Изоморфизм

от греч. ???? - равный, одинаковый и ????? - форма) - отношение между к.-л. объектами, выражающее в нек-ром (уточняемом ниже) смысле тождество их структуры (строения). Понятие И. - важнейшее общенауч. понятие. Оно имеет важное филос. значение и непосредственно связано с категориями различия, тождества, сходства, достоверности и др.; понятие И. используется при характеристике отношения теории к действительности, при описании переработки информации в процессе познания, при анализе условий достоверности выводов по аналогии и т.д. Уточнение понятия тождества структуры может быть произведено на различных уровнях абстракции и логич. строгости, что приводит к различным уровням понятия И., - от строго формализованного понятия И. в математике, до более широкого понятия И. в кибернетике, приложимого в значит. мере и к теории познания. Поскольку понятие структуры объекта предполагает его рассмотрение в виде совокупности составляющих его элементов (или, в нек-рых случаях, в виде объединения его частей-подмножеств), при рассмотрении И. обычно говорят об отношении между системами, множествами к.-л. элементов. Системы элементов, находящиеся в отношении И., наз. и з о м о р ф н ы м и. П р и м е р ы И. 1) Пусть С – прямая линия, рассматриваемая как множество точек; D – множество (всех) действит. чисел. Выбрав произвольную точку прямой в качестве начала отсчета, произвольный отрезок в качестве единицы длины и одно из двух направлений на прямой в качестве направления возрастания, можно сопоставить выбранному началу отсчета число 0, а концу единичного отрезка, отложенного от начала отсчета, число 1. Определенная т. о. система координат на прямой выражает И. множеств С и D. 2) Отношение между местностью и картой этой местности; между изображаемым предметом и фотографич. негативом; между негативом и готовым фотоснимком; между станком и его действующей моделью; между радиоприемником и его схемой; между коллективом рабочих и служащих предприятия и их списком в бухгалтерии с указанием должностей и заработной платы; между животным и его чучелом. В каждом из этих примеров "модель" (карта, схема, список и т.п.) изоморфна моделируемому объекту в том смысле, что в ней сохраняются неизменными нек-рые соотношения между его частями (схема приемника воспроизводит расположение и соединение его деталей, карта передает рельеф местности и пр.), что позволяет изучать эти соотношения непосредственно по модели. Примеры показывают, что И. в каждом отд. случае связан лишь с вполне определенной группой свойств или отношений между частями или элементами рассматриваемых объектов (множеств), в остальном могущих быть совершенно различными (в т. ч. и по "строению"). В таких случаях говорят, что свойства, относительно к-рых две системы (множества) изоморфны, и н в а р и а н т н ы при переходе от одной из этих систем к другой. 3) Сравним следующие три теории: исчисление высказываний (понимаемое именно как исчисление, т.е. как нек-рая формальная система), логику высказываний (понимаемую как с о д е р ж а т е л ь н у ю теорию о высказываниях и формах высказываний) и теорию контактных электрич. схем. Известно (см. Алгебра логики), что выражения логики высказываний и контактные схемы можно поставить в такое взаимно-однозначное соответствие, что тождественно-истинным формулам будут соответствовать схемы, проводящие ток при любых распределениях состоянии своих контактов, выполнимым формулам – схемы, проводящие ток при нек-рых наборах состояний контактов, а невыполнимым (т.е. тождественно-ложным) – схемы, не пропускающие тока ни при одном наборе состояний контактов. При этом образованию логич. выражений при помощи оператора дизъюнкции соответствует параллельное соединение контактов схемы, соответствующих дизъюнктивным членам, а при помощи конъюнкции – последовательное. В то же время совокупности выражений логики высказываний, с одной стороны, и контактных схем, с другой, можно рассматривать в качестве конкретных интерпретаций (представлений, моделей, реализаций) исчисления высказываний, в к-рых "бессодержательным" формулам исчисления высказываний приписывается определенный смысл: в одном случае – в терминах высказываний (предложений, суждений) и форм высказываний, в другом – в терминах электрич. схем. Наконец, для каждой из трех рассматриваемых систем можно предложить арифметич. интерпретацию, в к-рой каждой формуле исчисления (выражению логики высказываний) ставится в соответствие нек-рая арифметич. функция, аргументы к-рой, так же как и она сама, принимают два значения, обозначаемые обычно как 0 и 1. Одно из этих значений, напр. О, отождествляется с истинностным значением высказывания "истина", а другое – с истинностным значением "ложь". Доказуемой формуле исчисления высказываний (соответственно тождественно-истинной формуле логики высказываний) тогда будет соответствовать функция двух аргументов, тождественно-равная нулю, а опровержимой (соответственно тождественно-ложной) формуле – функция, тождественно-равная единице. Если A и В – нек-рые формулы (высказывания), а А´ и В´ – соответствующие им функции, то формулам (высказываниям) А, А & В, А / В и A ? B соответствуют арифметич. функции 1–A´, A´B´, A´+B´–A´B´ и 1–A´–А´В´, а (содержательной) эквивалентности высказываний А и В – равенство А´=В´. Т.