять, ни мыслить что-либо, как это что-либо и вместе как чтолибо не то, а другое. Но в некоторых пантеистических доктринах тождество принимается в предметном смысле как единое основание всех вещей, несмотря на необходимость различения их. Так, например, у Шеллинга тождество идеального и реального, духа и природы, или вещества, было основной мыслью его философии. Тождествословие см. Тавтология.
Источник: Философский словарь или краткое объяснение философских и других научных выражений. Киев 1876 г.
ТОЖДЕСТВО
категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, неразличимыми, если и только если все свойства (и отношения), к-рые характеризуют А, характеризуют и В, и наоборот (закон Лейбница). Однако, поскольку материальная действительность постоянно изменяется, абсолютно тождественных самим себе предметов, даже в их существенных, осн. свойствах, не бывает. Т. является не абстрактным, а конкретным, т. е. Содержащим внутренние различия, противоречия, постоянно “снимающим” себя в процессе развития, зависящим от данных условий. Само отождествление отдельных предметов требует их предварительного отличия от других предметов; с др. стороны, часто приходится отождествлять различные предметы (напр., с целью создания их классификаций). Это означает, что Т. неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое Т. вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно. В математике, где мы оперируем с абстракциями (числами, фигурами), рассматриваемыми вне времени, вне их измерения, закон Лейбница действует без особых ограничений. В точных же опытных науках абстрактное, т. е. отвлекающееся от развития вещей Т., используется с ограничениями, и то лишь потому, что в процессе познания мы прибегаем в известных условиях к идеализации и упрощению действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический тождества закон.
Источник: Философский энциклопедический словарь
ТОЖДЕСТВО
- отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде.
Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: "х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х". Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.
Источник: Словарь по логике
Тождество
Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо, если речь идет не о субъектах, отношение между двумя объектами, являющими собой один и тот же объект. «В строгом смысле слова этот термин чрезвычайно точен, – отмечает Кин, – вещь тождественна самой себе и ничему другому, даже дубликату‑близнецу» («Сущности», статья «Тождество»). Два монозиготных близнеца, даже если предположить, что они совершенно схожи, являются близнецами только потому, что они суть два разных индивидуума; если бы они были абсолютно тождественны (в том смысле, в каком автор «Пармской обители» тождественен автору «Люсьена Левена» (и тот и другой романы принадлежат перу Стендаля. – Прим. ред.)), они составляли бы единое существо и не были бы близнецами. Таким образом, тождество в строгом смысле слова подразумевает уникальность, свойство быть одним и тем же, а никто не может в точности повторять никого, кроме себя.
В более широком и более прочно укоренившемся в традиции значении тождественными называют два объекта, дабы подчеркнуть их сходство. Например, друзья отмечают между собой тождество точек зрения или вкусов.
Оба значения имеют право на существование, важно лишь не путать одно с другим. Поэтому, употребляя слово «тождество» в первом значении, к нему часто добавляют определение «количественное» (чтобы подчеркнуть, что речь идет об одном и том же объекте: «Мы живем в одном и том же доме»). В отличие от этого специфическое или качественное тождество указывает на полное сходство между многими различными объектами (выражение «У нас с ним одна и та же машина» подразумевает существование двух автомобилей одной марки, одной модели и одного цвета).
Тождество последнего вида никогда не бывает абсолютным (два тождественных автомобиля никогда не бывают абсолютно одинаковыми). Но бывает ли абсолютным количественное тождество? В настоящем времени – да, бывает, но только и исключительно в настоящем времени. Если рассматривать его с точки зрения времени, то оно становится таким же относительным, как качественное тождество, а быть может, и еще более иллюзорным. Стендаль начал писать «Люсьена Левена» в 1834 году и был тогда на четыре года моложе автора «Пармской обители». Какое же здесь тождество? А если он все‑таки был тождественен себе более позднему, то почему написал другую книгу, а не ту же самую?
Заблуждением было бы думать, что понятие тождества, формальное по своей сути, способно дать нам какое‑либо знание о реальной действительности. Утверждение, что Стендаль, Анри Бейль и автор «Жизни Анри Брюлара» являют собой единое целое, позволяет нам получить хоть какое‑то знание только в том случае, если нам известно, что означает каждое из этих слов. Точнее даже, лишь потому, что это нам известно, мы и можем утверждать, что все три упомянутых лица являются одним и тем же человеком. Тождество, подобно удостоверению личности, ничего не сообщает о содержании того, на что указывает (ибо это не сущность); оно лишь говорит, что это содержание равно самому себе. А=А. Тождество не есть сущность, хотя сущность подразумевает тождество.
Вполне вероятно, во всяком случае, я придерживаюсь именно такого мнения, что во времени ничто не способно оставаться тождественным себе. Ничто не остается постоянным, как говорят буддисты, и нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Что нисколько не мешает реальной действительности оставаться тождественной себе в настоящем времени. В этом пункте Парменид торжествует победу над Гераклитом, хотя триумф его тщетен: он побеждает и в том случае, если бы прав был Гераклит. Мы можем думать, что есть такая вещь, как тождество; однако о том, что такое тождество, мысль может узнать только благодаря бытию, а не самому тождеству. Не бывает онтологии a priori. Тождество есть необходимое, но пустое понятие. Это всего лишь имя, которое мы присваиваем чистому присутствию себя в реальности, тогда как реальность именем не является.
