ОПРЕДЕЛЕНИЕ

д е ф и н и ц и я (от definitio – определение), – логич. прием, позволяющий: 1) формулировать критерии отличия изучаемого объекта от др. объектов (спецификации объекта), специфич. способы его отыскания, построения, употребления; 2) формировать значение вновь вводимого знакового выражения или уточнять значение имеющегося выражения в к.-л. языке (естественном или языке идеографич. символизма, языке формул). Поскольку результаты изучения объекта отображаются в соответств. понятиях, О. можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий. Окончат. результаты процесса О. фиксируются средствами к.-л. языка; с этой т. зр. О. есть предложение (или совокупность, конъюнкция предложений), отвечающее определ. логич. требованиям – п р а в и л а м О. То, что определяется, наз. о п р е д е л я е м ы м (Definiendum, сокращенно Dfd), то, с помощью чего определяется, наз. о п р е д е л я ю щ и м (Definiens, сокращенно Dfn). О. позволяют в различных контекстах (рассуждениях, доказательствах, описаниях) заменять определяемое соответствующим определяющим, и наоборот. О. в различных науках. К О. предъявляются требования различной степени строгости в зависимости от характера науки. От большинства О. в математике и в матем. естествознании (во всяком случае от тех, к-рые записываются на языке формул) требуется, чтобы они позволяли строить или отыскивать определяемый объект (в матем. естествознании – вычислять одни характеристики определяемого объекта на основе измерения других). На эмпирич. уровне анализа в естеств. науках возникает задача О. объектов по их существ. характеристикам. Образованные на основе этих О. понятия затем уточняются, конструктивизируются, в них вводятся элементы идеализации. Это обеспечивает применение к соответств. объектам матем. аппарата. В таком виде эти понятия и включаются в теории матем. естествознания, составляя важнейший компонент последних. На их основе формулируются различные законы, соотношения, принципы соответств. теории, ее осн. уравнения и т.п. В формализованных логико-матем. теориях к О. предъявляются прежде всего "формальные" требования. Это значит, что различение существенных и несуществ. характеристик определяемых объектов здесь не имеет смысла: в этих дисциплинах оперируют такими объектами, в к-рых существенное уже отделено от несущественного. В др. областях знания, особенно в обществ. науках (а также в естествознании и нередко в интерпретационных сферах матем. наук), особо важное значение имеет, наоборот, учет неформальных требований, предъявляемых к О. При этом часто возникают споры по поводу различных О., даваемых одному и тому же Dfd, проистекающие из различий в аспектах изучения Dfd, из недостаточной информации о нем и др. причин конкретно-науч. характера, а также из характера принимаемых мировоззренческих, идеологич. установок тех, кто вводит то или иное О. (ср. ленинское и бухаринское О. класса, ленинское и каутскианское О. империализма, О. социализма, войн и т.п. в марксистской и бурж. лит-ре). Во всех науч. теориях нек-рая совокупность исходных понятий, абстракций, идеализации принимается без О.; их правомерность обосновывается (даже в точных матем. теориях), вообще говоря, уже нестрого, за пределами теории. Различные аспекты изучения о п р е д е л е н и й. Определения изучаются как в формальной, так и в диалектич. логике. Первая формулирует общие требования к О., к-рые должны выполняться в любых сложившихся науч. теориях, описывает способы введения понятий в теории, к-рые строятся (на основе, разумеется, предшествующих результатов познания) "сразу", "во всей их законченности", исследует их структуру в связи с проблемами дедукции и т.п. Вторая анализирует процессы О. в связи с историей познания, формированием и развитием понятий, в связи с вопросами о существенном и несущественном в науке, об истине и лжи, о точном и неточном, в связи с анализом таких мыслит. средств, как абстракция, идеализация, обобщение и т.