о., мы имеем четыре различных, но "одинаково устроенных" системы объектов: элементами первой являются формулы (т.е. формальные выражения, к-рые в и с ч и с л е н и и высказываний рассматриваются не как высказывания, а как образованные по определенным правилам комбинации символов на бумаге), элементами второй – высказывания (и формы высказываний), третьей – контактные электрич. схемы, четвертой – арифметич. функции, принимающие, так же как и их аргументы, значения 0 и 1. Отношение между каждой парой из этих четырех систем является И. 4) Крутильные механич. колебания описываются обычно линейными дифференциальными уравнениями второго порядка; эти колебания могут изучаться также посредством построения электрич. колебательного контура с такими параметрами, что колебательный процесс в нем описывается тем же уравнением, что и изучаемый процесс механич. колебаний. И. механич. и электрич. колебательных систем и описывающего каждую из них дифференциального уравнения позволяет, в принципе, свести изучение любой из этих трех систем к рассмотрению любой из двух других, являющихся ее моделями. Т.о., экспериментальный и "теоретический" (расчетный) методы исследования, иногда противопоставляемые друг другу, основаны, по существу, на одной и той же идее моделирования при помощи изоморфных моделей. Все упомянутые до сих пор случаи И. можно рассматривать как проявления более широкого отношения между различными частями (сторонами) окружающей нас объективной реальности и их описаниями в тех или иных терминах. При этом более внимательный анализ приводит к необходимости разделить это отношение на два различных отношения между двумя различными парами множеств предметов. Первое из них – это отношение соответствия между реальностью и более или менее полной и точной совокупностью образов этой реальности, возникающих в нашем сознании. Поскольку полнота и точность воспроизведения внешнего мира в человеч. сознании всегда относительны, соответствие между предметами реального мира и их мысленными образами есть не И., а более общее отношение – гомоморфизм (см. ниже). Второе же соответствие – между совокупностью наших содержат. представлений о мире и ее систематич. описанием в точных терминах может быть и изоморфным. Более того, такой И. является целью каждой естеств.-науч. теории (см. Интерпретация). Понятие И. относительно; эта относительность связана с наличием у рассматриваемых множеств предметов нек-рой структуры, не учитываемой в данном понятии И.; в зависимости от степени идеализации исходя из к-рой мы выделяем в этих множествах интересующие нас свойства и отношения, получаются различные отношения И. Два множества могут быть изоморфными относительно одной группы свойств и отношений и неизоморфными относительно др. группы. Поскольку в примерах 1) – 4) эти группы свойств и отношений не были полностью выявлены, в них содержался нек-рый элемент неопределенности. Чтобы устранить неопределенность, присущую на этом уровне понятию И., надо каждый раз точно указывать те свойства и отношения, относительно к-рых рассматривается данное отношение И. Четкое понятие И. необходимо в естествознании, где часто используются выводы, основанные на аналогии двух объектов. Эти выводы дают обычно только более или менее вероятные заключения; исследуя условия повышения их вероятности, обычно прибегают к таким приемам, как классификация признаков сравниваемых объектов по "существенности", требование по возможности большего числа совпадающих признаков, введение понятия гомологии и т. п. В ходе уточнения этих достаточно расплывчатых критериев мы и приходим к определяемому ниже точному понятию И., позволяющему делать д о с т о в е р н ы е заключения, относящиеся к изоморфным множествам объектов. (Это понятие не следует смешивать с понятием И. в химии, к-рое не только по своей этимологии, но и по существу, имеет тесную связь с рассматриваемым нами понятием И., однако не является в строгом смысле слова его частным случаем). Определение изоморфизма и связанных с ним понятий. Пусть А и А´ – два (конечные или бесконечные) множества элементов, природа к-рых нами не рассматривается, и на этих множествах определены нек-рые множества предикатов (свойств и отношений) вида Fp n и F´qm (верхний индекс указывает число аргументных мест предиката, нижний – номер предиката в нек-рой фиксированной нумерации предикатов). Если между множествами А и А´, а также между множествами определенных на них предикатов можно установить такое взаимнооднозначное соответствие [т.