ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

направление в философии математики. Оно имеет много общего с логицизмом и особенно с формализмом. Во всех трех направлениях всячески приветствуется аксиоматический метод, но в методологическом отношении Т.-м. н. автономно, его идеалы имеют самостоятельное значение. Первые успехи Т.-м. н. были связаны с выработкой Э. Цермело (1908) довольно удачной аксиоматики теории множеств, позднее усовершенствованной А. Френкелем (1922). Казалось, что таким путем можно раз и навсегда избавиться от парадоксов теории множеств, но теоремы Гёделя о неполноте и непротиворечивости выявили ограничительные возможности теории множеств. Целый ряд неожиданностей оказался также связан с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Было доказано, что в аксиоматике Цермело — Френкеля аксиома выбора и континуум-гипотеза, а также отрицание обоих положений неразрешимы. Это означает, что если аксиомы Цермело — Френкеля непротиворечивы, то к ним можно добавить либо одно из рассматриваемых утверждений, либо оба, а также либо отрицание одного из положений, либо отрицание обоих. Можно вообще отказаться от аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но в таком случае теория множеств обедняется. Можно в систему аксиом Цермело — Френкеля включить аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы или же отрицание аксиомы выбора и континуум-гипотезу. Существуют и другие способы построения аксиоматической теории множеств, не упомянутые нами. Вывод из сказанного, особенно если учесть, что аксиоматика Цермело — Френкеля не является единственной, очевиден: возможен целый ряд различных теорий множеств.
В рассматриваемом контексте достойна упоминания также теорема Левенгейма — Сколема. Оказалось, что любая аксиоматическая система некатегорична, т.е. она может быть интерпретирована по-разному. Так, одна и та же теория может представлять как счетное, так и несчетное множество (несчетное множество в отличие от счетного неэквивалентно множеству натуральных чисел). Налицо нечто вроде принципа математической относительности. Природа множества не является изначально данной. Она теоретически нагружена в том смысле, что зависит от избираемой аксиоматики и ее интерпретаций.
Развитие теоретико-множественного направления показало, что его статус всякий раз существенно определяется активностью субъекта, члена математического сообщества. В случае если математик пассивен и не проявляет должной метанаучной проницательности, он встречается с явными сюрпризами: математика выступает не такой, какой ее себе представляли, она оказывается «умнее» своего создателя. История эволюции Т.-м. н. показала, что математика, обладая единством, не единообразна. Теория множеств многообразна. Свести всю математику к теории множеств так и не удалось. Бесспорно, сторонникам Т.-м. н. удалось активизировать одну из важнейших тенденций интеграции математического знания, связанную с возможностью интерпретации его содержания на основе теории множеств. См. интуиционизм, логицизм, формализм.