Тождество – одно из измерений молчания, благодаря которому возможна речь.
В более широком и более прочно укоренившемся в традиции значении тождественными называют два объекта, дабы подчеркнуть их сходство. Например, друзья отмечают между собой тождество точек зрения или вкусов.
Оба значения имеют право на существование, важно лишь не путать одно с другим. Поэтому, употребляя слово «тождество» в первом значении, к нему часто добавляют определение «количественное» (чтобы подчеркнуть, что речь идет об одном и том же объекте: «Мы живем в одном и том же доме»). В отличие от этого специфическое или качественное тождество указывает на полное сходство между многими различными объектами (выражение «У нас с ним одна и та же машина» подразумевает существование двух автомобилей одной марки, одной модели и одного цвета).
Тождество последнего вида никогда не бывает абсолютным (два тождественных автомобиля никогда не бывают абсолютно одинаковыми). Но бывает ли абсолютным количественное тождество? В настоящем времени – да, бывает, но только и исключительно в настоящем времени. Если рассматривать его с точки зрения времени, то оно становится таким же относительным, как качественное тождество, а быть может, и еще более иллюзорным. Стендаль начал писать «Люсьена Левена» в 1834 году и был тогда на четыре года моложе автора «Пармской обители». Какое же здесь тождество? А если он все‑таки был тождественен себе более позднему, то почему написал другую книгу, а не ту же самую?
Заблуждением было бы думать, что понятие тождества, формальное по своей сути, способно дать нам какое‑либо знание о реальной действительности. Утверждение, что Стендаль, Анри Бейль и автор «Жизни Анри Брюлара» являют собой единое целое, позволяет нам получить хоть какое‑то знание только в том случае, если нам известно, что означает каждое из этих слов. Точнее даже, лишь потому, что это нам известно, мы и можем утверждать, что все три упомянутых лица являются одним и тем же человеком. Тождество, подобно удостоверению личности, ничего не сообщает о содержании того, на что указывает (ибо это не сущность); оно лишь говорит, что это содержание равно самому себе. А=А. Тождество не есть сущность, хотя сущность подразумевает тождество.
Вполне вероятно, во всяком случае, я придерживаюсь именно такого мнения, что во времени ничто не способно оставаться тождественным себе. Ничто не остается постоянным, как говорят буддисты, и нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Что нисколько не мешает реальной действительности оставаться тождественной себе в настоящем времени. В этом пункте Парменид торжествует победу над Гераклитом, хотя триумф его тщетен: он побеждает и в том случае, если бы прав был Гераклит. Мы можем думать, что есть такая вещь, как тождество; однако о том, что такое тождество, мысль может узнать только благодаря бытию, а не самому тождеству. Не бывает онтологии a priori. Тождество есть необходимое, но пустое понятие. Это всего лишь имя, которое мы присваиваем чистому присутствию себя в реальности, тогда как реальность именем не является.
Тождество – одно из измерений молчания, благодаря которому возможна речь.
Источник: Философский словарь.
тождество
ТОЖДЕСТВО — понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «я (есть) то же, что и Ь >, или «а тождественно Ь», что может быть символизировано как «а = Ь» (такое утверждение обычно называют абсолютным Т.), либо в форме «я есть то же по свойству Ф, что и Ь». Утверждения подобного вида называется относительным Т. и могут быть символизированы как «я = Ф». Утверждения Т., как правило, истолковываются различным образом. Наиболее ограничительным является предложение Л. Витгенштейна элиминировать утверждения Т. путем введения специальных ограничений на единичные термины, когда каждому предмету сопоставляется не более одного единичного термина. Альтернативный подход представлен классической теорией Т. (Дж. Перри, Дж. Нельсон), сводящей все Т. естественного языка к абсолютным Т. (обычно в этом случае Т. определяется с помощью закона Г. Лейбница), и релятивистской теорией (П. Гич), сводящей все Т. к относительным. Существует и смешанная нередукционистская стратегия (Д. Одегард), когда принимаются во внимание оба вида Т. Классическая теория Т. базируется на утверждении о том, что все тождественно самому себе, ничто не является тождественным чему-либо еще, кроме самого себя (Д. Льюис). Однако при подобном понимании Т. для физических объектов возникают проблемы преемственности (самотождественны ли длящиеся во времени предметы? сохраняются ли предметы после замены их частей?). Согласно Г. Фреге, мы должны уметь распознавать объект, обозначенный введенным нами символом, как тот же самый. В связи с этим вводится принцип неразличимости тождественных предметов, гласящий, что тождественные объекты неразличимы по свойствам. Теория относительного Т. принимает следующий постулат: два предмета могут совпадать по отношению к одному свойству, и различаться по отношению к др. Тем не менее теория относительного Т. сводима к классической теории абсолютного Т. с помощью специальных допущений. Формальные теории относительного Т. в большинстве своем строятся в рамках второпорядковой логики, поскольку приходится вести речь о совокупности свойств. Отношению относительного Т. в этом случае сопоставляется множество