ИСЧИСЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ

Исчисление, символы и правила которого могут быть интерпретированы в терминах логики. Любое исчисление представляет собой знаковую систему, которая, как чисто синтаксическая структура, однозначно определяется двумя порождающими процедурами: 1) образованием элементов синтаксических категорий, т. е. правильных выражений языка исчисления, из символов его алфавита (множества исходных символов исчисления); 2) преобразованием синтаксических выражений исчисления посредством системы аксиом и правил вывода. Аксиомы представляют собой фиксируемый в языке исчисления набор исходных выражений, принимаемых непосредственно (как постулаты). Правила вывода – это правила вида «из формул F1 ,...,F m выводима формула G», символическая запись: (F1 ,...,F m )|—G.Формулы F1 ,...,F m называются посылками вывода, a G – заключением вывода. В каждом конкретном правиле формулы F1 ,...,F m , G имеют конкретный вид, число посылок (m) также принимает конкретное значение. Приписывание символам исчисления значений, т. е. интерпретация, превращает исчисление в семантическую систему (формализованный язык). Логическое исчисление представляет собой логически интерпретированное исчисление, изучение которого предполагает тщательное построение и анализ трех металогических уровней языка: синтаксического, семантического и прагматического. Доказательством формулы в логическом исчислении называется последовательность формул, в которой каждая формула либо аксиома исчисления, либо выводима из некоторых предыдущих (т. е. уже доказанных) формул с помощью одного из правил вывода. Для каждого логического исчисления важное значение имеют вопросы о его непротиворечивости (в непротиворечивом исчислении невыводимы одновременно какое-либо выражение и его отрицание), полноте (исчисление является полным, если множество его истинных утверждений совпадает с множеством утверждений, доказуемых в нем), решении проблемы разрешимости (исчисление является разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий для любого утверждения определять, выводимо оно в нем или нет) и др. Решение данных вопросов определяет возможность его интерпретации и является необходимым условием его практической реализуемости. Различные теории вывода представляют логические исчисления, отличающиеся своими свойствами. Логические исчисления составляют основу формализованных научных теорий. Выражая научную теорию в виде исчисления, важно ставить содержательный вопрос адекватности данного исчисления данной теории. Но на определенном этапе с исследовательской точки зрения необходимо анализировать само исчисление в качестве предмета научной рефлексии, независимо от какой-либо возможной интерпретации, просто как систему знаков и операций с последовательностями этих знаков. Теория знаковых рядов (синтаксических систем) позволяет совершенно автономно рассматривать произвольное исчисление так же, как мы рассматриваем систему правил различных интеллектуальных игр, напр., таких, как крестики-нолики, реверси, шахматы и др. Правда здесь есть один очень важный нюанс. Правила игры мы можем относительно легко изменить, напр., договориться, что в крестики-нолики теперь будет проигрывать, а вовсе не выигрывать, тот, кто будет вынужден построить линию из своих знаков. Вряд ли такие «негативные» крестики-нолики станут популярными, но они все равно останутся интеллектуальной комбинаторной игрой. Модификация принципов какого-либо исчисления также возможна, но останемся ли мы тогда в пределах привычной интерпретации? Это достаточно редко можно гарантировать заранее. Знаменитый «toleranz prinzip» Р. Карнапа здесь неуместен, и конвенционалистское отождествление исчисления и теории, проводимое ранними логическими позитивистами, к сожалению, спровоцировало несправедливо негативное отношение философов к формальным средствам анализа. Содержательная теория не есть исчисление, она лишь может быть выражена в форме исчисления. Любое исчисление модифицируемо различными способами, а сама возможность модификаций приводит к обобщению этого исчисления. Но обобщенное исчисление не обязано представлять какую бы то ни было содержательную теорию. Обобщение формальной теории традиционной геометрии привело к учению о многомерных пространствах.
Но пространство более трех измерений не есть пространство в прежнем значении слова, а лишь система зависимостей, которая может быть актуализирована в различных сферах знания. Так же обстоит дело и с появлением неевклидовых геометрий и неклассических логик. Причем здесь важно не впасть в универсалистскую крайность «единственности интерпретации». Ни евклидова геометрия, ни классическая логика не оказались единственными и универсальными. Само по себе исчисление ничего не выражает, и при автономном его рассмотрении знаки алфавита не выполняют обозначающую функцию. Исчисление в этом смысле есть лишь форма для возможных интерпретаций: слепок с некоторых из уже имеющих место теорий и заготовка для потенциальных. В этом есть свои преимущества, так как автономное рассмотрение исчислений: исключает при интерпретации все неявно содержащиеся в теории предпосылки, позволяя работать с чистой теорией; развивает сам аппарат формализации, модифицируя различные классы исчислений, выясняя их внутренние возможности и повышая уровень общности подхода; позволяет «впрок» накапливать исчисления, готовясь к потребности в самых неожиданных интерпретациях для нового теоретического знания.
Таким образом, интеллектуальная работа заключается не только исключительно в конструировании исчисления, адекватного для выражения конкретной содержательной теории, но и в генерировании формальных теорий, которые могли бы стать основой интерпретации какого-либо исчисления. А. Г. Кислов