ГОМОМОРФИЗМ

от греч. ???? – равный и ????? – образ) (в математике и л о г и к е). Г. называют такое соответствие между двумя системами объектов с определенными для этих объектов отношениями, при к-ром: 1) каждому объекту первой системы поставлен в соответствие ровно один объект второй еистемы и каждому отношению первой системы поставлено в соответствие ровно одно отношение второй системы; 2) если для нек-рых объектов а, b, с, ... первой системы выполняется нек-рое отношение S первой системы, то для объектов а´, b´, с´,... второй системы, соответствующих объектам а, b, с, ..., выполняется отношение S´ второй системы, соответствующее отношению S. Вторая система объектов и отношений называется при этом гомоморфным образом первой. О гомоморфном образе какой-либо системы можно в определенном смысле говорить как о модели этой системы. В том частном случае, когда, во-первых, установленное между рассматриваемыми системами соответствие взаимнооднозначно и, во-вторых, отношение S´ выполняется во второй системе между объектами а´, b´, с´, ... только тогда, когда соответствующее отношение S выполняется между соответствующими объектами а, b, с, ... первой системы, Г. называют изоморфизмом. П р и м е р г о м о м о р ф и з м а. Пусть U есть нек-рая система высказываний с определенными для этих высказываний отношениями конъюнкции С и дизъюнкции D (для высказываний а, b, с тогда и только тогда выполняется отношение С, когда с есть конъюнкция высказываний а и b; для высказываний а, b, с тогда и только тогда выполняется отношение D, когда с есть дизъюнкция высказываний а и b) – Пусть L – система из двух чисел 0 и 1 с определенными на этих числах отношениями К и L, где отношения К и L определены так: для чисел р, q, r тогда и только тогда выполняется отношение К, когда p · q = r; для чисел р, q, r тогда и только тогда выполняется отношение L, когда p + q – pq = r. Поставим в соответствие каждому истинному высказыванию из системы U число 1, каждому ложному высказыванию число 0, отношению С – отношение К, и отношению D – отношение L. Мы получим Г. между системами U и L, при к-ром L является гомоморфным образом системы U. В. Успенский. Москва.