свойств — такое, что относительная тождественность влечет неразличимость по отношению к свойствам из выбранного множества свойств. Полная спецификация множества свойств в общем случае затруднительна (при конструктивистском подходе прибегают к абстракции отождествления, при которой выделяются общие свойства и отношения при одновременном отвлечении от некоторых характеристик исследуемых объектов). Более гибкая трактовка получается при переходе к неклассической второпорядковой логике, напр. трехзначной второпорядковой логике ( Р. Роутли и Н. Гриффин). В последние десятилетия проблема Т. часто обсуждалась в связи с семантикой возможных миров. Центральными вопросами при этом были проблема подстановки тождественных выражений и проблема идентификации индивидов сквозь возможные миры. Закон подстановки тождественного гласит, что если один из двух тождественных объектов обладает определенным свойством, то таким же свойством обладает и второй объект. В модальных контекстах это приводит к тому, что все Т. являются необходимыми Т. Тем самым ставится под сомнение возможность случайных утверждений Т. Для решения этой проблемы С. Крипке вводит в рассмотрение термин «жесткий десигнатор», обозначающий один и тот же объект во всех возможных мирах. В этом случае если an b являются жесткими десигнаторами, то утверждение а = b не только истинно, но и необходимо истинно. Др. решение, предложенное Я. Хинтиккой, заключается в задании подкласса класса индивидуальных концептов (т.е. функций, принимающих в качестве своих аргументов возможные миры, а в качестве значений — объекты соответствующих предметных областей). Элементы этого подкласса (индивидуирующие функции или мировые линии) служат для связи индивидов из различных предметных областей, присущих различным мирам. Индивиды, связанные мировыми линиями, являются как раз теми индивидами, которые предполагаются тождественными в подходе Крипке. В.Л. Васюков, ММ. Новоселов Ят.: Целшцев В.В. Понятие объекта в модальной логике. Новосибирск, 1978; Крипке С. Тождество и необходимость // Новое в зарубежной лингвистике. М., 1982. С. 340—376; Wiggins D. Identity and Spatio-Temporal Continuity. Oxford, 1967; Griffin N. Relative Identity. Oxford, 1977; Brennan A. Condition of Identity. Oxford, 1988.
ТОЖДЕСТВО
понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родо-видовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых реально различных объектов - вид может быть и бесконечной совокупностью. Но совпадение наряду с родо-видовыми и всех индивидуальных свойств (индивидуация) необходимо приводит к одному объекту или к одночленной совокупности, в к-рой объекты различны лишь условно-нумерически.
Имея в виду объективность Т. и опасность подмены Т. сходством, если анализ признаков не доведен до конца, филос. мысль с давних пор связывала совпадение свойств тождественных либо с актуальной бесконечностью этих свойств, либо с положением объектов в пространстве и во времени. В первом случае одновременно постулировалось бесконечное разнообразие объектов (principium individuationis), во втором - абс. характер пространства и времени. Эти соперничающие взгляды на основу Т. господствовали до нач. 20 в. и в естествознании, поскольку они подкреплялись авторитетом классич. физики. Но с появлением новой физики оба постулата в их общем виде пришлось оставить: теория относительности релятивизировала пространственно-временные свойства объектов, а микрофизика открыла объекты с очень малым числом тех свойств (параметров), по к-рым все эти объекты оказались тождественными, обосновав при этом достаточность названных свойств для к.-л. сравнения микрообъектов и вовсе исключив пространственно-временные свойства из множества индивидуализирующих. Т. о., отказ от постулатов, определявших классич. представления о Т., обозначил переход науч. мышления к более простой и более конструктивной идее Т., основанного на понятии о наблюдаемых состояниях объектов, т. е. по существу - на абстракции отождествления или на абстракции неразличимости.
В совр. теории Т. возможная независимость Т. от актуально бесконечной индивидуации объектов выражается условием подстановочности (взаимозаменимости) тождественных, к-рое означает, что в любом случае процесс абстракции, связанный с Т. и отнесенный к к.-л. предметной области (см. Абстракции принцип), дает исчерпывающее описание этой области, т. е. поэлементное ее разбиение. При этом, строго говоря, вопрос о полноте описания универсума науч. теории в соответствии с принципом подстановочности дополняется вопросом о возможных выразит. средствах описания, напр. о языке науч. теории и ее осн. абстракциях. Относительность полноты описания, вызванная условием на подстановку, должна дополняться абс. характером того же описания в том смысле, что сама возможность подстановки должна отражать определ. инвариант в содержании нашего познания, объективность к-рого гарантируется к.-л. фундаментальными принципами науч. теории (типа принципа неопределенности или принципа запрета в квантовой механике). Тот факт, что Т. имеет место уже независимо от нашего желания отождествлять или различать объекты, выражается в совместном утверждении принципа подстановочности и принципа Т.: x = х, к-рые оба входят в определение понятия Т. и в совместной истинности к-рых проявляется диалектика процесса познания.
