разработанный нем. математиком Георгом Кантором (1845-1918) аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества, лишенного внутреннего противоречия. Благодаря дальнейшейму развитию теории множеств в трудах Д. Гильберта и Г. Вейля стала возможной аксиоматизация и четкое разделение различных категорий множеств.
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
Источник: Философский энциклопедический словарь
Множеств теория
раздел математики, изучающий множества, отвлекаясь от конкретной природы элементов множества. Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия. Описательное объяснение термина «множество»: совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы — элементов множества. Таковыми могут быть: множество целых чисел, множество звезд во Вселенной, множество точек на плоскости, множество, элементами которого являются все конечные множества и т. д.
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
математич. теория, предметом изучения к-рой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности, весьма важной для математики, логики и гносеологии. Осн. содержание т.н. классич. М. т. было разработано в последней трети 19 в. Кантором. В терминах М. т. удалось построить почти всю совр. математику. С 1900-х гг., в связи с открытием парадоксов в М. т. и логике, начался продолжающийся до сих пор этап усиленного логич. анализа осн. понятий М. т. Эти исследования (см. Метод аксиоматический, Типов теория, Интуиционизм, Математическая бесконечность) оказывают значит. влияние на разработку логич. оснований математики и на развитие совр. формальной (математической) логики.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ,
математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.- свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г. Кантором (в поcл. трети 19 в.). Классич. М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в нач. 20 в. выявились трудности (в т. ч. парадоксы), связанные с применением законов формальной логики (в частности, исключенного третьего принципа) к бесконечным множествам. В ходе полемики о природе математич. понятий сложились такие направления в основаниях математики, как формализм, интуиционизм, логицизм, конструктивное направление.
Источник: Советский философский словарь
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
раздел математики, изучающий точными средствами содержание одной из важнейших категорий философии, логики и математики — категории бесконечного (Бесконечное и конечное). Основана Г. Кантором (1845—1918). Предметом М. т. являются свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Фундаментальным положением М. т. служит установление различных “порядков” бесконечности. Классическая М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики, бесспорных в области конечного. Однако развитие М. т. уже в конце 19 в. выявило трудности, в т. ч. парадоксы, связанные с применением законов формальной логики, в частности исключенного третьего закона, к бес-. конечным множествам. В полемике, возникшей в связи с этим, были поставлены важнейшие гносеологические вопросы математического познания: о природе математических понятий, об их отношении к реальному миру, о конкретном содержании понятия существования в математике и т.д. В ходе полемики появились такие течения в философии математики, как формализм, интуиционизм, логицизм. Особо следует отметить конструктивное направление в советской математике. Методы М. т. широко используются во всех областях совр. математики; они имеют принципиальное значение для вопросов обоснования математики, в частности для совр. формы аксиоматического метода. Все вопросы обоснования математики логическими средствами сводятся к вопросам обоснования М. т. Однако при обосновании самой М. т. возникают трудности, не преодоленные и в настоящее время.
Источник: Философский энциклопедический словарь
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
- математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. - свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных.
Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами или членами множества A. Если элемент х принадлежит множеству A, то это обозначается так: хх А; если же х не есть элемент A, то это обозначается так: ххА. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству В, то это записывается так: А т В. Множество A называется в этом случае подмножеством множества В, а отношение "а" - отношением включения множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. В приложениях М. т. часто рассматривают подмножества некоторого фиксированного множества, которое называют универсальным множеством и обозначают символом U. Важнейшими принципами М. т. являются принцип экстенсиональности и принцип свертывания (абстракции). Согласно принципу экстенсиональности, два множества A и В равны только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов. Согласно принципу свертывания, любое свойство Р определяет некоторое множество А, элементами которого являются объекты, обладающие свойством Р.
Объединение множеств A и В обозначается через AAB. Объединение A и В есть множество всех предметов, которые являются элементами множества А или множества В, т. е. х принадлежит объединению А А В, если х принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.
Пересечение множеств A и В обозначается через AAB. Пересечение A и В есть множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств A и В, т. е. х принадлежит пересечению AAB, если х принадлежит как множеству A, так и В.
Разность множеств А - В есть множество элементов A, не принадлежащих В.
Дополнением множества A (обозначается A&) называется множество элементов универсального множества U, не принадлежащих A, т. е. U - А.
Для любых подмножеств A, В и С универсального множества U справедливы следующие важные равенства:
Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные названия: 7 и 7& - законы идемпотентности, 9 и 9& - законы поглощения, 10 и 10& - законы де Моргана.
Классическая М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов - противоречий, к которым приводит применение законов формальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разработка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устранением парадоксов.
Источник: Словарь по логике
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
учение о множествах Г.Кантора — наука, зародившаяся в середине 19 в. и изучающая свойства множеств произвольной природы. Создание теории множеств было подготовлено работами математиков 19 в., ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Больцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномошность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики.