е. каждому элементу ai ? А (эта запись читается; "элемент ai из множества А") можно поставить в соответствие один и только один вполне определенный элемент a´i ? A´, и обратно, каждому элементу a´i ? А´ – один и только один элемент aj ? A; соответствующие элементы из А и А´, так же как и предикаты вида F и F´, обозначаются одинаковыми индексами], что из Fpk (ai1, ai2, ..., ain) следует F´pk (a´i1, a´i2, ..., a´ip), а из F´ql (a´j1, a´j2, ..., a´jq) следует Fql (aj1, aj2, ..., ajq) для любых p, q, h и l, то такие множества А и А´ наз. находящимися в отношении И. (и з о м о р ф н ы м и) по отношению к данным множествам предикатов вида F и F´. Каждое из множеств А и А´ наз. в этом случае и з о м о р ф н ы м о б р а з о м другого (в математике, особенно в алгебре, И. часто наз. также само с о о т в е т с т в и е между А и А´, или функцию, осуществляющую отображение А на А´; см., напр., ст. Изоморфизм в БСЭ, 2-е изд., т. 17). Если, в частности, А и А´ совпадают, то такой И. наз. а в т о м о р ф и з м о м ; если при этом каждый элемент переходит сам в себя – тождественным автоморфизмом (к-рый имеет место, очевидно, для любого множества предикатов над любым множеством А). Если упомянутое в определении И. соответствие между элементами множеств А и А´ однозначно лишь в одну сторону, от А и А´ (что означает, что каждому элементу А соответствует единственный элемент А´, но один и тот же элемент А´ может соответствовать и различным элементам множества А), то такое отношение между А и А´ (или функция, отображающая А на А´) наз. гомоморфизмом, а множество А´ – гомоморфным образом множества А. Автоморфизм есть частный случай И., а И. – частный случай гомоморфизма. В силу данных определений, И. (и, следовательно, автоморфизм) есть рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, т.е. может рассматриваться как разновидность понятия тождества (равенства, эквивалентности). Отношение гомоморфизма рефлексивно и транзитивно, но, вообще говоря, не симметрично. Простым примером гомоморфизма является соответствие между к.-л. множеством векторов на плоскости и множеством их проекций на прямую, лежащую в этой плоскости (вообще, соответствие между множеством векторов произвольной размерности и его проекцией на пространство меньшего числа измерений), с определенными на обоих множествах операциями сложения векторов и умножения вектора на действит. число. При этом каждому вектору плоскости соответствует вполне определенная проекция, но каждому вектору-проекции соответствует, вообще говоря, много различных векторов из проектируемого множества. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций, а проекция произведения вектора на число равна произведению проекции этого вектора на то же число. Сдвиг или поворот плоскости вокруг нек-рой точки – примеры автоморфизма. Приведенные определения И. и гомоморфизма имеют точный характер и свободны от упоминавшейся выше неопределенности, свойственной "общему" понятию И. Сравнивая приведенный выше пример гомоморфизма с упомянутым в примере 2) "изоморфизмом" между фотографируемым объектом и его фотографич. изображением, мы видим, что этот "относительный", приближенный, идеализированный И. есть, по существу, г о м о м о р ф и з м. Содержат. смысл гомоморфного отображения состоит в том, что различие между нек-рыми элементами множества игнорируется, сами эти элементы в рамках конкретного рассмотрения отождествляются. При этом "склеивании" отождествляемых элементов уменьшается, вообще говоря, число рассматриваемых отношений между ними: предикаты, определенные для первоначально не отождествленных элементов, выпадают из рассмотрения после отождествления последних. В известном смысле можно сказать, что понятие гомоморфизма отражает процесс абстракции (идеализации, схематизации), к-рый предшествует построению всякой научной теории (так же как понятие И. отражает наше стремление к правильному, не искаженному воспроизведению картины мира). В самом деле, если представить себе некую "полную" совокупность свойств реально существующего объекта, то нет оснований считать, что она может быть отражена в "полном" же их описании, хотя бы потому, что такое описание может оказаться бесконечным. Гипотетическое "полное" описание (в случае его правильности в к.-л. достаточно определенном смысле) было бы изоморфным данному объекту относительно "полной" совокупности его свойств. Всякое же частичное описание (а все осуществимые описания реальных предметов именно таковы) есть лишь гомоморфный образ описываемого объекта.