п. Традиц. формальная логика преим. занималась описанием явных О. типа "Dfd?Dfn", что обычно читается: "Определяемое равнозначно определяющему". При этом имелась тенденция все виды О. сводить к рассмотренным еще Аристотелем О. "через род и видовое отличие", в к-рых Dfd отличается от др. предметов нек-рой области, упоминаемой при этом явно в О. (род), через указание специфич. св-ва (видового отличия) Dfd. Напр., "Ромб есть четырехугольник (род), у к-рого стороны равны (видовое отличие)". Совр. формальная (математическая) логика изучает все виды О., учитывая при этом, что использование того или иного вида О. детерминируется характером изучаемых объектов, характером создаваемых науч. теорий, целями, уровнями и этапами познания. В и д ы О. На начальных уровнях овладения языком большую роль играют т.н. остенсивные О.; они представляют собой О. значений слов путем непосредств. показа предметов, называния этих предметов и действия с ними. Остенсивные О. позволяют осуществлять передачу элементарного опыта человечества, зафиксированного в языке, на основе к-рого люди овладевают затем более богатыми сферами опыта, опираясь уже на в е р б а л ь н ы е О., т.е. О., посредством к-рых значения неизвестных выражений определяются через выражения, значения к-рых известны. В зависимости от того, чт? определяется в первую очередь – знаковое выражение или вещь, им обозначаемая, – О. подразделяют на н о м и н а л ь н ы е и р е а л ь н ы е. Первые – это О., с помощью к-рых: а) вводится новый термин (знак, выражение) как сокращение для более сложных выражений, описывающих Dfd (номинальное О. в собств. смысле); такие О., формирующие значение вновь вводимых в теорию выражений, являются средством обогащения языка; б) поясняется, уточняется значение уже введенного в язык науки или в повседневный язык термина, слова, выражения (напр., в толковых, фразеологич. и др. словарях содержатся разъяснения значений выражений естеств. языков; если такое разъяснение является однозначным описанием значения выражения, то оно может рассматриваться как его О.). Реальные О. – это О., в к-рых фиксируются спец. характеристики самих определяемых предметов; в них устанавливается, что предметы, обозначаемые терминами Dfd и Dfn, суть одни и те же предметы. Деление О. на номинальные и реальные не связано, вообще говоря, с характеристикой их формальной структуры; обычно О. можно представить и как реальное, и как номинальное (о реальных и номинальных определениях см. также в ст. Пор-Рояля логика). Существенно различную роль в науках играют т.н. явные (эксплицитные) и неявные (имплицитные) О. Явными наз. О., в формулировке к-рых содержатся не только правила введения, но и правила удаления вводимых путем О. терминов. Так, подавляющее большинство О. позволяет удалять (из соответствующей теории, науч. рассуждения и т.п.) Dfd путем замены его на Dfn (правило удаления Dfd) и, наоборот, Dfn заменять, "сокращать" Dfd (правило введения Dfd). К числу явных О. относятся все указанные выше виды О. Неявными наз. О., по отношению к к-рым нельзя сформулировать правил удаления Dfd в рамках той или иной науч. дисциплины. Но такие правила удаления для исходных терминов и понятий, напр. в аксиоматически построенных дисциплинах, можно сформулировать, выйдя за пределы аксиоматики, чем обычно и пользуются при приложении аксиоматич. теорий, при их интерпретации (если система формальна). Использование этих правил дает возможность убедиться в правомерности или неправомерности вводимых в теорию исходных абстракций, понятий, терминов. Неявные О. бывают двух видов: а) О., в к-рых Dfd не дан непосредственно, но определен нек-рым контекстом, в к-ром он фигурирует. При этом имеется алгоритм, позволяющий определить значение Dfd в явной форме (так, решая уравнения, мы определяем, отыскиваем значение неизвестных: неявные определения превращаем в явные). Такие О. часто наз. контекстуальными. Путем контекстуальных О. могут быть, напр., определены функции sin, > через совокупность значений переменных в выражениях sin x, x>y (к-рые и играют роль контекста). Аналогично, сопоставляя различные контексты, в к-рых встречается незнакомое выражение, мы можем определить его значение. Примером контекстуального О. может быть и рекурсивное О.; б) В аксиоматич. О. (или неявных О. в собств. смысле) нек-рые исходные объекты определяются через аксиомы (подробнее об этом см. в ст. Метод аксиоматический). В логике различают с е м а н т и ч е с к и е и с и н т а к с и ч е с к и е О. Семантическими наз. О., в к-рых Dfd – нек-рое выражение, a Dfn – нек-рый предмет (Dfd и Dfn – предметы различных уровней абстракции) и где устанавливается или уточняется значение выражения определ. языка посредством явного упоминания