В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение— принадлежность одного множества другому Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д. Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе. в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя» и т. д. Т. о-, «наивная» теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки «ремонта» теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики; логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зрения логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистическое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъемное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа В. Куайна (W Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (конечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх V у(у е x
В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение— принадлежность одного множества другому Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д. Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе. в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя» и т. д. Т. о-, «наивная» теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки «ремонта» теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики; логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зрения логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистическое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъемное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа В. Куайна (W Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (конечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх V у(у е x
Источник: Новая философская энциклопедия
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
теория, в к-рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич. теорий; в терминах Т. м. были определены важнейшие понятия классич. математики: отношение, функция и др. (см. Математическая бесконечность); однако содержание Т. м. вскоре переросло первоначальные рамки, и она разделилась на несколько относительно самостоят. теорий, постепенно оформившихся в новые математич. дисциплины. Самым "элементарным" разделом Т. м. является алгебра множеств, т.е. теория операций над абстрактными множествами, являющаяся, по существу, переформулировкой алгебры логики. Естеств. развитием "абстрактной" Т. м. (изучающей множества, элементы к-рых не индивидуализируются, не фиксируются) явилась теория "бесконечных чисел": кардинальных чисел - мощностей множеств и ординальных (порядковых) чисел. Мощность множества - это его количественная (см. Количество в математике) характеристика: мощность конечного множества есть число его элементов, мощность же бесконечного множества определялась Кантором как "то общее, что присуще всем эквивалентным ему множествам" (эквивалентными наз. множества, между элементами к-рых можно установить взаимно-однозначное соответствие). (В более совр. трактовке, уточняющей канторовскую, мощности вводятся - при помощи принципа абстракции - просто как классы эквивалентных множеств.) Минимальной бесконечной мощностью является мощность натурального ряда чисел; это наименьшее трансфинитное кардинальное число, обозначаемое, по Кантору, символом ?0. Множества, эквивалентные натуральному ряду, наз. счетными, или перечислимыми (т.к. их элементы можно "пересчитать", "перенумеровать" числами натурального ряда). Кантор показал, что мощность всех отображений произвольного множества на себя (мощность множества всех его подмножеств, т.е. множеств, состоящих из нек-рых его элементов) больше мощности исходного множества, из чего следует неограниченность "шкалы мощностей" ?0 ?1 , ?2. Множество всех подмножеств минимального бесконечного множества - натурального ряда -эквивалентно множеству всех действительных чисел; мощность последнего наз. мощностью континуума и обозначается с. Поставив вопрос о месте этой мощности в "последовательности алефов" ?0 ?1 , ?2,… (т. и. континуум-проблема), Кантор высказал гипотезу, что c=?l (т.н. континуум-гипотеза). Для характеристики подобных упорядоч. множеств (т.е. множеств, на к-рых введено порядка отношение, относительно к-рого они изоморфны - см. Изоморфизм) вводят т.н. порядковые типы. Называя порядковые типы вполне упорядоченных множеств (т.е. упорядоч. множеств, каждое непустое подмножество к-рых имеет первый элемент) порядковыми числами, получают еще одну "числовую систему" - систему порядковых (ординальных) чисел: за натуральными числами 1, 2, 3..., п, ... непосредственно следует первое транс?инитное порядковое число ?, затем ?+1, ?+2, ...; вообще, не только за каждым порядковым числом ? непосредственно следует число а+1, но и за каждой последовательностью порядковых чисел, не имеющей последнего элемента, следует т.н. предельное порядковое число - "предел" этой последовательности. Комбинация двух порождающих принципов - перехода к непосредственно следующему порядковому числу и "перехода к пределу" - дает возможность получать все новые и новые порядковые числа, имеющие вид "многочленов" от ?, а затем и сколь угодно длинные итерации "степеней" вида ???… - но не только их: согласно второму из упомянутых порождающих принципов, за каждой возрастающей последовательностью порядковых чисел следует порядковое число, превосходящее все члены этой последовательности, т.