процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного знания началась давно, но только в период современной научно-технической революции приобрела большой размах и значение. Наряду с традиционными областями применения математики, какими являются механика, астрономия, физика и химия, ее методы стали проникать в такие отрасли науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой сложности (биология, экономика, социология, лингвистика и др.).
Как и любая другая модель, математическая модель, во-первых, отображает некоторые существенные свойства и отношения оригинала, во-вторых, в точно определенном смысле замещает его и, в-третьих, дает новую информацию о нем. Однако в отличие от материальных моделей они являются разновидностями концептуальных моделей, которые отображают количественно-структурные отношения исследуемых процессов и являются оперативно-символическими по характеру применения. Часто такое моделирование характеризуют как искусство применения математики, причем перевод существенных факторов исследуемых явлений на язык математики считают самой трудной стадией моделирования. Поскольку во многих конкретных приложениях математики имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними, то нередко математическую модель рассматривают как систему уравнений вместе с известными данными, необходимыми для ее решения (начальные условия, граничные условия, значения коэффициентов уравнения и т. п.). Однако для применения математики в новейших разделах естествознания, а также в социологии, психологии, лингвистике и т. д. приходится обращаться к неметрическим моделям, основанным не на измерении величин, а анализе абстрактных структур и категорий. Построение любой математической модели начинается с установления существенных для изучаемых явлений и процессов их качественных свойств и отношений, которые следует выделить от других несущественных факторов и моментов, затрудняющих исследование. Обычно эта стадия осуществляется в специальных науках. Дальнейший этап моделирования связан с формулированием найденных качественных зависимостей на точном языке математики, т. е. с «переводом» информации качественного характера на количественноструктурный язык. Для этих целей используют все теории и методы современной математики, но этот этап является едва ли не самой трудной частью математического исследования.
Ведь для описания одних и тех же явлений могут быть построены самые разнообразные математические модели. Поэтому необходимо, чтобы модель не слишком упрощала изучаемые явления, но в то же время ее точность находилась в границах, определяемых условиями задачи. Характер математической модели, ее сложность и специфика определяются прежде всего природой тех реальных систем и процессов, которые она описывает. После того, как модель построена, ее исследуют на непротиворечивость, а главное — из нее выводят дедуктивные следствия, которые затем интерпретируют с помощью эмпирических данных. По расхождению или согласию следствий модели и результатов наблюдений и экспериментов делают заключение об адекватности модели реальности.
Основные формы и методы математизации научного знания связаны с теми типами моделей, которые применяются в различных науках. Они весьма разнообразны и многочисленны, начиная от простого счета и измерения и кончая сложнейшими структурными методами и современным математическим экспериментом. Среди них следует выделить, во-первых, метрические или функциональные методы, опирающиеся на измерение величин исследуемых процессов и выявление функциональных связей между ними; во-вторых, структурные методы, ориентированные не столько на измерение величин, сколько на анализ и взаимоотношение элементов, компонентов и подмножеств различных систем и математических структур. Нередко трудно выразить эти отношения определенным числом, хотя возможно представить их с помощью сравнительных терминов «больше», «меньше» или «равно» и использовать для их анализа структуры порядка. Еще большее применение в последние годы приобрели алгебраические и топологические структуры, напр., понятие графа, часто используемое для анализа малых социальных групп, организации и планирования перевозок, транспортных потоков и т. п.
Среди метрических средств математизации научного знания можно выделить детерминистические методы, основывающиеся на использовании функциональных моделей, начиная от классических дифференциального и интегрального исчислений и кончая функциональным анализом. Они получили наиболее широкое применение благодаря точности и достоверности получаемых из них результатов. Методы другого рода, называемые стохастическими, опираются на статистическую информацию о случайных массовых событиях и поэтому их предсказания имеют вероятностный характер. Долгое время именно последнее обстоятельство надолго задержало их использование в науке, но под воздействием запросов биологии, демографии, экономики и социологии вероятностно-статистические методы получили мощный стимул для развития и стали равноправными средствами математического исследования.
