род. 23 янв. 1862, Кенигсберг - ум. 14 февр. 1943, Геттинген) - нем. математик и логик, профессор в Геттингене с 1895 по 1936. Создал основополагающие работы по аксиоматике геометрии, арифметики и физики, в которых пытался доказать независимость и непротиворечивость лежащих в основе систем аксиом. Осн. произв.: "Grundlagen der Geometrie", 1899 (рус. пер. "Основания геометрии", 1948); "Grundzьge der theoretischen Logik", 1928, написанная вместе с В. Аккерманом, (рус. пер. "Основы теоретической логики", 1947); "Grundlagen der Mathematik", 2 Bde., 1934 - 1939, написанная совместно с П. Бернайсом; "Gesammelte Abhandlungen", 3 Bde., 1932-1935.
ГИЛЬБЕРТ ДАВИД
ГИЛЬБЕРТ (Hubert) Давид
Источник: Философский энциклопедический словарь
Гильберт Давид
(1862—1943) — нем. математик и логик. С 1886 преподавал в Кенигсберге, с 1895 — проф. Геттингенского ун-та; основатель Геттингенской математической школы. Осн. работы Г. относятся к теории алгебраических инвариантов, теории алгебраических чисел, к основаниям математики и математической логике. В работе «Основания геометрии» (1899) Г. строго аксиоматически построил геометрию Эвклида, что в значительной степени предопределило дальнейшее развитие исследований по аксиоматизации знания (Аксиоматический метод). Важны работы Г. в области исчисления высказываний и исчисления предикатов. В начале 20 в. в ряде статей Г. сформулировал основы нового подхода к обоснованию математики, к-рый привел, с одной стороны, к появлению концепции формализма в обосновании математики, а с др. — к возникновению нового раздела математики — метаматематики.
Источник: Философский словарь. 1963
ГИЛЬБЕРТ ДАВИД
23. 1. 1862, Велау, близ Кенигсберга, 14.2.1943, Геттинген), нем. математик и логик. Осн. труды в области оснований математики и математич. логики. В 1899 дал строго аксиоматич. построение геометрии Евклида, предопределившее дальнейшее развитие исследований по аксиоматизации науч. знания. Г. выдвинул обширный план обоснования математики путем ее полной формализации («Основания математики», совм. с VI. Бернайсом, т. 1-2, 1934-39, рус. пер. - т. 1, 1979), однако программа Г. оказалась невыполнима. Подход Г. к обоснованию математики привел к появлению формализма, а также нового раздела математики- метаматематики (теории доказательств). Г. принадлежит ряд важных работ в области исчисления высказываний и исчисления предикатов.
в рус. пер.: Основы теоретич. логики, М., 1947 (совм. с В. Аккерманом); Основания геометрии, М.- Л., 1948.
Pид К., Г., пер. с англ., М., 1977 (с приложением обзора Г. Вейля математич. тр. Гильберта).
Источник: Советский философский словарь
ГИЛЬБЕРТ Давид
математик и логик; р. 23.1.1862 (Кёнигсберг) — ум. 14.2.1943 (Гёттинген); там же был профессором с 1895 по 1936. Создал основополагающие работы по аксиоматике геометрии, арифметики и физики, в которых пытался доказать независимость и непротиворечивость лежащих в основе их систем аксиом. Его достижения в области теоретического обоснования системы аксиом проложили путь современной математике и часто сравниваются с достижениями Евклида. Осн. соч.: Grundlagen der Geometrie, 1899, 1977 (рус. пер.: Основания геометрии, 1948); Grundzüge der theoretischen Logik (написана вместе с В. Аккерманом), 1928, 1972 (рус. пер.: Основы теоретической логики, 1947); Grundlagen der Mathematik (написана вместе с П. Бернайсом), 2 Bde., 1934—1939, 1968—1970 (рус. пер.: Основания математики, 1979—1982). Собр. соч.: Gesammelte Abhandlungen, 3 Bde. (в т. 3 — биография Гильберта, составленная О. Блюменталем), 1932—1935; 1965.
Frege. Ein unbekannter Brief über H.s erste Vorlesung über die Grundlegung der Geometrie, 1940; C. Reid. H., 1970; K. Reidemeister (Hg.). H.-Gedenkband, 1971.