В чистой логике формулировка условия подстановочности (с формульной переменной) придает понятию Т. характер предельно общей - абс. абстракции. Но в естеств.-науч. теориях (в прикладной логике) условия на подстановочность определяют Т. как относит. абстракцию, как равенство относительно определ. предикатов, поскольку сводят его к совпадению только тех свойств, к-рые подразумеваются данной теорией. Вообще, чисто логич. понятие об «одном и том же» на практике и в теории реализуется в конкретных гносеологич. вариантах: на практике - в силу ограничений, к-рые процесс восприятия накладывает на процесс отождествления; в теории - в силу достаточности запаса свойств, определимых в теории, для суждений о Т. в этой теории. Но хотя понимание Т., ограниченное таким образом, не исключает неабсолютных (т. н. нестандартных) моделей для Т., все же равносильность относит. и абс. понимания Т. обязательна в интервале абстракции отождествления, поскольку вообще интервал абстракции - это информация о возможных моделях абстракции, извлеченная только из самой абстракции. В логико-модельном истолковании указанная ситуация означает, что если к.-л. теория с относит. Т. имеет модель, то она имет модель и при абс. интерпретации этого Т., т. е. имеет стандартную модель. В интервальном истолковании для этой же ситуации вводится понятие о собств. универсуме теории, полное описание ?poro связано с абстракцией отождествления по признакам, выраженным предикатами, к-рые определимы в данной теории. Такое относит. Т. абсолютно в универсуме теории; оно естественно индуцируется на универсумах ее моделей, если последние известны не сами по себе, а только как образы универсума теории. В этом случае очевидно, что изменение абстракций теории может привести к принципиально иной информации о ее моделях.
Различие в названных истолкованиях модельных ситуаций с Т. связано с различными концепциями Т.- лингвистической, преобладающей в логике и восходящей к Фреге, и гносеологической, преобладающей в философии и восходящей к Лейбницу. Согласно первой, смысл Т. заведомо и однозначно определен для любых структур и теорий. Это постоянный предикат, значением к-рого служит логич. функция, истинная, когда ее аргументам сопоставляется один и тот же объект л модели, в к-рой интерпретируется предикат Т. При этом значение слов «один и тот же» применительно к той или иной модели выносится за рамки лингвистич. концепции Т., а смысл самого Т. сводится к случаю языковой синонимии - это Т. имен, знаков. Согласно гносеологич. концепции, предикат Т. требуется рассматривать, вообще говоря, как переменный, как функцию понятия «один и тот же объект в данной теории», т. е. как функцию той абстракции отождествления, к-рая выражает подстановочность в этой теории. Поэтому гносеологич. концепция позволяет говорить о Т. различных объектов в прямом смысле, вне их знаковой роли. Кроме того, эта концепция для суждений о Т., истинных в интервале абстракций теории, утверждает и их необходимость, обосновывая эту необходимость постулатами теории и разрешая, т. о., модальные парадоксы Т. Лингвистич. концепция, напротив, довольствуется случайным Т., поскольку синонимия - случайное свойство языка.
Имея в виду объективность Т. и опасность подмены Т. сходством, если анализ признаков не доведен до конца, филос. мысль с давних пор связывала совпадение свойств тождественных либо с актуальной бесконечностью этих свойств, либо с положением объектов в пространстве и во времени. В первом случае одновременно постулировалось бесконечное разнообразие объектов (principium individuationis), во втором - абс. характер пространства и времени. Эти соперничающие взгляды на основу Т. господствовали до нач. 20 в. и в естествознании, поскольку они подкреплялись авторитетом классич. физики. Но с появлением новой физики оба постулата в их общем виде пришлось оставить: теория относительности релятивизировала пространственно-временные свойства объектов, а микрофизика открыла объекты с очень малым числом тех свойств (параметров), по к-рым все эти объекты оказались тождественными, обосновав при этом достаточность названных свойств для к.-л. сравнения микрообъектов и вовсе исключив пространственно-временные свойства из множества индивидуализирующих. Т. о., отказ от постулатов, определявших классич. представления о Т., обозначил переход науч. мышления к более простой и более конструктивной идее Т., основанного на понятии о наблюдаемых состояниях объектов, т. е. по существу - на абстракции отождествления или на абстракции неразличимости.
В совр. теории Т. возможная независимость Т. от актуально бесконечной индивидуации объектов выражается условием подстановочности (взаимозаменимости) тождественных, к-рое означает, что в любом случае процесс абстракции, связанный с Т. и отнесенный к к.-л. предметной области (см. Абстракции принцип), дает исчерпывающее описание этой области, т. е. поэлементное ее разбиение. При этом, строго говоря, вопрос о полноте описания универсума науч. теории в соответствии с принципом подстановочности дополняется вопросом о возможных выразит. средствах описания, напр. о языке науч. теории и ее осн. абстракциях. Относительность полноты описания, вызванная условием на подстановку, должна дополняться абс. характером того же описания в том смысле, что сама возможность подстановки должна отражать определ. инвариант в содержании нашего познания, объективность к-рого гарантируется к.-л. фундаментальными принципами науч. теории (типа принципа неопределенности или принципа запрета в квантовой механике). Тот факт, что Т. имеет место уже независимо от нашего желания отождествлять или различать объекты, выражается в совместном утверждении принципа подстановочности и принципа Т.: x = х, к-рые оба входят в определение понятия Т. и в совместной истинности к-рых проявляется диалектика процесса познания.
