СИЛЛОГИСТИКА

от греч. ????????????? – выводящий умозаключение) – теория дедуктивного вывода, оперирующая высказываниями (суждениями) определенной субъектно-предикатной структуры: о б щ е у т -вердительными – "Всякое S есть P", общеотрицательными – "Ни одно S не есть P", частноутвердительными – "Некоторое S есть P" и частно-о т р и ц а т е л ь н ы м и – "Некоторое S не есть P". Здесь буквы S, ? обозначают различные общие т е р м и н ы (напр., "человек", "треугольник" и т.п.), входящие в силлогизм (термины силлогизма), а выражения "Всякое... есть..." (условно обозначаемое буквой А), "Ни одно... не есть..." (Е), "Некоторое... есть..." (I), "Некоторое... не есть..." (О) являются постоянными логич. отношениями, связывающими эти термины в высказывание. В С. выясняются общие условия, при к-рых из одного, двух и более высказываний – посылок указанной структуры – с необходимостью следует нек-рое новое высказывание – заключение той же структуры, и условия, при к-рых такое следование не имеет места. В случае следования заключения лишь из одной посылки мы имеем непосредств. силлогистич. вывод (см. Непосредственное умозаключение); в случае же следования заключения из двух посылок мы имеем собственно силлогизм (или категорич. силлогизм, в отличие от условных, разделительных и нек-рых др. умозаключений, также нередко называемых силлогизмами). По своему строению все (категорич.) силлогизмы подразделяются на силлогизмы 4 фигур; в пределах каждой фигуры выделяются различные модусы (формы) силлогизма (см. Силлогизм). Одна из задач С. – выяснить, какие модусы каждой из фигур силлогизма являются правильными умозаключениями, а какие – неправильными и почему. Обоснование правильных модусов силлогизма обычно проводится путем свед?ния их к правильным модусам первой фигуры. Это достигается путем обращения высказываний силлогизма, перестановки его посылок и применения особого способа косвенного доказательства – доказательства от противного. В С. можно выделить также задачу рассмотрения различных видов сложных силлогизмов, в к-рых заключение следует из более чем двух посылок (см. Полисиллогизм), и др. Примерно в таком понимании ее предмета и объема встающих в ней задач С. была разработана еще Аристотелем (см. Древнегреческая логика). Она явилась исторически первой логич. теорией дедуктивного рассуждения и послужила отправным пунктом для развития формальной логики. В школе перипатетиков, в работах древнеримских, византийских и арабских философов и логиков, в схоластич. логике С. уточнялась и детализировалась, оставаясь вместе с тем в рамках, очерченных еще аристотелевским "Органоном". Вплоть до 17 в. она считалась совершенной в своей законченности и чуть ли не единственно возможной логич. теорией и в многочисл. школьных пособиях по логике дожила до нашего времени, составляя традиционный логич. элемент гуманитарного образования. Являясь строго и систематически построенной теорией, С. вместе с тем недостаточна для описания всех видов дедуктивного рассуждения. Уже гибкость и точность рассуждений древнегреч. математиков разительно контрастируют с узостью схем силлогистич. умозаключений, к-рыми они (вообще) мало интересовались. Силлогизм естественно считать выражающим структуру рассуждений, связанных (гл. обр.) с классифицирующей деятельностью мышления, вычленяющего в рассматриваемых объектах (прежде всего) родовидовые связи. В философской и логич. литературе неоднократно развивалась критика С., связанная с новыми аспектами и подходами к исследованию структур и форм мыслительной деятельности. Важный перелом в такой оценке связан с эпохой Возрождения, когда развитие опытного и вместе с тем математизированного естествознания выдвинуло задачу обоснования своей методологии. Критика С. здесь развивается и с рационалистических, и с эмпирич. позиций. С одной стороны, Р. Декарт, как бы подытоживая всю незначительность для математики правил силлогистич. дедукции, отказывается от них как от эффективных канонов науч. исследования и выдвигает в противовес им свои "правила для руководства ума". С др. стороны, Ф. Бэкон возражает против силлогизма как средства