предмета, обозначаемого этим выражением (напр., "Слово "пятиугольник" означает многоугольник с пятью сторонами"). С такими О. мы часто встречаемся в толковых словарях. Синтаксич. О. в собств. смысле наз. О. языковых (знаковых) выражений не через описание их лексич. значений, а через правила оперирования с ними. Такие О. постоянно встречаются в формальных системах. Синтаксич. О. в широком смысле наз. О., в к-рых Dfd отличаются от др. предметов данной области не по своим св-вам, а через правила оперирования с ним, через способы и цели его употребления. С помощью этих О. можно определять шахматные фигуры, профессии людей, выполняемые ими функции и т.п. К числу синтаксич. О. в широком смысле можно отнести и т.н. г е н е т и ч е с к и е О., рассматривавшиеся в традиц. логике как особый вид О.; это такие О., в к-рых Dfd вводится через описание способа его образования, построения, через инструкцию о его изготовлении и т.п. Разновидностью генетич. О. люжно считать т.н. и н д у к т и в н ы е О. В матем. естествознании (в особенности на эмпирич. уровнях исследования и при разл. приложениях теорий) широко используются т.н. о п е р а ц и о н а л ь н ы е О. К их числу относятся: а) О. физич. величин путем описания видов операций, с помощью к-рых они измеряются (определяются); б) О. св-в предметов посредством описания экспериментально осуществляемых воздействий на исследуемый предмет и получаемых при этом результатов. Примером (а) может быть определение длины предмета путем измерений, О. одновременности в теории относительности; примером (б) может быть О. кислотных св-в раствора на основе погружения в него лакмусовой бумажки, (а) и (б) могут рассматриваться как О., если описания операций однозначно (по крайней мере в рамках определ. теории) выделяют Dfd. В отличие от нек-рых явных реальных О. через описания существ. свойств Dfd, к-рые недостаточно конструктивны (в том смысле, что не содержат в своей формулировке эффективных, опытным путем осуществимых правил, предписаний для отыскания соответств. Dfd), операциональные О. (как вид явных реальных О.) выделяются конструктивностью. Этим и обусловлено их широкое применение в естеств. науках. Однако теории матем. естествознания обычно не удовлетворяются операциональными О., а стремятся на основе общей интерпретации теории определить Dfd, определенный операционально, также и через описание его существ. св-в (об операциональных О. см. также Операционализм). П р а в и л а О. Для правильности явных О. необходимо соблюдение следующих правил: а) Правило переводимости, или э л и м и н и р у е м о с т и: для реальных О. Dfd и Dfn должны быть равнообъемны; для явных номинальных О. Dfd и Dfn должны быть взаимозаменимы, взаимопереводимы в любых контекстах (или по крайней мере в подавляющем большинстве контекстов данного языка). б) Правило однозначности: в пределах данной теории каждому Dfn должен соответствовать один единственный Dfd, но не наоборот. Это означает, что О. способствуют устранению омонимии; но синонимичные выражения постоянно фигурируют в языках науч. теорий. Это связано с тем, что один и тот же объект может определяться по-разному; в процессе О. как раз и устанавливается синонимичность выражений для Dfd и Dfn (Dfd?Dfn). Одной из задач науки и является установление синонимичности различных выражений. в) Требование отсутствия в О. п о р о ч н о г о к р у г а: Dfn не должен зависеть от Did (см. Круг в доказательстве, Непредикативное определение). В связи с правилом (а) в логике существует спор о т.н. "творческом" или "нетворческом" характере О. Сторонники первой т. зр. считают, что введенные определением (по схеме Dfd?Dfn) термины всегда могут быть сведены к соответствующим терминам Dfn, а в составе строгой теории – к нек-рым начальным объектам из исходного базиса теории. (При этом речь не идет об индуктивных определениях, с помощью к-рых строятся такие объекты, к-рые обладают новыми св-вами по сравнению с исходными и относительно к-рых формулируются такие теоремы, к-рые не имеют смысла по отношению к исходным объектам: их творческий характер очевиден). Сторонники другой т. зр. полагают, что сведение Dfd к Dfn не всегда возможно, что обосновывается указанием таких контекстов, в к-рых замена Dfd на Dfn превращает контекст из истинного в ложный. Значение О. в науч. познании. В процессе науч. познания