Интуиционизм

филос. направление в математике и логике, отказывающееся от использования идеи актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную убедительность ("интуицию") как последнее основание математики и логики. И. возник на рубеже 19 и 20 вв. прежде всего как реакция на теорию множеств Кантора, в к-рой нашла наиболее полное выражение идея актуальной бесконечности – одна из осн. идей классич. математики и логики. Оформление И. происходило в обстановке кризиса оснований математики, толчок к-рому дало обнаружение парадоксов. Интуиционистская критика классич. математики углубила этот кризис и способствовала широкой постановке проблем обоснования математики и логики. Критич. замечания по поводу использования идеи актуальной бесконечности имеются уже у нем. математика К. Гаусса. Кронекер ставил под сомнение методы классич. математики, резко выступал против взглядов Кантора. Более близким предшественником И. можно считать Пуанкаре. Основоположником И. является голл. математик Л. Э. Я. Брауэр (p. 1881), выступивший в 1907 с критикой основ классич. математики. В дальнейшем интуиционистская т. зр. на математику получила развитие в работах как самого Брауэра, так и его последователей – Г. Вейля, А. Гейтинга и др. Взамен отвергаемого понятия актуальной бесконечности и наивного понимания существования в математике (при к-ром это понятие считается не нуждающимся в к.-л анализе) И. кладет в основу своего подхода понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математич. объектов как возможности (хотя бы в принципе) их построения. При этом он отвергает идею о том, что в основании математики должна лежать (дедуктивная) логика. Согласно Брауэру, математика тождественна с точной частью человеч. мышления; с его т. зр. попытки обоснования математики средствами логики приводят к порочному кругу, т.к. логика, будучи составной частью точного мышления, является тем самым частью математики. Радикальная критика классич. логики привела И. к формулировке собств. логич. воззрений, получивших название интуиционистской логики. Характерной чертой филос. установок И. является понимание интуиции как последнего основания достоверности суждений. При этом под интуицией, т.е. интуитивной убедительностью и интуитивной ясностью, понималась непреложная умозрительная или наглядная очевидность, присущая элементарным шагам рассуждения, отд. суждениям или отд. понятиям; примером интуитивно убедительного, с т. зр. И., суждения может быть суждение "0=0" или суждение "Из А следует А" (для данного конкретного суждения А); одним из интуитивно ясных понятий интуиционисты считали натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ...Отличит. особенностью И. является отказ от попыток точного определения таких понятий, как "доказательство", "построение", а также самого понятия "интуиция". Интуиционисты считают, с одной стороны, что математические (т.е. относящиеся к точной части нашего мышления) доказательства и построения должны обладать достаточной интуитивной ясностью (так, что если относительно к.-л. рассуждения возникает сомнение в том, является ли оно, напр., доказательством, его и не следует считать таковым); с др. стороны, они убеждены, что нет оснований признавать к.-л. попытку определения этих понятий вводящей (уточненное) понятие, адекватное первоначальному (неуточненному) понятию, т.к. с т. зр. И. представляется невозможным охватить одним определением все те способы рассужде-ния, к-рые могут когда-либо оказаться интуитивно убедительными. То же самое относится к понятию построения (к понятию функции, закона соответствия) с той лишь разницей, что вместо интуитивной убедительности речь должна идти об интуитивной ясности построения. Уже в этом подходе подчеркнута роль субъективного момента в познании. Ведущие представители И., и прежде всего Брауэр, идут, однако, гораздо дальше. Ссылаясь на то, что интуитивная убедительность связана с субъектом, истолковывающим те или иные математич. построения, они переходят на позиции откровенного субъективизма, утверждая, напр., что может быть столько математик, сколько есть математиков. У самого Брауэра субъективизм принял волюнтаристич. оттенок – Брауэр утверждает, что математика есть нек-рый вид человеч. деятельности, с помощью к-рой человек вносит порядок в окружающий его мир и подчиняет его, в т.ч. и др. людей, своей воле. Классич. математика, т.е. математика, опирающаяся на теорию множеств Кантора, широко пользуется понятием актуальной бесконечности, позволяя считать существующими любые бесконечные множества и оперировать с ними как с завершенными целыми; при этом она игнорирует вопрос о том, в каком смысле можно утверждать существование таких множеств. Для нее характерно представление об актуально бесконечном множестве как о чем-то завершенном, существующем до и независимо от всякого процесса порождения, как о чем-то, что может лежать перед нами и быть доступным нашему обозрению; при этом считается само собой разумеющимся, что о бесконечных множествах можно рассуждать по законам классич. логики. С др. стороны, в математике имеется представление о неограниченно растущем (но конечном в каждый момент времени) множестве уже порожденных объектов, т.е. о потенциально бесконечной последовательности. При этом приходится отвлекаться, напр., от ограниченности наших возможностей в рассмотрении хотя и конечных, но чрезмерно больших множеств, от ограниченности нашей жизни и т.