доказательства, к-рое, по его словам, действует неупорядоченно и упускает из рук природу. Правда, он не сомневается, что в силлогизме заключена некая математическая достоверность, однако основную проблему "Нового Органона" он видит в разработке индуктивного метода, долженствующего предоставить в распоряжение возможной дедукции ясные, определенные и соответствующие природе изучаемых объектов понятия. Недостаточность С. обнаружилась и в ходе развития самой формальной логики. Существ. роль здесь сыграли исследования по матем. обработке С. – по ее арифметич. интерпретации, алгебраическому и геометрич. (или топологич.) представлению, к-рые проводились, начиная с работ Лейбница, мн. философами, логиками и математиками (см. Н. И. Стяжкин, Становление идей математической логики, М., 1964). Со 2-й половины 19 в. в математике важное значение приобрели исследования по ее логич. основаниям, что явилось мощным стимулом для новых логич. изысканий. Сложившаяся в этой связи математическая логика содержала гораздо более общие, чем С., логич. системы – логику высказываний и предикатов исчисление и вместе с тем выработала строгие методы самого логич. исследования. С т. зр. этих систем и методов обнаружились как узость и частность силлогистич. теории дедукции, так и несовершенство ее формального построения в традиц. логике. В совр. формальной (математич.) логике результаты С. могут быть получены в исчислении предикатов, если специфические силлогистич. понятия выразить в понятиях этого исчисления - силлогистич. термины истолковать как одноместные предикаты, приставки "всякое" и "некоторое", соответственно, как кванторы общности и существования, а отношение "присущности" определить через (материальную) импликацию и конъюнкцию. Тогда, напр., "Всякое S есть P" примет вид Vх(S(x)^P(х)), а "Некоторое S есть P" - вид Bx(S(x)&P(x)). При этом, поскольку силлогистич. высказывания носят экзистенциальный характер, т.е. не только частные, но и общие из них предполагают существование объектов, охватываемых терминами этих высказываний, при выводе нек-рых модусов силлогизма в исчислении предикатов следует добавлять к числу посылок допущение непустоты нек-рого предиката (см. Пустое); в противном случае в исчислении предикатов выразима не вся С. (см. Антилогизм). Весьма удачный способ формализации С, сохраняющий своеобразие последней и вместе с тем вписывающий ее в общий ансамбль совр. матем. логики, был предложен Лукасевичем в 1939 (см. рус. пер. его книги "Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики", М., 1959). У Лукасевича С. является расширением исчисления высказываний за счет введения в его аксиоматику след. аксиом, выражающих специфически силлогистич. отношения: (I)Ааа; (II) Iaa; (III) (Abc&Aab)?Aac; (IV) (Abc&Iba)?Iac (где а, b, с – термины силлогизма) и правил вывода из этих аксиом. Логич. отношение ? и O определяются через A, I и знак отрицания: (V) Eab=Iab, (VI) Oab=Aab. Из аксиом I–IV и выводимых формул исчисления высказываний выводятся с помощью правил этого исчисления и определений V–VI все модусы силлогизма и все законы, относящиеся к силлогистич. высказываниям. Напр., для вывода закона обращения Iab?Iba в закон исчисления высказывания (x&y?z)? (x? (y?z)) делается подстановка x/Abc (Abc подставляется на место x), y/Iba, z/Iac и из полученного выражения и аксиомы IV по правилу modus ponens получается Abc? (Iba?Iac); сделав в этой формуле подстановку b/a, c/a, a/b, мы из полученного выражения и аксиомы I по тому же правилу выводим Iab?Iba. Построенная Лукасевичем система С. непротиворечива (см. Непротиворечивость). Это можно показать путем ее интерпретации в области логики высказываний, если термины силлогизма рассматривать как пропозициональные переменные (переменные для высказываний), а выражения Aab и Iab интерпретировать соответственно как (a?a)&(b?b) и (a?a)?