человек выделяет в окружающих его предметах общее, существенное, специфическое, закономерное, отвлекаясь от случайного и второстепенного, прибегая к упрощениям, схематизации предметов и ситуаций. Эти упрощенные, схематизированные объекты и вводятся в науку с помощью О. Такие объекты, а также соответствующие им понятия и термины включаются в содержание законов, принципов, тезисов, гипотез. Лишь на основе введения в науку таких упрощенных, схематизированных, идеализированных объектов и открывается возможность плодотворного применения к ним матем. аппарата. С помощью О. уточняется значение выражений естеств. языка, создается науч. терминология, что способствует установлению более глубокого взаимопонимания между людьми, создает необходимые условия для науч. прогресса. Лишь на основе уточненных путем О. значений терминов можно быть уверенным, что люди, их употребляющие, понимают их в одном и том же смысле. С помощью О. происходит синтез результатов анализа действительности, воссоздание предмета в его закономерных и необходимых связях (см. Восхождение от абстрактного к конкретному), получение алгоритма его построения, образования. О. дают возможность отыскивать необходимые предметы среди др. индивидуальных предметов данной области, отождествлять и различать их между собой, фиксировать их существ. характеристики. Чт? является существенным для определяемого предмета и чт? – нет, обусловливается в конечном счете обществ. практикой, а также конкретной постановкой задач, решаемых той или иной теорией. В. И. Ленин в связи с этим писал: "... вся человеческая практика должна войти в полное "определение" предмета и как критерий истины и как практический определитель связи предмета с тем, что нужно человеку" (Соч., т. 32, с. 72). Кроме того, О, являются средством сокращения сложных описаний, делая излишним в каждом случае сведение сложного (сложных понятий, сложных объектов науч. системы) к элементарному (к понятиям и объектам исходного базиса теории) и освобождая нас от необходимости при разъяснении значений термина каждый раз обращаться к исходным понятиям науч. теорий. Это означает, что без использования даже номинальных О. типа простых сокращений наука встретилась бы с непреодолимыми трудностями: все пришлось бы описывать на основе терминов для объектов исходного базиса. Это привело бы к невообразимому усложнению описания и понимания написанного. Включение же таких описаний в формулировки законов, тезисов, принципов, теории вообще уже не представляется осуществимым. Отмечая существенную роль О. в познании, классики марксизма-ленинизма одновременно указывали на ограниченность О. в том смысле, что они не отображают всего того содержания изучаемого предмета, к-рое описывается соответств. наукой. Фактич. изучение науч. теории не сводится к овладению суммой О., к-рая в ней заключена. Д. Горский. Москва. Рекурсивные и индуктивные О. Важной разновидностью генетич. О. являются т.н. и н д у к т и в н ы е О. абстрактных объектов (в особенности в арифметике и логике). Индуктивное О. (и. о.) к.-л. функции (или предиката) состоит из т.н. п р я м ы х пунктов, указывающих значение определяемой функции для объектов из области ее определения, и к о с в е н н о г о пункта, согласно к-рому никакие объекты, не подпадающие под действие прямых пунктов данного О., не удовлетворяют ему. И. о. подразделяются на ф у н д а м е н т а л ь н ы е О. нек-рых предметных областей и н е ф у н д а м е н т а л ь н ы е, с помощью к-рых из к.-л. определенной предварительно области выделяется нек-рое подмножество. Примерами фундаментальных и. о. могут служить О. натурального-числа [а) 0 есть натуральное число; b) если x есть натуральное число, то х´ есть натуральное число (прямые пункты); с) никакой объект, не удовлетворяющий ни одному из пунктов а) и b), не является натуральным числом (косвенный пункт) ] и О. формулы исчисления высказываний [а) элементарное-высказывание есть формула; b) – е) если А и В – формулы, то А&В, А/В, A?B и A суть формулы; f) никаких формул, кроме определенных согласно пунктам: а) - е), нет ]. Примеры нефундаментальных и. о.: О. предиката "быть четным числом" [а) 0- четное число; b) если n - четное, то и n+2- четное; с) никакие (натуральные) числа, кроме определенных согласно а) и b), не являются четными ] и О. понятия; теоремы (доказуемой формулы) исчисления [а) каждая аксиома есть теорема; b) если А и A?B суть теоремы, то и В есть теорема (и аналогично для др. правил вывода, если таковые есть в данном исчислении); е) никакие др. формулы теоремами не являются ]. И. о. (обоих видов) оправдывают применение к определенным с их помощью объектам доказательства по математической индукции (в соответствии с этим те из прямых пунктов, к-рые явным образом задают примеры определяемых объектов, как пункт а) в приведенных выше примерах, наз. базисными, а те, с помощью к-рых из ранее определ. объектов получаются новые объекты, -индуктивными пунктами). Отличительной особенностью и. о. является их "видимая непредикативность" (см. Непредикативное определение) - определяющее выражение использует определяемый термин. Таковы уже приведенные О. натурального числа: "N(x) ? df[x = 0V?k(N(k)&x = k´)]", четного числа: "Четн(x) ? df[x = 0V?k(Четн k)&x(х = к + 2)]" и т.п. (дизъюнктивные члены соответствуют базисным и индуктивным пунктам и. о. при прочтении эквивалентности справа налево; косв. пункту соответствует прочтение слева направо). Однако квантор существования, входящий в определяющее выражение, не приводит на самом деле к непредикативности благодаря тому обстоятельству что (корректно сформулированное) и. о. "порождает" объекты в. нек-ром п о р я д к е, и в каждом применении косв. пункта нам фактически требуется не вся определяемая область, а лишь (конечная) совокупность уже порожденных объектов, так что квантор оказывается по существу о г р а н и ч е н н ы м (см. Квантор). Особенно важны случаи, когда порядок порождения объектов с помощью и. о. является однозначным (или может быть сделан таковым) – тогда и. о. можно преобразовать в т.н. рекурсивное О. (р. о.), или О. п о и н д у к ц и и, имеющее форму системы равенств (часть к-рых явным образом задает значения определяемой функции или предиката, а другие описывают способы получения новых значений из уже определенных посредством подстановок и различного рода "схем рекурсий" – см. Рекурсивные функции и предикаты). Иными словами, р. о. – это "эффективные представления" и. о. Область значений рекурсивно определенной функции (как и множество истинности рекурсивно определенного предиката) рекурсивно-перечислима (см. Разрешимое и перечислимое множества), хотя, вообще говоря, и не обще-рекурсивна (ср. Разрешения проблемы). Описанные понятия допускают естеств. обобщения. Так, в и. о. может встретиться неск. базисных пунктов (так уже фактически было в приведенном выше О. теоремы, поскольку речь шла не о единств. аксиоме) и неск. различных способов перехода ("ведущих операций" – см. Математическая индукция) от определенных ранее значений, что, конечно, никак не исключает возможности наличия жестко определенного порядка порождения и связанной с этим "рекурсивизируемости" таких и. о. Аналогично предыдущему вводятся и р. о. функций и предикатов для конечных наборов аргументов из области, определенной предварительно нек-рым фундаментальным и. о. Р. о. и и. о. заслуживают самого пристального внимания с общефилософской т. зр., поскольку они являются превосходным примером исключительно важной для совр. науки реализации гносеологич. тенденции к "эффективности", "конструктивности" знания. Ю. Гастев. Москва. О понятиях, родственных понятию О., и особенно о роли О. в совр. дедуктивных науках см. Математическая индукция, Метод аксиоматический, Множество, Непредикативное определение, Описания операторы, Определение через абстракцию, Определимость, Парадокс, Предикатов исчисление, Рекурсивные функции и предикаты и лит. при этих статьях. Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., 2 изд., т. 20; его же, Диалектика природы, там же; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., Л., 1952; Котарбиньский Т., Избр. произведения, пер. с польск., М., 1963, с. 559–64, 627–37; Горский Д. П., О видах определений и их значении в науке, в сб.: Проблемы логики науч. познания, М., 1964; Dubislav W., Die Definition,. 3 Aufl., Lpz., 1931; Robinson R., Definition, Oxf., 1950; Ajdukiewicz K., Three concepts of Definition, "Logique et Analyse", 1958, Ann?e 1, No 3–4, p. 115–26; Materna P., Zu einigen Fragen der modernen Definitionslehre, Praha, 1959; Вeth E. W., Formal methods, ?. ?., [1962 ], eh. VI; Gurry H., Foundations of mathematical logic, N. Y. – [а. о. ], 1963, p. 106–10.