Об И. по отношению к "полной" совокупности свойств данных систем объектов можно говорить как об "абсолютном" И. Такой И. может иметь место лишь между абстрактными (математическими, логическими и подобными им) системами: в математике и логике указание совокупности предикатов, рассматриваемых в связи с постановкой вопроса об И. данных объектов, и является тем "полным" описанием, к-рое предполагается в понятии "абсолютного" И. Но и в пределах математики И. двух множеств может иметь или не иметь места, в зависимости от рассматриваемой совокупности предикатов, и И., являющийся "абсолютным" на одном уровне абстракции, не является таковым на другом уровне. Никакое же соответствие между системами реальных предметов (если только системы эти не тождественны) не может быть "абсолютным" И. Каждое, пусть самое незначительное, различие в свойствах рассматриваемых систем (в отношениях между их элементами) свидетельствует о гомоморфном, а не изоморфном характере соответствия. Однако для естествознания вопрос о приближении к "абсолютному" И. науч. теорий с реальной действительностью, – вопрос, не снимаемый никакой идеализацией, выраженной в точном перечне учитываемых при построении теорий свойств и отношений между предметами реального мира, – имеет огромное значение. Исторически понятие И. возникло при рассмотрении абстрактных алгебраич. систем (групп, полей, колец и др.), описания к-рых всегда предполагаются "полными", в силу чего "заключения по аналогии" о свойствах к.-л. системы, сделанные на основании знания свойств изоморфной ей системы, можно рассматривать как тавтологичные суждения о тождественности свойств тождеств. объектов. [Это не значит, что такие "тавтологичные" суждения непременно тривиальны: ведь в преодолении связанных с ними трудностей и состоит, в значит. мере, развитие математики и логики; кроме того, в ряде случаев сама по себе проблема установления И. различным образом заданных систем может даже не иметь для своего решения единого общего метода (см. Алгоритм)]. Положение в этом смысле не изменилось и тогда, когда понятие И. оказалось весьма плодотворным и в других областях математики (в топологии, в к-рой основным является понятие гомеоморфизма – спец. случая И. по отношению к свойству "быть открытым множеством", в математич. анализе, в теории функций, в геометрии и др.). Но уже в физике проблема "абсолютности" И. ее теорий и реальной действительности, являющаяся конкретизацией осн. проблемы теории познания об адекватности наших представлений окружающему нас реальному миру, встает во весь рост. Еще б?льшую остроту приобретает эта проблема в кибернетике, где аналогии (предполагающие, в том или ином смысле, И.) в строении и функционировании сравниваемых объектов носят часто далеко не очевидный характер (в определении И. мы не пользовались понятием "тождества функционирования", но с привлечением понятия времени вопрос о тождестве функционирования может быть сведен к вопросу о тождестве структуры). В кибернетике важное значение имеет также вопрос о сохранении И. (конечно, "относительного") при передаче информации, поскольку при слишком большом уровне помех принятое сообщение может оказаться настолько искаженным, что установить его И. с переданной совокупностью сигналов станет невозможным. Возвращаясь к поставленному выше вопросу об И. как критерии обоснованности заключений по аналогии, нужно при ответе на него учитывать следующие уровни этого понятия. И., вытекающий из определения рассматриваемых систем, являющийся, очевидно, "абсолютным", есть основа для достоверных заключений. Часто рассматриваемый в естествознании И., основанный на введении к.-л. абстрактных понятий (напр., на лежащем в основе большого числа физич. теорий понятии об элементарной частице электрич. заряда – электроне), также может служить достаточно надежной основой для выводов – в той мере, в какой оправдано введение указанных понятий (если, конечно, при этом неявно не используются другие, недостаточно обоснованные допущения). Наконец, весьма распространенный способ употребления понятия И., связанный с использованием различных допущений о рассматриваемых объектах и дополнительно введенных понятиях, может быть использован в науке в той же мере, в какой могут быть использованы эти допущения. Вероятность заключений, основанных па такого рода И., возрастает по мере обоснования использованных гипотез; доказательством (в том или ином точном смысле) такое заключение становится лишь после доказательства (в том же смысле) этих гипотез. Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, ч. 1, [2 изд.], пер. с нем., М.–Л., 1947, гл. 2, § 9–10; ?aрский ?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, гл. 6, § 37, 39, гл. 10, § 65; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948, вступит. статья П. К. Рашевского, с. 17–52, гл. 1, с. 56–91; Xинчин А. Я., Простейший линейный континуум, "Успехи матем. наук", 1949, т. 4, вып. 2 (30), с. 180; Курош А. Г., Теория групп, 2 изд., М., 1953, гл. 1, § 1–2; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 2, § 8; Полетаев И. ?., Сигнал, М., 1958, с. 28–33; Эшби Р. У., Введение в кибернетику, пер. с англ., М., 1959, гл. 6; Черч ?., Введение в математическую логику, пер. с англ., [т. 1], М., 1960, гл. 5, § 55. Ю. Гастев. Москва.