(b?b). При этом аксиомы I–IV и все выражения системы, получаемые из них согласно допущенным правилам вывода и определениям, обращаются в тождественно-истинные предложения логики высказываний. Вместе с тем система С. не полна (см. Полнота) даже в том (синтаксическом) смысле, что не становится противоречивой, если к аксиомам I–IV присоединить в качестве дополнит. аксиомы нек-рое невыводимое в С. выражение, напр. неправильный модус второй фигуры (Ecb&Eab)?Aac. Действительно, использовав ту же интерпретацию системы, мы убеждаемся, что это выражение обращается в тождественно-истинное. Поэтому расширенная за его счет аксиоматика I–IV непротиворечива. В работах Я. Лукасевича и Я. Слупецкого для описанной выше формализованной С. решена также разрешения проблема. С. можно построить и как натуральное исчисление. В этом случае нек-рое органич. число форм силлогистич. вывода принимается в качестве исходных правил вывода и определяются правила, порождающие из одних правил вывода другие (производные от первых) правила вывода (что и позволяет переходить от одних силлогистич. выводов к другим) (см., напр., В. А. Смирнов, Замечания по поводу системы силлогистики и общей теории дедукции, в кн.: Проблемы логики, М., 1963). Одним из способов построения логич. теорий является функционально-алгебраич. способ, когда изучаемые логич. объекты и связи между ними (операции над объектами) рассматривают как определенную алгебраич. систему, используя, т.о., в логике тот или иной уже разработанный (или же специально разрабатываемый) алгебраич. аппарат. Для С. имеется ряд таких алгебраич. представлений. Одним из них является т.н. нижняя полуструктура. Нижней полуструктурой наз. такое частично упорядоченное (см. Порядка отношение) множество М, для всякой пары элементов к-рого (а, b), принадлежащих к M (a, b?M), определена нек-рая двуместная операция, называемая композицией, такая, что она порождает элемент а·b (точка есть знак композиции), обладающий след. свойством: а·b?a, a·b?b и, если к.-л. элемент d множества M таков, что d?a и d?b, то d?a·b (a·b наз. точной нижней гранью для a и b). Этому определению эквивалентно другое: множество M с одной определенной в нем двуместной операцией композиции наз. полуструктурой, если эта операция удовлетворяет условиям идемпотентности (а·a=а), коммута-т и в н о с т и (a·b=b·a) и а с с о ц и а т и в н о с т и (a·(b·с) = (а·b)·с). Нулевым элементом такой полуструктуры наз. такой элемент 0, что 0?а (или a·0=0) для любого а?М. Полагая 4 возможных результата для композиции элементов a и b в полуструктуре: a·b=a (или а·b =b), а·b = 0, a·b>0, a·bвыяснение условий, при к-рых из одного или более высказываний – посылок, с необходимостью следует нек-рое новое высказывание – заключение) как задачу нахождения композиции к.-л. двух элементов, напр. a и c, если известны композиции каждого из них с нек-рым третьим элементом b. Разрешимые случаи этой задачи для не нулевых а, b и с соответствуют правильным модусам силлогизма, неразрешимые – неправильным. Др. алгебраич. модель С. предложил П. Лоренцен (см. Р. Lorentzen, ?ber die Syllogismen als Rerationen-Multiplicationen, "Arch. math. Logik und Grundlagenforsch.", 1957, Bd 3, No 3–4). Рассматривая силлогизмы как произведения двуместных отношений между силлогистич. терминами, он представил теорию С. в виде таблицы умножения в полугруппе таких отношений. Помимо описанной теории классического (аристотелевского) силлогизма и упоминавшейся выше С., не предполагающей непустоту предикатов, соответствующих силлогистич. терминам (неклассич. С), построены различные обобщения или "расширения" С. (об этом подробнее см., напр., Cz. Lejewski, Aristotle´s syllogistic and its extensions, "Synthese", 1963, v. 15, No 2). Лит.: Бэкон Ф., Новый Органон, [пер. с англ.], Л., 1935; Челпанов Г. И., Учебник логики, [М.], 1946; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; Декарт Р., Избр. произв., пер. с франц., [М.], 1950; Аристотель, Аналитики, первая и вторая, пер. с греч., [Л.], 1952; Новиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; Петров Ю. ?., Об одной гипотезе Я. Лукасевича, в кн.; Формальная логика и методология науки, М., 1964; Субботин А. Л., Аристотелевская силлогистика с точки зрения алгебры, там же; его же, Теория силлогистики в совр. формальной логике, М., 1965; его же, Традиционная и совр. формальная логика, М., 1969. А. Субботин. Москва.