Frege. Ein unbekannter Brief über H.s erste Vorlesung über die Grundlegung der Geometrie, 1940; C. Reid. H., 1970; K. Reidemeister (Hg.). H.-Gedenkband, 1971.
Источник: Философский словарь [Пер. с нем.] Под ред. Г. Шишкоффа. Издательство М. Иностранная литература. 1961
ГИЛЬБЕРТ Давид
23 января 1862, Кенигсберг—14 февраля 1943, Геттинген) — немецкий математик, способствовавший переосмыслению и развитию философских оснований не только математики, но и всего естествознания в целом. Окончил университет в Кенигсберге (1885). В 1893—95—профессор этого университета. С 1895 и вплоть до выхода в отставку (1930)—профессор Геттингенского университета. Среди достижений Гильберта в области философии науки наиболее значительны два: во-первых, разработанная им современная, абстрактная, версия аксиоматического метода и, во-вторых, созданная им, в развитие предыдущей идеи, новая ветвь оснований математики—теория доказательств, или метаматематика.
Гильберт неоднократно подчеркивал высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода построения научных теорий. И тем не менее он полагал, что для окончательного оформления и полного логического обоснования всего, что содержится в нашем познании, более предпочтителен метод аксиоматический. Анализу и развитию этого метода Гильберт и посвятил основные свои усилия. Он первым отказался от попыток, предпринимавшихся еще со времен Евклида, давать основным терминам аксиоматизируемой теории содержательные определения. Гильберт последовательно провел в жизнь точку зрения на аксиомы как на условия, налагаемые на исходные понятия теории. Требуя, чтобы в процессе развертывания аксиоматизированной теории использовались лишь те сведения о ее понятиях, которые либо непосредственно почерпнуты из аксиом, либо чисто логическим путем формально выведены из них, он стал трактовать аксиоматику теории как единое явное определение ее понятий (Гильберт подчеркнул это в одном из своих писем к Г. Фреге). Такой вариант аксиоматического метода был положен уже в основу его «Оснований геометрии» (1899), где впервые дана полная, не содержащая никаких подразумеваемых предположений аксиоматика евклидовой геометрии.
Принятая Гильбертом точка зрения в то время позволила ему добиться существенных продвижений в исследовании системы геометрических аксиом. Но сегодня в этой работе более всего поражает тот факт, что он во многом предвосхитил в ней многие черты структурализма 20 в. и значительную часть «идеологии» машинной математики. В самом деле, занимаясь геометрией «в духе Гильберта», человек в определенном отношении попадает в ситуацию, сходную с компьютерной. Он имеет право (но отнюдь не обязан!) понимать то, что он при этом делает. И как это на первый взгляд ни странно, в принципиальном плане это даже ставит его в выгодное положение, избавляя, в частности, от ошибок, всегда возможных при попытке «проявить инициативу» в осмыслении того, что от него требуется: нетрудно понять, что и в самом деле идеально общепонятным может быть лишь то, что вообще не требует никакого понимания.
Можно не обратить внимания на то, что Гильберт никоим образом не доказывает истинность геометрических теорем; он всего лишь логически выводит их из принятых в ней аксиом (вопрос об истинности которых им вообще даже и не ставится). Изложенная точка зрения нашла замечательное по своей глубине использование в его более поздних (1922—30) исследованиях по основаниям математики.
Работы эти были созданы в ходе попыток преодоления острого кризиса, вызванного трудностями, обнаружившимися в теоретико-множественной «архитектурной программе для математики», и впоследствии были подытожены в классической двухтомной монографии Гильберта и его ближайшего сотрудника П. Бернайса «Основания математики» (1-й т. 1934, 2-й—1939). Как известно, Гильберт остро реагировал на противоречия, обнаруженные в канторовой теории множеств Б. Расселом и Э. Цермело, но он отвергал и альтернативную программу Д. Э. Я. Брауэра (см. Интуиционизм). В противовес реформаторской программе последнего Гильберт предложил свою, консервативную, программу, основанную на изложенном выше варианте аксиоматического метода и на идее трактовать «законность» любой математической теории как ее внутреннюю непротиворечивость.