д. И. допускает использование в доказательствах лишь понятия потенциальной бесконечности, считая понятие актуальной бесконечности бессмысленным. В математике существование объекта понимается обычно как возможность (хотя бы в принципе) "предъявить" его и осмысленно оперировать с ним. С т. зр. теории множеств предъявление объекта считается в принципе возможным даже в том случае, если оно требует перебора всех элементов нек-рого бесконечного множества или даже всех его подмножеств. И. же, отказываясь от актуальной бесконечности, признает предъявление объекта возможным лишь тогда, когда указан метод его построения. Критика актуальной бесконечности имеет два аспекта, соответствующих различным ступеням употребления этой идеи. Первый аспект встречается в классич. арифметике натуральных чисел и состоит в допущении свободного рассмотрения натурального ряда как законченной совокупности, об элементах к-рой можно рассуждать по законам классич. логики. Второй аспект обнаруживается при переходе к множеств теории или типов теории, когда вместе с бесконечным множеством считается данной совокупность всех его подмножеств; этот аспект данной идеи обнаруживается уже в классич. теории действит. чисел. С логич. т. зр. при переходе от первого аспекта ко второму возникает новый трудный момент – непредикативные определения. Концепция, состоящая в недопущении лишь второго аспекта идеи актуальной бесконечности, наз. предикативизмом; эту концепцию, на к-рой стоял, напр., Вейль (см. Н. Wehl, Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen ?ber die Grundlagen der Analyse, Lpz., 1918) до своего перехода к И., не следует смешивать с И., не допускающим актуальную бесконечность в любой форме. Будучи крайне критичным по отношению к тому, что явно наз. бесконечностью, И. отвлекается от трудностей, связанных с понятием произвольного конечного объекта. И. принимает допущение о том, что натуральный ряд является однозначно определенной последовательностью, известной нам "наизусть" и продолжаемой нами по определ. закону. Принимая абстракцию потенциальной осуществимости, И. не замечает того, что для таких больших чисел, как 101010 никакое построение их в качестве элементов ряда 0, 1, 2, 3, ... не удается даже с помощью этой абстракции, ибо требует 101010 шагов, так что само существование этих чисел в натуральном ряду не удается доказать без порочного круга (т.к. построение потенциально осуществимого объекта следует считать возможным лишь при условии, что оно м. б. осуществлено в натуральное число шагов), что разрушает убедительность тех утверждений о такого рода числах, к-рые доказываются посредством математич. индукции. Важную роль в И. играет критика логич. принципов, лежащих в основе классич. математики. Эта критика тесно связана с пониманием существования в математике. Напр., И. не может признавать доказательств существования, проведенных методом от противного, т.к. нет основания утверждать, что существует метод, позволяющий извлекать из рассуждений от противного способ построения нужного объекта. Допустив, что нужного объекта не существует и сведя это предположение к противоречию, мы вначале получаем как следствие лишь отрицание того, что нужный объект не существует. Классич. математика и логика делают отсюда вывод о существовании искомого объекта, основываясь на законе снятия двойного отрицания. И. же отказался признать убедительным не только доказательства от противного в применении к утверждениям о существовании, но и доказательства от противного в общем случае, а также закон снятия двойного отрицания и закон исключенного третьего, поскольку для этих законов не находилось интуитивного обоснования. Интуиционистский подход к проблеме существования определяет и характерное для И. понимание дизъюнкции. Утверждение суждения A/B означает, по существу, утверждение того, что в множестве из двух суждений A и В существует элемент, обладающий свойством "быть истинным". Классич. математика и логика считают такое утверждение доказанным, напр., в том случае, когда утверждение об одновременной ложности обоих суждений А и В опровергнуто приведением к противоречию. Но с т. зр. И. утверждение А/В может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно, из двух суждений А и В истинно. Дизъюнкция существенно участвует в формулировке принципа исключенного третьего: A/А. Если мы попытаемся применить этот закон, напр., к "великой теореме" Ферма (утверждающей, что не найдется такой четверки х, у, z, n целых положит. чисел, что n?2 и xn+yn=zn), то увидим, что из этого ничего не выйдет; до сих пор не только не удалось доказать или опровергнуть эту теорему, но, более того, не известен метод, следуя к-рому можно было бы в конце концов установить ее истинность или ложность. Чтобы спасти закон исключенного третьего от критики И., недостаточно было бы изобрести метод, позволяющий доказать или опровергнуть теорему Ферма, нужно найти метод, годящийся для решения не только всех нерешенных математич. проблем, но и для любых проблем, к-рые появятся когда-либо в будущем. Сомнения в возможности существования такого метода (ср. Алгоритм) явились для И. убедит. аргументом для неприятия закона исключенного третьего. Суждение всеобщности ?xА(x) И. всегда понимает как утверждение о наличии метода, к-рый, коль скоро указан нек-рый предмет x из предметной области М, дает интуитивно ясное доказательство того, что