В чистой логике формулировка условия подстановочности (с формульной переменной) придает понятию Т. характер предельно общей - абс. абстракции. Но в естеств.-науч. теориях (в прикладной логике) условия на подстановочность определяют Т. как относит. абстракцию, как равенство относительно определ. предикатов, поскольку сводят его к совпадению только тех свойств, к-рые подразумеваются данной теорией. Вообще, чисто логич. понятие об «одном и том же» на практике и в теории реализуется в конкретных гносеологич. вариантах: на практике - в силу ограничений, к-рые процесс восприятия накладывает на процесс отождествления; в теории - в силу достаточности запаса свойств, определимых в теории, для суждений о Т. в этой теории. Но хотя понимание Т., ограниченное таким образом, не исключает неабсолютных (т. н. нестандартных) моделей для Т., все же равносильность относит. и абс. понимания Т. обязательна в интервале абстракции отождествления, поскольку вообще интервал абстракции - это информация о возможных моделях абстракции, извлеченная только из самой абстракции. В логико-модельном истолковании указанная ситуация означает, что если к.-л. теория с относит. Т. имеет модель, то она имет модель и при абс. интерпретации этого Т., т. е. имеет стандартную модель. В интервальном истолковании для этой же ситуации вводится понятие о собств. универсуме теории, полное описание ?poro связано с абстракцией отождествления по признакам, выраженным предикатами, к-рые определимы в данной теории. Такое относит. Т. абсолютно в универсуме теории; оно естественно индуцируется на универсумах ее моделей, если последние известны не сами по себе, а только как образы универсума теории. В этом случае очевидно, что изменение абстракций теории может привести к принципиально иной информации о ее моделях.
Различие в названных истолкованиях модельных ситуаций с Т. связано с различными концепциями Т.- лингвистической, преобладающей в логике и восходящей к Фреге, и гносеологической, преобладающей в философии и восходящей к Лейбницу. Согласно первой, смысл Т. заведомо и однозначно определен для любых структур и теорий. Это постоянный предикат, значением к-рого служит логич. функция, истинная, когда ее аргументам сопоставляется один и тот же объект л модели, в к-рой интерпретируется предикат Т. При этом значение слов «один и тот же» применительно к той или иной модели выносится за рамки лингвистич. концепции Т., а смысл самого Т. сводится к случаю языковой синонимии - это Т. имен, знаков. Согласно гносеологич. концепции, предикат Т. требуется рассматривать, вообще говоря, как переменный, как функцию понятия «один и тот же объект в данной теории», т. е. как функцию той абстракции отождествления, к-рая выражает подстановочность в этой теории. Поэтому гносеологич. концепция позволяет говорить о Т. различных объектов в прямом смысле, вне их знаковой роли. Кроме того, эта концепция для суждений о Т., истинных в интервале абстракций теории, утверждает и их необходимость, обосновывая эту необходимость постулатами теории и разрешая, т. о., модальные парадоксы Т. Лингвистич. концепция, напротив, довольствуется случайным Т., поскольку синонимия - случайное свойство языка.
Источник: Советский философский словарь
ТОЖДЕСТВО
Понятие Т. является осн. понятием философии, логики и математики, поэтому к нему относятся все трудности, связанные с выяснением и определением исходных (основных, фундаментальных) понятий науки. В комплексе вопросов, относящихся к понятию Т., особого внимания заслуживают два: вопрос о Т. "... самом по себе. Признаем мы, что оно существует, или не признаем?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пер. Соч., т. 2, 1970) и вопрос о Т. вещей. (Т. вещей выражают обычно символом "=", к-рый встречается впервые у Р. Рекорда в его "The whetstone of witte", L., 1557.) Первый из этих вопросов является частью вопроса об онтологич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отношение, Универсалии), второй имеет самостоят. значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда эквивалентно решению вопроса об определении понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав любое из известных логических (математических) определений Т. (вместо со способом его обоснования), что "идея Т." и так или иначе определенное "понятие Т." – это не одно и то же. Идея Т. п р е д в а р я е т любое определение понятия (предиката) Т., равно как и вводимое определением понятие "тождественные вещи". Это обусловлено тем, что суждение о Т. к.-л. объектов всегда предполагает, что уже выполнены (или должны быть выполнены) какие-то другие, вспомогательные, но необходимые – отнюдь не посторонние для данного суждения – отождествления. Именно в связи с проблемой "допустимых отождествлений" филос. анализ может послужить полезной предпосылкой для логического и матем. анализа понятия Т. Принцип индивидуации. В соответствии с филос. т. зр. следует различать онтологич., гносеологич. и семантич. проблемы Т. вещей. Онтологическая проблема Т. – это проблема Т. вещей "самих по себе" или in se – по их "внутреннему обстоянию" (Г. Кантор). Она ставится и решается на основе п р и н ц и п а и н д и в и д у а ц и и (principium individuationis): всякая вещь универсума есть единств. вещь; двух различных вещей, из к-рых каждая была бы тою же вещью, что и другая, не существует. Именно "...