ТЕОРЕМА

греч. ???????, от ?????? – рассматриваю, исследую) – доказанное предложение нек-рой дедуктивной теории. В содержательных (неформальных) теориях Т. доказываются весьма приблизительно фиксируемыми (чаще – молчаливо подразумеваемыми) средствами "обычной логики" и часто противопоставляются "не требующим доказательства" (принимаемым за истинные в силу своей "очевидности") аксиомам. Впрочем, если даже точный перечень аксиом и не фиксируется, то в (полном) доказательстве каждой Т. все же проводится различение посылок на доказанные ранее Т. и аксиомы; фактически статус последних может специально и не оговариваться – этой цели может служить к.-л. косвенная мотивировка применяемой аргументации или даже сам факт умолчания о причинах, позволяющих пользоваться данной посылкой. Такой, напр., характер имеют Т. в большей части учебных руководств по различным разделам (неаксиоматизированной) математики. Если же данная дисциплина строится на аксиоматич. основе (хотя бы и в содержат. форме), то (нелогические) аксиомы явно перечисляются, как, напр., при изложении различных разделов абстрактной алгебры или топологии, а из нематематич. дисциплин – теоретич. механики или термодинамики. В формальных аксиоматич. системах (исчислениях) Т. наз. доказуемая формула, т.е. формула, выводимая по правилам вывода данной системы из ее аксиом. При этом аксиомы теории также причисляются к Т. (доказательство каждой такой Т. состоит из одной формулы – из нее самой); это вполне естеств. соглашение оправдывается не только индуктивным характером определения понятия доказательства (см. раздел Рекурсивные и индуктивные определения в ст. Определение), но и тем обстоятельством, что один и тот же класс доказуемых формул может задаваться различными системами аксиом, и в ряде случаев выбор определенных формул (фиксированной теории) в качестве аксиом диктуется чисто технич. соображениями, так что противопоставление к.-л. аксиомы и (дедуктивно) эквивалентной ей Т. оказывается весьма относительным. Иногда Т., играющие вспомогат. роль и нужные лишь для доказательства к.-л. другой Т., наз. леммами; Т., доказательство к-рых весьма просто получается посредством ссылки на другие Т., наз. с л е д с т в и я м и этих других Т. Ввиду недостаточной определенности таких понятий, как "вспомогательный" и "просто", термины "лемма" и "следствие" также носят несколько условный характер, и эти наименования свидетельствуют не столько о характере самих Т., сколько о стиле или уровне изложения предмета. Т., доказываемые содержат. средствами метатеории к.-л. теории, наз. м е т а т е о р е м а м и, относящимися к данной ("предметной") теории. Примеры метатеорем: теорема о дедукции для исчисления высказываний или предикатов, теорема Геделя о полноте исчисления предикатов, теорема Геделя о неполноте формальных систем, включающих формальную арифметику, теорема Черча о неразрешимости разрешения проблемы для исчисления предикатов, теорема Тарского о невыразимости (неопределимости, см. Определимость) предиката истинности для широкого класса логич. исчислений средствами самого исчисления (см. Логическая истинность) и др. Вообще метатеоремами являются любые Т. о Т., какими бы средствами и в рамках какой бы теории они не доказывались; примерами могут служить т.н. принципы двойственности, играющие важную роль во мн. разделах математики. См. Вывод(в математической логике), Доказательство, Метод аксиоматический и лит. при этих статьях. Ю. Гастев. Москва.