Геделя теоремы

Найдено 3 определения
Показать: [все] [проще] [сложнее]

Автор: [российский] [зарубежный] Время: [постсоветское] [современное]

Гёделя теорема
Теоремой в математике называется утверждение, которое доказывается на основе четко излагаемых условий. В 1931 г. американский математик австрийского происхождения Курт Гёдель (Godel, 1906-1978) доказал, что в пределах любой данной области математики всегда имеются утверждения, истинность или ложность которых не может быть установлена с помощью правил и аксиом этой конкретной области математики. Гёдель показал, что любое мыслимое утверждение о числах, содержащихся внутри какой-либо системы, может быть доказано, но только если выйти за пределы этой системы, т. е. если использовать какие-то новые правила и аксиомы. Иными словами, согласно теореме неполноты Гёделя (иногда называемой доказательством Гёделя), все логические системы любой сложности неполны в том смысле, что каждая из них содержит больше истинных утверждений, чем можно доказать с помощью ее собственного набора правил. Согласно этой теореме, компьютеры никогда не достигнут того же уровня интеллекта, который свойствен человеку, потому что пределы знаний компьютера ограничены тем набором аксиом, или «истин», который заложен в машину конструкторами, тогда как люди способны открыть неожиданные понятия и истины.

Источник: Словарь научной грамотности. 1997 г.

ГЁДЕЛЯ ТЕОРЕМА

- важнейший результат, полученный австрийским логиком и математиком К. Геделем (1906-1978). В 1931 г. в статье "О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем" Гедель доказал теорему о неполноте: если система Z (содержащая арифметику натуральных чисел) непротиворечива, то в ней существует такое предложение А, что ни само А, ни его отрицание не могут быть доказаны средствами Z На примере анализа формальной системы, сформулированной в фундаментальном трехтомном труде англ. математиков и логиков А. Уайтхеда и Б. Рассела "Principia Mathematica", Гедель показал, что в достаточно богатых содержательных нормальных системах имеются неразрешимые предложения, т. е. предложения, которые недоказуемы и одновременно неопровержимы. Значение Г. т. состоит в том, что она показала неосуществимость программы формализации математики, выдвинутой немецким математиком Д. Гильбертом. Как показывает Г. т., даже арифметику натуральных чисел невозможно формализовать полностью, ибо в формализованной арифметике существуют истинные предложения, которые оказываются неразрешимыми. С философско-мето-дологической точки зрения значение Г. т. заключается в том, что она показывает невозможность полной формализации человеческого знания.

Источник: Словарь по логике

Геделя теоремы
доказанные в начале 30-х годов XX в. австрийским логиком, членом "Венского кружка" Куртом Геделем утверждения о принципиальной неполноте всякой формализованной теории, т. е. теории, построенной на утверждениях, принимаемых изначально без доказательства - аксиомах. Одно из важнейших в методологическом отношении следствий этих теорем - т. н. "принцип несовершенства", который в наиболее простой своей формулировке гласит: "Всякая фундаментальная теория несовершенна: она либо противоречива, либо недостаточна для решения всех возникающих в ней проблем". Разрешительные, эвристические возможности формализованной теории, количество ее следствий, определенность ее выводов обратно пропорциональны числу наличествующих в ней аксиом. Никакая сколько-нибудь формализованная (т. е. зиждущаяся на логике) теория не может обойтись без аксиом. Даже такая, казалось бы, неформализованная теория, как марксизм, в основе которого лежит материалистическая диалектика, по утверждению Ф. Энгельса, имеет в своем основании одно принятое без доказательства утверждение, по существу являющееся аксиомой: материя существует объективно. В догеделевские времена и науке, и мировоззрению были свойственны стремления к исчерпанности и завершенности представлений в создании картины мира, к полноте в построении различных теорий. Императив (архетип) полноты имел тогда самодовлеющее значение и служил эпистемологическим идеалом. В постгеделевские времена, когда стало ясно, что этот идеал реально недостижим, постепенно начала происходить смена ориентаций познания и практики на императив (архетип) целостности, ставший основой системных взглядов познающего и преобразующего мир субъекта. Вообще - основой творческих, системно организовываемых его устремлений безотносительно к профильности, содержанию и характеру практики. Такой род практики означает параллельное ведение дел исходя из поля гипотез, организацию ее в форме ансамбля сосуществующих альтернатив (см. Пространство), нелинейность переходов к новому качеству и т. п. В предыдущей же практике познания упор делался на логику, на линейные дедуктивные цепочки необходимостей. Шерлок Холмс - яркий памятник и символ той эпохи.

Источник: Краткий энциклопедический словарь философских терминов

Найдено научных статей по теме — 5

Читать PDF

Парадокс Лжеца и первая теорема Геделя о неполноте

Целищев Виталий Валентинович
В статье критически анализируется некорреткное использование метаматематических результатов, в частности, Первой теоремы Геделя о неполноте для экспликации Дж. Баркером Парадокса Лжеца.
Читать PDF

Интенсиональность Второй теоремы Гёделя о неполноте

Целищев Виталий Валентинович
Рассмотрены отличия Второй теоремы Геделя о неполноте от Первой теоремы, имеющие первостепенное значение для возможной реабилитации Программы Гильберта.
Читать PDF

К интерпретации теорем Геделя о неполноте арифметики

Бессонов Александр Владимирович
Опровергается общепринятое универсальное ограничительное истолкование знаменитых теорем К. Гёделя о неполноте арифметики.
Читать PDF

Истинность неразрешимых предложений в свете Первой теоремы Гёделя о неполноте

Целищев Виталий Валентинович
Сопоставляются два способа определения истинности неразрешимого геделева предложения. Стандартный способ апеллирует исключительно к метаматематическим соображениям, в то время как предложенный М.
Читать PDF

Проблема неполноты формально определенных систем норм позитивного права, первая теорема Гёделя о неп

Лобовиков Владимир Олегович
Систематически применяя общеизвестные понятия, методы и результаты математической логики, автор развивает критический анализ возможности и уместности непосредственного использования первой теоремы К.