в соответствии с началами индивидуации, которые проистекают от материи" мы принимаем, что "... всякая самосущая вещь, составленная из материи и формы, составлена из индивидуальной формы и индивидуальной материи" (Фома Аквинский, цит. по кн.: "Антология мировой философии", т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализировать предметы универсума или как они индивидуализированы "сами по себе", поскольку это уже имеет место; он лишь постулирует абстрактную возможность такой индивидуализации. И это естественно, коль скоро мы понимаем его как принцип чисто онтологический. Вопрос о том, как индивидуализировать предметы универсума, есть уже гносеологич. вопрос. Но в этом случае никакая возможная индивидуализация не выводит нас за пределы того и н т е р в а л а абстракции, к-рым определяется универсум рассуждения (см. Универсум). Хотя принцип индивидуации является древним филос. утверждением о мире, его аналоги можно найти и в (современных) собственно научных (математических, физических и др.) теориях. В этой связи можно сослаться на идею "субстанциональных", или мировых, точек (пространственных точек в определенный момент времени) в четырехмерном (абстрактном) "мире Минковского" и связанную с ней идею пространственно-временн?й модели физич. реальности, позволяющую индивидуа-лизировать каждый ее объект, или на принцип Паули, или, наконец, на гипотезу Г. Кантора о том, что любые два элемента произвольного множества различимы между собой. Можно даже считать, что принцип индивидуации лежит в основе всей классич. математики с ее – в известном смысле онтологическим – "само собой разумеющимся" постулатом упорядоченного (по величине) числового континуума. Принцип Т. неразличимых. Принимая принцип индивидуации, мы, тем не менее, как в повседневной практике, так и в теории, постоянно отождествляем различные предметы, т.е. говорим о разных предметах так, как если бы они были одной и той же вещью. Возникающая при этом абстракция отождествления различного была впервые явно отмечена Лейбницем в его знаменитом принципе Т. неразличимых (Principium identitatis indiscernibilium). Кажущееся противоречие между принципом индивидуации и принципом Т. неразличимых легко разъяснить. Противоречие возникает лишь тогда, когда, полагая, что, напр., x и у – разные вещи, в формулировке принципа Т. неразличимых имеют в виду их абсолютную, или онтологическую, неразличимость, а именно, когда думают, что неразличимость x и у предполагает, что x и у "сами по себе" не отличимы по любому признаку. Однако, если иметь в виду относительную, или гносеологическую, неразличимость x и у, напр. их неразличимость "для нас", хотя бы ту, с к-рой мы можем встретиться в результате практически осуществимого сравнения х и у (см. об этом в ст. Сравнение), то никакого противоречия не возникает. Если различать понятия "вещь", или предмет универсума "сам по себе", и "объект", или предмет универсума в познании, в практике, в отношении к др. предметам, то совместимость принципа Т. неразличимых и принципа индивидуации должна означать, что нет тождественных вещей, но есть тождественные объекты. Очевидно, что с онтологич. т. зр., выраженной в принципе индивидуации, Т. представляется абстракцией и, следовательно, идеализацией. Тем не менее оно имеет объективное основание в условиях существования вещей: практика убеждает нас в том, что существуют ситуации, в к-рых "разные" вещи ведут себя как "одна и та же" вещь. В этом смысле принцип Т. неразличимых выражает эмпирически подтверждаемый, основанный на опыте, факт нашей абстрагирующей деятельности. Поэтому "отождествление различного" по принципу Лейбница не следует понимать как упрощение или огрубление действительности, не соответствующее, вообще говоря, и с т и н н о м у п о р я д к у п р и р о д ы. Интервал абстракции отождест- вления. Неразличимость объектов, отождествляемых согласно принципу Т. неразличимых, может выражаться операционально – в их "поведении", истолковываться в терминах свойств, вообще определяться совокупностью нек-рых фиксиров. условий неразличимости. Эта совокупность условий (функций или предикатов), относительно к-рых к.-л. предметы универсума неразличимы, определяет интервал абстракции о т о ж д е с т в л е н и я этих предметов. Так, если на множестве предметов определено свойство А и предмет x им обладает, то для отождествления х и у в интервале абстракции, определяемом свойством А, необходимо и достаточно, чтобы предмет у также обладал свойством А, что символически можно выразить следующей аксиомой: A(x)?((x=y)?A(y)). Заметим, что при наличии "избыточной" информации о заведомом (естественно – "вне" данного интервала абстракции) различии предметов их отождествление "внутри" данного интервала абстракции может даже казаться парадоксальным. Типичный пример из теории множеств – "парадокс Сколема". Если смотреть "изнутри" интервала абстракции, определяемого свойством А, то х и у – абсолютно один и тот же объект, а не два предмета, как предполагается в приведенном выше рассуждении. Дело в том, что рассуждение о Т. двуx и, следовательно, различны х предметов возможно только в нек-ром метаинтервале, указывающем также на возможность индивидуализации x и у. Очевидно, что неразличимость x и у эквивалентна здесь их взаимозаменимости относительно свойства А, но, разумеется, не относительно любого свойства. В этой связи укажу на абстракцию актуальной различимости, вытека-ющую из принципа индивидуации и связанную с таким истолкованием этого принципа, при к-ром он сводится к утверждению о существовании условий, в к-рых индивидуализация всегда осуществима (напр., условий, в к-рых x и у уже не будут взаимозаменимы, что и позволит, естественно, говорить об их индивидуальности). В этом смысле принцип индивидуации отличается тем же характером, что и т.