е. шкала "ординалов" (еще один синоним для термина "порядковое число" - по аналогии с мощностями - "кардиналами") неограничена (причем каждое порядковое число ? является индексом нек-рого кардинального числа ??). Между кардинальными и ординальными числами есть простая связь: кардинальные числа - это "наименьшие" ординальные числа, т.е. ординальные числа, не эквивалентные (в определенном выше для множеств смысле) никаким меньшим их ординальным числам; ординальные же числа, следуя Дж. Нейману, в настоящее время чаще всего определяют как члены последовательности, начинающейся с числа 0 (отождествляемого с пустым множеством), каждый член к-рой есть класс (множество) всех предшествующих членов этой последовательности. Индуктивный процесс порождения порядковых чисел (см. разд. Рекурсивные и индуктивные определения в ст. Определение) позволяет ввести т.н. трансфинитную индукцию – способ определения и доказательства свойств объектов, принадлежащих произвольным вполне упорядоч. множествам и занумерованным трансфинитными порядковыми числами. Трансфинитная индукция, являющаяся непосредств. обобщением метода обычной математической индукции, имеет разнообразные применения во мн. разделах математики (особенно в алгебре, топологии, функциональном анализе): это один из примеров того, как далеко развитая ветвь "общей" Т. м. – теория кардинальных и ординальных чисел – играет роль не только "логической базы" математики, но и является "рабочим инструментом" получения новых математических фактов. Еще одним важным разделом Т. м. является теория т о ч е ч н ы х (пространственных, плоских, линейных) множеств, т.е. "тех самых" множеств, к-рые изучаются в математич. анализе. Эта теория входит в качестве "первой главы" во мн. разделы "высшего анализа", в частности в д е с к р и п т и в н у ю Т.м., изучающую структуру и свойства различных классов множеств, получаемых, исходя из точечных множеств сравнительно простой структуры (отрезки, интервалы, их объединения и пересечения), с помощью тех или иных операций. В дескриптивной Т. м., являющейся "общей теорией континуума" и развивавшейся гл. обр. трудами представителей Московской математич. школы Д. Ф. Егорова – ?. ?. Лузина и Парижской школы Р. Бэра, Э. Бореля и А. Лебега (см. Эффективизм), возникло особенно много таких проблем, к-рые, как и проблема континуума, дали основание Лузину высказать предположение об их принципиальной неразрешимости средствами канторовской Т. м. (т.е. в известном смысле о неполноте последней). Непротиворечивость ряда предложений дескриптивной Т. м., установленная позднее К. Геделем, П. С. Новиковым, А. Мостовским, Дж. Аддисоном и др., и означает (вместе, конечно, с тривиальной непротиворечивостью отрицаний этих предложений) неразрешимость соответств. проблем. Дескриптивная Т. м. играла, т.о., важную роль в формировании идей и методов математической логики; в дальнейшем обнаружилось глубокое родство между осн. ее понятиями и результатами и их аналогами в теории рекурсивных функций и предикатов (точнее, первые сыграли роль прообразов для вторых; см. Предикатов классификации). К началу 20 в. (а в глазах подавляющего большинства математиков, далеких от проблем обоснования, – и по наст. время; такова, напр., позиция Н. Бурбаки) Т. м. не только стала играть роль фундамента математич. теорий, но и проникать своими далеко идущими следствиями в их "верхние этажи". Единственная, по существу, ветвь "чистой" математики, не зависящая от принятия теоретико-множеств. взгляда – арифметика натуральных чисел, и та, по замыслу Фреге – Рассела (см. Логицизм), "погружалась в логику" в качестве части Т. м., а именно, теории конечных кардинальных чисел, с к-рыми (в отличие от аксиоматич. подхода Р. Дедекинда, Г. Грасмана и Дж. Пеано, уточняющего представление о конечном порядковом числе) и отождествлялись натуральные числа. Но именно в этом пункте Т. м. ожидало серьезное потрясение: в ней (исторически – в работе Фреге, посвященной основным законам арифметики) были обнаружены парадоксы (антиномии, противоречия, нек-рые из к-рых, как выяснилось позднее, были известны еще самому Кантору). Парадоксы Т. м. при всем различии их формулировок имели своей общей причиной неограниченное применение т.н. принципа свертывания (см. Принцип абстракции), согласно к-рому введение в рассмотрение множеств, охарактеризованных любым общим "свойством" их элементов (произвольным предикатом), есть вполне законная "мыслительная операция" Т. м. с неогранич. принципом свертывания (к-рый при неформализованном изложении к тому же, как правило, явно и не формулируется) принято называть "наивной" Т. м. Противоречивость наивной Т. м. преодолевается в первую очередь при помощи различных формулировок аксиоматической Т. м. (см. Метод аксиоматический). В одной из первых (1908) систем аксиоматич. Т. м. – системе Цермело – Френкеля, обозначаемой обычно ZF, формулы к-рой получаются из т.н. "элементарных формул" вида ??y (читается: "х принадлежит у") средствами обычного предикатов исчисления, принцип свертывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования множества-пары {х, у} для любых (данных) множеств x и у; аксиомой существования объединения (суммы) всех элементов произвольного множества x в новое множество S(x), элементами к-рого будут все элементы элементов х; аксиомой существования множества Р(х) всех подмножеств произвольного множества х; аксиомой существования бесконечного множества и схемами аксиом: схемой выделения, согласно к-рой для всякого множества x и свойства ?, определенного в этом множестве, существует множество элементов x, обладающих свойством ?, и схемой подстановки, утверждающей, что для любого взаимнооднозначного отображения элементов произвольного данного множества х, описываемого на языке системы ZF, существует множество таких z, на к-рые отображаются эти элементы х. Не подпадает под схему принципа свертывания т.