ИНТУИЦИОНИЗМ КАК ЛОГИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

направление в логике и математике, программа которого была развита в связи с необходимостью их обоснования. Ставилась задача недопущения различного рода парадоксов. Решающие идеи были выдвинуты Л. Брауэром в 1907 г. [1]. Основная идея интуиционистов состоит в понимании логических понятий в качестве конструктов. Конструкт признается существующим лишь в том случае, если он может быть построен. Логические построения должен кто-то осуществлять. Ясно, что этим субъектом является человек. В этой связи интуиционисты обращаются к ментальное™ человека, прежде всего, к его воображению, которое призвано придать логике естественность и интуитивную ясность [2. С. 225]. Эта ясность призвана как поставить пределы необузданной фантазии логиков классического направления, так и обеспечить свободу творчества: создавайте конструкты всеми возможными способами, т.е. посредством свободно становящейся последовательности шагов. В свете идеалов конструктивизма многие положения методологии классической логики представляются несостоятельными. В классической логике, считают интуиционисты, во-первых, не обращают должного внимания на вопрос о природе ее конституентов: этот аспект просто недопонимается. Во-вторых, мир логического признается изначально данным, причем как нечто абсолютное и неизменное. В-третьих, признается действительной актуальная бесконечность, но в процессуальном отношении бесконечность недостижима. Следовательно, актуальная бесконечность — это абстракция, причем вводящая в заблуждение. Имея в виду, что никому не дано поставить предел свободно становящейся последовательности, следует признать допустимой абстракцию потенциальной бесконечности. Так, пользуясь методом математической индукции, можно конструктивно доказать существование сколь угодно большого числа. Кажется, что, настаивая на существовании сколь угодно большого числа, интуиционист противоречит сам себе: это число ведь нельзя построить в режиме реального времени. Однако интуиционист и не утверждает, что логическая последовательность шагов производится в режиме реального времени. Для него время не бесконечно, а конечно. Строго говоря, он имеет в виду не реальное, а логическое время. В-четвертых, в классической логике некритически используется закон исключенного третьего: истинно либо А, либо не-А. Из ложности А нельзя извлечь информацию о не-А; лишь построение не-А покажет, является ли оно истинным или ложным. В-пятых, с точки зрения интуициониста можно показать, что существенные недостатки характерны для классического понимания буквально всех пропозициональных связок (импликаций, дизъюнкций и др.). Сказанного о специфике идеалов классической и интуиционистской логик достаточно для постулирования своеобразия и оригинальности каждой из них. Оценивая статус интуиционистской логики, отметим три типа затруднений, с которыми она встретилась.
Во-первых, неоднократно критиковался тезис о субъективном характере логики (согласно аналитикам логика есть разновидность языковой деятельности, согласно марксистам источником логики является предметная практика людей). Пожалуй, следует признать, что, настаивая на субъективном характере логики, интуиционисты весьма рискованно сближались с психологизмом в логике.
Во-вторых, интуиционистам не удалось придать своей критике классической логики законченный характер. Так, критика абстракции актуальной бесконечности не доводилась до объяснения факта ее известной приемлемости. Другими словами, интуиционисты не установили соответствия между классической и интуиционистской логикой.
В-третьих, им лишь частично удалось воплотить в логику исключительно новаторский тезис о свободно становящейся последовательности шагов. Первоначально казалось, что он вообще опровергается успехами т. наз. конструктивистского направления в логике (А.А. Марков, Н.А. Шанин) с его опорой на концепт алгоритма. Впрочем, успехи теоретико-игровой семантики (Я. Хинтикка (см.) и др.) показывают, что это не так. Как нам представляется, в идее свободно становящейся последовательности шагов была предвосхищена концепция языковых игр, ставшая знаменитой благодаря усилиям Л. Витгенштейна. На наш взгляд, интуиционизм Брауэра и конструктивизм Маркова — это разновидности логико-математического конструктивизма. Излишне жесткое противопоставление интуиционизма и конструктивизма несостоятельно.