н. "чистые" постулаты существования в математике, и может рассматриваться как абстракция индивидуализации. Не говоря уже об "абстрактных" матем. объектах, очевидно, что и для "конкретных" физич. предметов природы условия индивидуализации любого из них отнюдь не всегда могут быть найдены или явно указаны в к.-л. конструктивном смысле. Более того, задача их разыскания иногда принципиально неосуществима, как об этом свидетельствует, напр., принцип "неделимости квантовых состояний" и обусловленная им, предписанная самой природой, неопределенность в нашем описании "индивидуального поведения" элементарных частиц. Д о п о л н е н и я. Интервал абстракции отождествления может быть столь (но не сколь угодно) широк, что в него войдут все (исходные) понятия (функции или предикаты) рассматриваемой в том или ином случае теории. Тогда говорят, что х=у для любого понятия А. В этом случае и квантор "для любого", и Т. имеют относительный характер – они p е л я т и в и з и р о в а н ы множеством понятий теории, к-рое ограничено, в свою очередь, осмысленностью этих понятий (и н т е р в а л о м значения) по отношению к предметам универсума данной теории. Напр., предикат "красный" не определен на множестве натуральных чисел и поэтому к нему не могут относиться слова "для любого предиката", когда говорят о Т. в арифметике. Такие с м ы с л о в ы е о г р а н и ч е н и я по сути дела всегда имеют место в приложениях теории, чем и исключаются противоречия, связанные с нарушением интервала абстракции отождествления. Поскольку в отождествлениях имеют в виду только предикаты данной теории – интервал абстракции отождествления фиксирован. Предметы универсума, неразличимые относительно каждого предиката теории, неразличимы абсолютно в данном интервале-абстракции и могут рассматриваться как "один и тот же" объект, что как раз и соответствует обычному истолкованию Т. Если относительно каждого такого предиката неразличимы все предметы универсума, то последний в этом случае будет представляться нам одночленной совокупностью, хотя в др. интервале абстракции он может и не быть таковым. Так, если условие А - тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, "превращая" разные элементы в "один и тот же" абстрактный объект. Неудивительно поэтому, что к аксиомам "чистого" предикатов исчисления первой ступени можно без противоречия присоединять формулу ?хА(х)^/xA(x), выражающую тождественность (или абсолютную неразличимость) всех предметов универсума. По-видимому, эта неполнота чистого исчисления предикатов (элементарной логики) обусловлена именно его неонтологическим характере м. В прикладных логических исчислениях, в частности в теории множеств, выходя из сферы "чистой логики", мы вынуждены - во избежание парадоксов- фиксировать интервал абстракции отождествления. В этих случаях Т., поскольку речь идет об отождествлениях только в данной системе понятий, может быть введено конечным списком аксиом Т. для конкретных функций и предикатов рассматриваемой теории. Но постулируя т.о. те или иные отождествления, мы как бы ф о р м и р у е м универсум в соответствии с принципом Т. неразличимых. Значит универсум в этом смысле является эпистемологич. понятием, зависящим от наших абстракций. Вопрос, что считать "одним и тем же" объектом, каково число "различных" индивидуумов в предметной области (какова мощность области индивидуумов), – это в известном смысле вопрос о том, как мы применяем наши абстракции и какие именно, а также какова объективная область их применимости. В частности, это всегда вопрос об интервале абстракции. Вот почему с нашей т. зр. указание на интервал абстракции отождествления в определении Т. следует считать необходимым условием осмысленного применения " п о н я т и я Т.". Понятие "интервал абстракции отождествления" является гносеологич. дополнением к понятию абстракции отождествления и, в известном смысле (содержательным), его уточнением. Кроме того, вводя понятие Т. в интервале абстракции, мы легко достигаем необходимой общности в построении теории Т., избегая обычного "умножения понятий", связанного с различением терминов "тождественный", "подобный", "равный", "эквивалентный" и пр. В связи с вышесказанным определение предиката Т. в формулировке Гильберта – Бернайса, задаваемое, как известно, условиями: 1) х=х 2) х=y? (A(x)? А(у)), можно интерпретировать так, что условие 2) будет выражать Т. предметов универсума в интервале абстракции, определяемом множеством аксиом, задаваемых схемой аксиом 2). Что же касается условия 1), то, выражая свойство рефлексивности Т., оно в известном смысле соответствует принципу индивидуации. По крайней мере, очевидно, что из принципа индивидуации не следует отрицания условия х=х, поскольку между принципом индивидуации и традиц. принципом Т. (абстрактным Т. – lex identitatis), выражаемым формулой х=х, имеется следующая определенная "связь по смыслу": если бы индивидуальный предмет универсума не был тождествен с самим собой, то он не был бы самим собой, а был бы другим предметом, что, конечно, ведет к отрицанию принципа индивидуации (ср. Энгельс Ф.: "... тождество с собой уже с самого начала имеет своим необходимым дополнением отличие о т в с е г о д р у г о г о" – Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 530). Т.