этот предмет обладает свойством А (в отличие от классич. математики и логики, в к-рых это суждение может пониматься как утверждение о фактич. положении вещей в нек-рой конечной или бесконечной области М). Методом доказательства суждений всеобщности, приемлемым с т. зр. И., является математич. индукция. Сходным образом понимается И. и условное суждение. В отличие от классич. понимания импликации, И. понимает суждение A?B как утверждение о наличии интуитивно ясного метода перехода, к-рый по каждому интуиционистски приемлемому доказательству суждения А дает интуиционистски приемлемое доказательство суждения В. Суждение A с т. зр. И. может пониматься как утверждение о наличии метода, позволяющего интуитивно ясно вывести противоречие из предположения об истинности А. На это понимание осн. логич. понятий распространяется, конечно, субъективизм взглядов интуиционистов. Но в применении к отд. математич. доказательствам субъективизм преодолевался благодаря характерной для И. тенденции понимать интуицию (в смысле интуитивной убедительности, интуиционистской приемлемости и т.п.) в самом узком смысле – так, чтобы практически для всех математиков исчезло бы сомнение в том, что рассматриваемое рассуждение или утверждение является интуитивно убедительным. В частности, Гейтингом была построена такая формальная система (см. Логика высказываний и Предикатов исчисление), что выразимые в ней содержат. рассуждения приемлемы с т. зр. Брауэра. Следует отметить, что имеются разные варианты И., различие между к-рыми связано гл. обр. с принятием или неприятием отд. логич. принципов. Важным примером этого рода является недостаточная интуитивная убедительность логич. закона А&А?В. Неочевидность этого закона связана с невозможностью указать такую ситуацию, в к-рой имеет место А&А, чем серьезно затрудняется интуитивное обоснование этой импликации. Брауэр принимал этот закон, но нек-рые интуиционисты (Иогансон и др.) от него отказываются; логич. система, получающаяся из системы Гейтинга путем отказа от этого закона, называется минимальным исчислением. Осуществляя перестройку математики на основе предложенных им принципов, И. создал теорию действит. континуума, теорию множеств и др. Свои математич. теории (начиная с математич. анализа) интуиционисты строят, используя кажущееся им интуитивно ясным понятие свободно становящейся последовательности. Уже в своей теории действит. чисел И. столкнулся с необходимостью говорить не только об отд. действит. числах (о них можно говорить, напр., как о процессах, порождающих отрезки с рацион. концами, такие, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а длина последующего не превосходит половины длины предыдущего отрезка), но и обо всех действит. числах. Считая перечисление всех интуитивно ясных методов построения и определения невозможным и ненужным, И. не мог поэтому в этих случаях доказывать нечто о процессах, порождающих все нужные объекты, напр. говорить о всех методах, задающих действит. числа, т.к. задание этих процессов предполагает перечисление. Чтобы преодолеть эту трудность, И. и ввел понятие свободно становящейся последовательности. Каждую свободно становящуюся последовательность можно описать (в терминах, отличных от интуиционистских) следующим образом. Пусть имеется нек-рый запас конечных объектов и условие, для к-рого интуитивно ясно, что каков бы ни был объект из данного запаса, относительно этого объекта можно выяснить, удовлетворяет ли он или нет этому условию. Далее последовательно производятся акты произвольного выбора объектов, пока не будет найден объект, удовлетворяющий условию. Этот объект объявляется следующим членом реализации данной свободно становящейся последовательности. Для доказательства теорем о континууме интуиционисты рассматривают, напр., такую свободно становящуюся последовательность: выбираемые объекты – отрезки прямой с рацион. концами, условие таково – последующий отрезок вложен в предыдущий и длина его не более половины длины предыдущего. Относительно свободно становящихся последовательностей имеет смысл высказывать лишь такие предложения, истинностное значение к-рых может быть установлено на основании исследования конечного числа первых членов реализации и к-рое не меняется, как бы далеко ни продолжалась эта реализация. Используя это понятие, И. смог перейти от сомнений в истинности нек-рых принципов классич. логики к их опровержению. Так, было установлено, что с т. зр. И. утверждение о том, что любые два действит. числа либо равны, либо не равны является неверным. Однако понятие свободно становящейся последовательности, казавшееся интуитивно ясным самим интуиционистам, оказалось неясным для др. математиков. В отличие от И., конструктивные направления в математике и логике, в частности направления А. А. Маркова и Н. А. Шанина, развились на основе понятия алгоритма, вводимого различными определениями (рекурсивные функции, нормальные алгорифмы и т.д.). При этом интуиционистские логич. исчисления получили новое истолкование в духе конструктивного понимания математич. суждений (Н. А. Шанин) и оказались логич. исчислениями конструктивной логики. Значит. роль в разработке конструктивного понимания суждений сыграло предложенное Колмогоровым (1932) истолкование интуиционистского исчисления высказываний как исчисления задач, а также понятие реализуемой формулы, введенное Клини (1945). Лит. см. при ст. Конструктивная логика.