ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ

от лат. distributus – распределенный), р а с п р е д е л и -тельный закон, – закон, выражающий дистрибутивность (распределительность) одной данной логич. или математич. операции относительно др. данной операции. Примером Д. з. может служить закон обычной арифметики: а (b + с) = аb + ас, выражающий распределительность умножения относительно сложения, т.е. то, что умножение любого числа а на сумму любых чисел b и с дает тот же результат, к-рый получается, если умножение на а "распределить" между слагаемыми и затем сложить произведения аb и ас; но в обычной арифметике сложение не дистрибутивно относительно умножения. В отличие от обычной арифметики, в логике высказываний имеется пара операций, из к-рых каждая дистрибутивна относительно другой, – это конъюнкция и дизъюнкция. Д. з. для этих операций выражаются эквивалентностями: А & (В/С) экв. (А & В) / (А & С) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции; А, В и С – любые высказывания, & и / – знаки конъюнкции и дизъюнкции, а экв. есть сокращение для слова "эквивалентно") и A / (B & С) экв. (А / В) & (А / С) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции). В логике предикатов операция связывания переменной квантором общности дистрибутивна относительно конъюнкции: ? х (Ф (х) & ? (?)) экв. ? х Ф (x) & ? х ? (x) (т.е. высказывания "для всякого x справедливо свойство ? и свойство ?" и "для всякого x справедливо свойство ? и для всякого x справедливо свойство ?" эквивалентны), но не дистрибутивна относительно дизъюнкции (т. к. из высказывания "для всякого x справедливо свойство ? или свойство ?" не следует высказывание "для всякого x справедливо свойство ? или для всякого x справедливо свойство ?", хотя обратное следование и имеет место). Операция же связывания переменной квантором существования дистрибутивна относительно дизъюнкции: (т.е. высказывания "существует такое x, для к-рого верно ? или ?" и "существует такое x, для к-рого верно Ф, или существует такое x, для к-рого верно ?" эквивалентны), но не дистрибутивна относительно конъюнкции (т.к., хотя из высказывания "существует такое x, для к-рого верно ? и ?" и следует высказывание "существует такое x, для к-рого верно Ф, и существует такое x, для к-рого верно ?", но обратное следование не имеет места). Д. з., позволяющие проводить т.н. "вынос за скобки" и (при использовании соответствующего закона ассоциативности, т.е. сочетательного закона) "раскрытие скобок", играют существ. роль в преобразованиях логич. и алгебраич. выражений. С выполнением Д. з. для тех или иных операций в логич. и алгебраич. системах связаны важные свойства этих систем (см. Структура). В алгебре логики упомянутые Д. з. для конъюнкции и дизъюнкции обычно записывают не в виде эквивалентностей, а в виде равенств, т.е. более сходно с арифметическим Д. з.: A(B / C) = AB / AC и A / BC = (A / B)(A / C). Там же используется и др. Д. з.: напр., А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность конъюнкции относительно разделительной дизъюнкции), AV(BДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?НC) = (AVB) ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н (AVC) (дистрибутивность дизъюнкции относительно эквиваленции), А?(В?С) = (А?В) ? (А?С) (дистрибутивность импликации относительно импликации). Последний закон называют также законом самодистрибутивности импликации [или, вернее, левой самодистрибутивности импликации, т.к. для последней соответствующий п р а в о й Д. з. (А?В)?С = (А?С) ? (B?C) не верен и, тем более, не вытекает из вышеприведенного левой Д. з. из-за некоммутативности импликации, т.е. из-за отсутствия для нее переместительного закона. "Раскрывать скобки" этот закон не позволяет из-за неассоциативности импликации, т.е. из-за отсутствия для нее сочетательного закона]. Законом самодистрибутивности импликации наз. также формула ((А?(В?С)) ? ((А?В) ? (А?С)), играющая важную роль в исчислении высказываний и принимаемая часто в качестве одной из аксиом последнего, что удобно, напр., для доказательства теоремы о дедукции; последняя при этом является следствием уже того, что в исчислении постулированы закон, выражаемый указ. формулой, и более простой закон, выражаемый формулой (А?(В?А), а также обычное правило modus ponens. Иногда рассматривают Д. з. и для таких операций, к-рые не обязательно двуместны (т.е. могут быть функциями не двух переменных, а, напр., трех или четырех). Примеры таких Д. з.: А(В ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н (C ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н D)) = A · B ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н (AC ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н AD) (дистрибутивность конъюнкции относительно трехместной эквиваленции), (А ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н (ВДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?НС)) ? D = (A?D) ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н ((B?D) ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКО?Н (C?D)), эакон самодистрибутивности медианы и др. В общем случае такого рода Д. з. можно выразить формулой: f(А1, ..., Ai-1, g(B1, ..., Вm), ?i+1, ..., An) = g(f(A1, ..., Аi-1, В1, Ai+1, ..., Аn), ..., f(A1, ..., Ai-1, ?m, ?i+1, ..., An)) [дистрибутивность операции f по i-му аргументу (месту) относительно операции g]. Примером применения общего понятия дистрибутивности может служить след. теорема: для того чтобы функция алгебры логики была ш е ф ф е р о в о й (т.е. чтобы через нее можно было бы представить всякую другую функцию алгебры логики), необходимо и достаточно, чтобы не имела места дистрибутивность отрицания медианы относительно этой функции. Лит.: Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Ван-дер-Варден В. Л., Современная алгебра, пер. с нем., ч. 1, М.–Л., 1947; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Черч А., Введение в математическую логику, т. 1, пер. с англ., М., 1960. Б. Бирюков. Москва. А. Кузнецов. Москва.