о., принцип индивидуации предполагает утверждение х=х, к-рое является его необходимым условием – логической о с н о в о й понятия индивидуального. Достаточно констатировать совместимость х=х с принципом индивидуации, чтобы, основываясь на совместимости 1) и 2), утверждать совместимость принципа индивидуации с принципом Т. неразличимых, а принимая во внимание независимость 1) и 2), прийти к заключению о независимости этих же принципов, по крайней мере, в рассматриваемом случае. То обстоятельство, что принцип индивидуации в отмеченном выше смысле соответствует традиц. закону Т. (см. Тождества закон), представляет особый интерес с т. зр. проблемы "реализуемости" абстрактного Т. в природе, а значит. и онтологич. статуса абстракций вообще. Принцип Т. неразличимых в том его истолковании, к-рое дано выше - как принцип Т. в интервале абстракции, - выражает по существу философскую гносеологическую идею Т., основанного на понятии практики. Что же касается математики, где так или иначе оперируют с предикатом Т., с условием, что тождественное можно заменять тождественным (см. Правило замены равного равным), то здесь, принимая принцип индивидуации, т.е. полагая, что каждый матем. объект в универсуме рассуждения индивидуален, по видимости, легко можно уйти от решения гносеологич. проблемы Т., потому что в предложениях матем. теорий матем. объекты фигурируют не "сами по себе", а через своих представителей – обозначающие их символы. Отсюда возможность построений, существенно игнорирующих условие индивидуальности этих объектов; Так, известное построение взаимно-однозначного соответствия между совокупностью натуральных чисел и ее частью – совокупностью всех четных чисел (парадокс Галилея) игнорирует единственность каждого натурального числа, довольствуясь Т. его представителей: иначе как возможно указанное построение? Аналогичных построений в математике множество. Утверждению "предмет x тождествен предмету y" математик обычно приписывает следующий смысл: "символы x и у обозначают один и тот же предмет" или "символ x обозначает тот же предмет, к-рый обозначен символом у". Очевидно, что так понимаемое Т. относится скорее к языку соответствующих исчислений (вообще к формализованному языку) и выражает, по существу, случай языковой синонимии, а вовсе не философский гносеологич. смысл Т. Однако характерно, что даже и в этом случае не удается избежать относит. отождествления, основанного на применении принципа абстракции, поскольку синонимы возникают как результат абстракции отождествления по обозначению (см. Синонимы в логике). К тому же при интерпретации исчислений любое такое с е м а н т и ч е с к о е определение Т. как "отношения между выражениями языка" необходимо дополнять разъяснением того, чт? в этой семантич. формулировке Т. означают слова "один и тот же предмет". В связи с этим формулировка принципа Т., известная как лейбницевско-расселовская (см. Равенство в логике и математике), вряд ли соответствует филос. т. зр. самого Лейбница. Известно, что Лейбниц принимал принцип индивидуации: "Если бы два индивида были совершенно... не различимы сами по себе, то ...в этом случае не было бы индивидуального различия или различных индивидов" ("Новые опыты о человеческом разуме", М.–Л., 1936, с. 202). Известно также, что любое нетривиальное употребление Т., соответствующее принципу Т. неразличимых, предполагает, что x и у – разные предметы, к-рые лишь относительно неразличимы, неразличимы в нек-ром интервале абстракции, определяемом либо разрешающей способностью наших средств различения, либо принимаемой нами абстракцией отождествления, либо, наконец, задаваемом самой природой. Но в формулировке Рассела наличие неогранич. квантора общности по предикатной переменной, придавая определению а б с о л ю т н ы й характер ("абсолютность" здесь следует понимать как антипод "относительности" в указ. выше смысле), навязывает идею абс. неразличимости x и у, противоречащую принципу индивидуации, хотя из определения Рассела выводима формула х=х, к-рая, как было отмечено выше, совместима и с принципом Т. неразличимых и с принципом индивидуации. В свете идеи Т. в интервале абстракции выясняется еще одна гносеологич. роль принципа абстракции: если в определении Т. предикат (хотя бы и произвольный) характеризует класс абстракции предмета х, и у – элемент этого класса, то тождественность x и у в силу принципа абстракции не предполагает, что x и у должны быть одним и тем же предметом в онтологич. смысле. С этой т. зр., два предмета универсума, принадлежащие к одному классу абстракции, рассматриваются как "один и тот же" предмет не в онтологическом, а в гносеологич. смысле: они тождественны только как абстрактные представители одного класса абстракции и только в этом смысле они неразличимы. В этом, собственно, и состоит диалектика понятия Т., а также ответ на вопрос: "Как могут быть тождественны разные предметы?". Лит.: Жегалкин И. И., Арифметизация символической логики, "Матем. сб.", 1929, т. 36, вып. 3–4; Яновская С. ?., О так называемых "определениях через абстракцию", в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лазарев Ф. В., Восхождение от абстрактного к конкретному, в кн.: Сб. работ аспирантов и студентов философского факультета МГУ, М., 1962; Вейль Г., Дополнения, в сб.: Прикладная комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1968. М. Новоселов. Москва.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.
