ГИЛЬБЕРТ ДЭВИД

(1862-1943)выдающийся немецкий математик, основоположник программы формализма в математике. Он вполне правомерно предполагал, что математике предстоит выявить свои собственные основания. Науку о них Г. назвал метаматематикой. По поводу этих оснований он также высказал вполне определенные суждения. Имеется в виду, что, руководствуясь аксиоматическим методом, следует дедуктивно выводить все теоремы. Достаточно доказать непротиворечивость математической системы, не прибегая к содержательным интерпретациям математических понятий. В таком случае любая математическая теория предстает как синтаксическое мероприятие. К тому же Г. полагал, что любое доказательство должно осуществляться за конечное число ходов (требование финитности). В 1931 г. К. Гёдель (см.) показал, что программа Г. не может быть реализована даже для арифметики натуральных чисел. Частичный выход из ситуации нашелся, но ценой отказа от требования финитности. Ученику Г. — Г. Генцену удалось доказать непротиворечивость арифметики натуральных чисел, но доказать непротиворечивость более сложных систем (например, математического анализа и теории множеств) не удалось по настоящее время. Выяснилось, что в ослаблении нуждается не только установка на финитность, но и на непротиворечивость. В случае невозможности доказать непротиворечивость математической системы достаточно потребовать доказательства разрешимости вполне конкретных теорем. С формализмом произошла довольно типичная для науки ситуация: первоначально выдвигаются сильные требования, но затем выясняется, что их необходимо в известной степени ослабить.