Обратимся теперь к существенным чертам математического интуиционизма, в т.ч. конструктивизма (А.А. Марков и др.) [3, 4, 5]. В интуиционистской математике отказываются от идеализации (абстракции) актуальной бесконечности в пользу идеализации потенциальной бесконечности. Одно это избавляет от большинства парадоксов теории множеств, так или иначе содержащих идеализацию актуальной бесконечности. В интуиционистской математике оперируют конструктивными объектами, которые либо атомарны, либо построены из атомарных объектов. В любом случае конструктивный объекг задается как слово в некотором алфавите. Так, натуральные числа могут быть рассмотрены в качестве слов в алфавите (0,1). Число 3 запишется как 0111. Включая в алфавит новые знаки, расширяют его конструктивные возможности. Для интуициониста важно, что он всегда оперирует знаками первого уровня. Для него вопрос о том, образуют ли они класс элементов, обладающих системными свойствами, не актуален. Как известно, теория всегда имеет дело с общим. Резонно поставить вопрос о теоретическом содержании интуиционизма. Оно получает выражение в двух отношениях: применительно к объектам и применительно к способам их конструирования.
В первом случае речь идет об идеализации отождествления, когда говорят о двух или нескольких объектах как об одном и том же. Буквы конструктивистского алфавита можно писать как угодно, что никак не влияет на зафиксированные посредством их смыслы. Иначе говоря, конструктивист строит объекты не из единичных сущностей, лишенных общего содержания, а из концептов. В принципиально иной манере действуют строители мостов и зданий. Конечной целью их деятельности является определенный материальный, а не концептуальный, объект. Не лишены концептуального содержания и пути построения конструктивных объектов, которые осуществляются в соответствии с определенными предписаниями, алгоритмами (см.). Концепт алгоритма фиксирует концептуальное содержание способов построения конструктивных объектов. Алгоритм всегда содержит некоторые правила. В интуиционистской математике никому не суждено избежать алгоритма, который лишен каких- либо правил. Но нет и универсального алгоритма, пригодного для всех случаев. В этой связи важнейшее значение имеет конкретизация алгоритма, расширение спектров возможных алгоритмов. Весьма эффективной оказалась конкретизация содержания алгоритмов в представлении о машине Тьюринга, рекурсивной функции и нормального алгоритма А.А. Маркова. Теория алгоритмов решающим образом способствовала развитию союза математики и техники.
Разумеется, формирование алфавита интуиционистской математики и определение эффективных алгоритмов всегда насыщено многочисленными проблемными моментами. Разительные отличия математического интуиционизма от других философско-математических направлений остро ставят вопрос о его методе. Логицизм, формализм, платонизм руководствуются аксиоматическим методом. Можно ли считать, что именно этот метод является сердцевиной интуиционизма? На этот счет крайне интересные мысли высказывал Г. Вейль [4. С. 21—23]. Он отмечал, что ни один из двух подходов, конструктивистский и аксиоматический, не обладает привилегией представления подлинности математики. Более того, нельзя провести границу, которая отделила бы аксиоматический метод от конструктивистского. Недопустимо также строить произвольную смесь двух методов. В таком случае аксиомы лишь устанавливают границы области значений переменных, участвующих в конструкции. Если за основу берется аксиоматический метод, то конструкции отводится второстепенная роль. Аксиоматический метод позволяет выводить суждения, он дедуктивен. Конструктивистский метод (добавим от себя) даже при его известной опоре на аксиомы индуктивен. Широко используемый в интуиционистской математике метод математической индукции не сводим к дедуктивным правилам. Итак, пожалуй, верно, что в рамках интуиционистской математики был выработан особый, конструктивистский метод. Впрочем, нет оснований для противопоставления друг другу аксиоматического и конструктивистского методов.
Отношения между конструктивистами и сторонниками аксиоматического метода были долгое время очень напряженными. Они стали более ровными после 1930 г., когда А. Гейтинг предложил аксиоматизацию интуиционистской логики и арифметики. Вопрос о соотношении интуиционистской математики с логицизмом и формализмом до сих пор остается дискуссионным. 1. Brouwer L.E.J. Over de grondslagen der wiskunde. Amst.; Lpz., 1907. 2. Гейтинг А. Тридцать лет спустя // Математическая логика и ее применение. М., 1965. 3. Он же. Интуиционизм. М., 1965. 4. Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. 5. Маркое А.А. О логике конструктивной математики. М., 1972. 6. Непейвода Я.Н. Интуиционистская логика// Новая философская энциклопедия. Т. 2. М., 2001.