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих вычислительных средств открыло невиданные раньше возможности для применения математических методов в науке и других сферах деятельности. Если раньше из-за отсутствия таких средств приходилось значительно упрощать математические модели и получать приближенные результаты, то с изобретением компьютеров такая необходимость во многом отпала. Уже первые компьютеры могли заменить труд нескольких тысяч профессиональных вычислителей и по мере увеличения их быстродействия во 2 и 3 поколениях получили широкое применение всюду, где требовалось выполнить большой объем различных расчетов (управление производством, расчет траекторий ракет и искусственных спутников Земли, проектирование атомных реакторов и т. п.). Однако только с увеличением быстродействия и особенно «памяти» новых компьютеров они стали использоваться в научном исследовании, во-первых, для работы с ними пользователя в режиме диалога, во-вторых, для проведения математического, или вычислительного, эксперимента. Режим диалога дает возможность исследователю проверять гипотезы путем сопоставления их следствий с большим массивом эмпирических данных и соответственно корректировать их. Математический эксперимент является более мощным средством научного познания, ибо классические методы математизации научного знания опирались на сравнительно простые модели, которые можно было использовать только однократно, причем каждый раз осуществлять все операции заново. В отличие от этого при математическом экспериментировании программа вычислений и математическое обеспечение остаются неизменными, а экспериментирование совершается над математическими моделями путем изменения их параметров. После расчета различных вариантов модели их следствия сравниваются с данными эмпирических наблюдений и натурных экспериментов. Опираясь на эти результаты, можно выбрать наиболее оптимальную модель в качестве решения проблемы. Эффективность использования такого эксперимента зависит не столько от совершенства вычислительной техники, сколько от тщательного и глубокого исследования изучаемых процессов на качественном уровне. Сам такой эксперимент обычно предпринимается для решения крупных научно-технических и глобальных проблем (экологических, энергетических и др.). В некоторых процессах, изучение которых сопряжено с опасностью для жизни и здоровья людей, математический эксперимент остается единственным средством исследования (ядерная энергетика, термоядерный синтез, химические и другие вредные производства и т. д.).
Другим важным направлением применения математических моделей, алгоритмов и современных компьютеров являются исследования по искусственному интеллекту, одна из основных целей которых заключается в эффективном поиске нестандартных приемов решения интеллектуальных задач. Иногда простейшие такие задачи решаются путем простого перебора возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, но при большем числе вариантов с этим не может справиться даже мощный компьютер. Между тем человеческий мозг решает подобные задачи значительно быстрее и экономнее, по-видимому, заранее исключая неправдоподобные варианты. Главная идея компьютерного эвристического программирования заключается в ограничении перебора различных вариантов или комбинаций решений путем использования соответствующей дополнительной теоретической или эмпирической информации с тем, чтобы исключить заведомо неверные варианты.
Возможности применения математических методов в любой конкретной науке зависят прежде всего от уровня ее теоретической зрелости. Это, конечно, не исключает их применения и на эмпирической стадии исследования. Однако эти методы являются достаточно элементарными (счет, измерения, сравнения и т. п.) и поэтому на теоретическом уровне требуется использовать более абстрактные математические модели и структуры.
Современная научно-техническая революция значительно ускорила процесс математизации научного знания и выдвинула на первый план проблему математического описания процессов, изучаемых в биологических, социально-экономических и гуманитарных науках. Первой и определяющей причиной математизации научного знания служит воздействие научно-технической революции на все сферы знания, в результате чего многие естественные, технические и частично экономические науки поднялись на качественно новый уровень развития. Введение более общих и абстрактных понятий и создание глубоких теорий в этих науках способствовало дальнейшей их математизации. В этом — вторая причина успехов современной математизации научного знания, которая представляет собой двуединый процесс, включающий рост и развитие конкретных наук, с одной стороны, и совершенствование методов самой математики, с другой. Наконец, третья причина математизации научного знания связана со всевозрастающим использованием все более эффективной электронно-вычислительной техники и других устройств по автоматизации интеллектуальной деятельности. Переворот в вычислительной технике оказал огромное влияние не только на математику и научное познание вообще, но вместе с алгоритмами управления и реализующими их компьютерами эта техника становится составной частью производительных сил современного общества. Замена тяжелого ручного труда машинами, автоматизация производственных процессов, гибкие технологии, промышленные роботы — все эти и другие перспективные направления технического прогресса связаны со все увеличивающимся применением компьютеров и тем самым математических методов исследования.
Объективной основой использования математических методов в конкретных науках служит качественная однородность изучаемых ими различных классов явлений. Именно вследствие такой однородности и общности они оказываются количественно и структурно сравнимыми и поэтому поддающимися математической обработке. Однако чем более сложными и качественно отличными оказываются формы движения материи, тем труднее они поддаются математизации. Самой математизированной наукой является механика, изучающая форму движения, в которой абстрагируются от качественных изменений тел и анализируют лишь результат их движения. Самой сложной и потому наиболее трудной для использования математических методов служит общественная форма, в которой приходится учитывать наряду с объективными различиями социальных систем и структур также субъективные стороны деятельности людей (их цели. волю, интересы, ценностные ориентировки и мотивации и т. п.). Поэтому количественные оценки нередко здесь тесно связаны с качественными, а иногда они отступают на второй план. Математизация научного знания будет эффективной только тогда, когда математизируемая наука будет достаточно зрелой, обладающей сложившимся концептуальным аппаратом. К сожалению, при нынешней моде на математизацию язык символов и формул, строгость и точность математических утверждений и доказательств оказывает гипнотическое влияние на людей, мало искушенных в ней и, главное, не понимающих сущности ее метода. В результате этого нередко за формулами перестают видеть реальное содержание изучаемых процессов.
Лит.: Математическое моделирование. М., 1979; Моисеев Математика ставит эксперимент. М., 1979: Тихонов А. //., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. М.. 1979; Рузавин Г. И. Математизация научного знания. М.. 1984.
Г. И. Рузавин