н. аксиома выбора (о существовании "множества представителей", т.е. множества, содержащего в точности по одному элементу из каждого из данных непустых попарно непересекающихся множеств). Как и во всякой др. системе аксиоматич. Т. м., в ZF постулируется также аксиома объемности (экстенсиональности), согласно к-рой множества, состоящие из одних и тех же элементов, совпадают (см. Объемности принцип). Иногда к ZF присоединяют и нек-рые др. аксиомы более спец. назначения, напр. т.н. аксиому фундирования (или регулярности), исключающую, в частности, возможность возникновения "патологических" множеств, для к-рых было бы x?x, x?y&y?x и т.п., или аксиомы, постулирующие, наоборот, существование нек-рых спец. объектов, напр. т.н. недостижимых (хотя бы с помощью описанной выше конструкции) кардинальных и(ли) порядковых чисел. Последнее предполагает построение средствами ZF теории мощности и порядка, что легко осуществимо, так же как и построение этими средствами, по существу, всей классич. математики. Позднее были предложены многочисл. видоизменения ZF (А. Мостовский, Т. Сколем и др.) и системы, отличающиеся от ZF тем, что "плохие" (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения (что в нек-ром роде не вполне естественно), а признаются "собственно классами", т.е. множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента др. множествам (эта идея, идущая от Дж. Неймана, была развита П. Бернайсом, К. Геделем и др.). Системы эти, в отличие от ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом. Др. подход к преодолению парадоксов реализован в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда и ее модификациях, в к-рых ограничения накладываются не на аксиомы свертывания, а на критерии "осмысленности" (законности, допустимости) фигурирующих в них "условий" (свойств), а также в системах, подобных NF Куайна, сочетающих оба упомянутых подхода (см. Типов теории). Для различных систем аксиоматич. Т. м. и отдельных их аксиом существенным является вопрос об их (относительной) непротиворечивости. В 1940 К. Гедель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора (вызывавшей ранее ввиду своего неконструктивного, чисто экзистенциального характера, мн. сомнений и споров) и континуум-гипотезы для описанной им системы ? (а тем самым и для ZF); в дальнейшем этот результат был перенесен на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF (для ослабл. формы аксиомы выбора, поскольку, как показал в 1959 Э. Шпеккер, обычная ее форма в NF опровержима). В 1963 амер. математик П. Дж. Коэн доказал совместимость с ZF отрицаний континуум-гипотезы и аксиомы выбора (а тем самым и независимость этих предложений; вскоре близкие результаты были получены также чешскими логиками П. Вопенкой и К. Буковским). Установленная таким образом неразрешимость столь "естественно поставленных" проблем лишний раз подчеркнула зыбкость платонистских представлений об "объективности" описываемых ими "обстояний". Одним из серьезных источников установленных фактов является "парадокс Сколема", говорящий об относительности понятия мощности; этот парадокс вытекает из теоремы Левенхейма – Сколема о наличии моделей произвольной мощности у непротиворечивых систем, в силу к-рой понятие категоричности системы аксиом для сколь-либо богатых систем оказывается беспредметным. Ни в одной из описанных систем Т. м. не возникают известные парадоксы. Однако проблема абсолютной их непротиворечивости, ввиду теоремы Геделя о неполноте (см. Метатеория), казалась до последнего времени безнадежной. Только привлечение средств ультраинтуиционистской программы (см. A. S. Es?nine-Volpine, Le programme ultra-intuitioniste des fondements des math?matiques, Infinitistic methods, Warsaw, 1961) позволило доказать непротиворечивость ZF (и теории типов). Но для NF эта проблема не решена до сих пор. Следует, наконец, отметить, что для представителей интуиционизма и конструктивизма (см. Конструктивное направление в логике и математике) проблема обоснования Т. м. в описанном выше смысле вообще не встает: классическая Т. м. неприемлема для них независимо от того, насколько она уязвима парадоксами, в силу основанного на абстракции актуальной бесконечности неконструктивного, неэффективного характера ее экзистенциальных утверждений. Для конструктивистских же версий Т. м. (или, как, следуя Брауэру и Гейтингу, ее называют, теории видов) принцип свертывания, взятый "во всей его силе", оказывается тривиальностью: интуиционисты попросту отождествляют "множества" и "свойства", что не порождает, однако, никаких новых проблем, ибо их "свойства", по определению, эффективно проверяемы. Лит.: Френкель А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; ?сенин-Вольпин А. С. К обоснованию теории множеств, в сб.: Логические исследования, М., 1959; Гейтинг ?., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Quinе W. О. V., Set theory and its logic, ?. ?., 1963. Ю. Гастев. Москва.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.