Программа Гильберта, в главных чертах изложенная в докладе «О бесконечном», предусматривала, во-первых, аксиоматизацию всех без исключения математических теорий (в т. ч. и множеств теории); во-вторых, установление непротиворечивости всех полученных аксиоматик и, втретьих, дальнейшее развитие построенных теорий на чисто дедуктивной основе с использованием аристотелевской логики. При таком подходе и аксиомы, и утверждения конкретной теории описывались Гильбертом простыми .и наглядными средствами—конструктивными объектами, имеющими точную синтаксическую структуру. Формализация логики открывала возможность придать аналогичный прозрачный, чисто синтаксический характер и самому понятию математического доказательства, а непротиворечивость теории трактовалась как невозможность одновременного получения в ней доказательств двух таких утверждений, что одно из них является отрицанием другого. Новаторской чертой этой программы Гильберта была ее чистая синтаксичность и отсутствие в ней какой бы то ни было апелляции к такой привычной для любого ученого, тем более для математика или философа, категории, как категория смысла.
Для осуществления второго пункта своего плана Гильберт набросал эскиз т. н. «финитной установки» (см. Финитизм) — перечня средств (он называл их финитными), представлявшихся ему особо надежными и относительно которых он полагал, возможно не вполне правомерно, что они создают предпосылки для достижения «консенсуса» с интуиционистами. К сожалению, в достаточно подробном виде эта установка никогда Гильбертом изложена не была. Есть все основания полагать, что для ее «доработки» ему недоставало точного понятия алгоритма, которое в окончательном виде было выработано в математике лишь к 1936.
При всей на первый взгляд перспективности программы Гильберта ее реализация уже с первых шагов столкнулась с непредвиденными трудностями. Первый серьезный урон был нанесен ей открытием К. Геделя, показавшего (1931), что неполна (и даже принципиально непополнима!) любая непротиворечивая аксиоматизация уже элементарной арифметики натуральных чисел. Между тем, по замыслу Гильберта, именно она, «это чистейшее,—по его выражению,—и наивнейшее дитя человеческого духа», должна была первой пройти «проверку на непротиворечивость». Впервые решение этой задачи было опубликовано (1936) Г. Генценом, которому уже здесь пришлось вполне от четливым образом выйти за рамки финитной установки. Это был второй удар, нанесенный теории доказательств. И хотя главные надежды этой теории возлагались на доказательство непротиворечивости математического анализа (по мнению ближайшего сотрудника Бернайса, именно ее решение должно было вынести «окончательный приговор судьбе теории доказательств»), эта задача и особенно важная задача установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств до сих пор остаются нерешенными.
Т. о., на своем «главном направлении» гильбертовская теория доказательств потерпела поражение (возможно, впрочем, ее постигла общая судьба всех слишком общих программ), но зато она принесла обильные плоды на ее «периферии», составившие целую эпоху в области оснований математики. В первую очередь, это работы (Геделя и др.) по неполноте аксиоматик (арифметики и теории множеств), работы, приведшие к возникновению математически точного понятия алгоритма, исследования А. А. Маркова по конструктивной математике (см. Конструктивные направления), сделавшие впоследствии эпоху в развитии логики работы Брауэра и его школы, проходившие в очной и заочной полемике, тоже принесли свои плоды уже хотя бы потому, что полемика с таким оппонентом, как Гильберт, сама по себе не могла оказаться непродуктивной для ее участников.
Соч.: Избр. труды (т, I, II). М., 1998; Гильберт Д.. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М„ 1979 (2-е изд. 1982); Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982; Основания геометрии. М.-Л., 1948.
Лит.: Рид К. Гильберт. М., 1977.
Н. М. Нагорный
Гильберт неоднократно подчеркивал высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода построения научных теорий. И тем не менее он полагал, что для окончательного оформления и полного логического обоснования всего, что содержится в нашем познании, более предпочтителен метод аксиоматический. Анализу и развитию этого метода Гильберт и посвятил основные свои усилия. Он первым отказался от попыток, предпринимавшихся еще со времен Евклида, давать основным терминам аксиоматизируемой теории содержательные определения. Гильберт последовательно провел в жизнь точку зрения на аксиомы как на условия, налагаемые на исходные понятия теории. Требуя, чтобы в процессе развертывания аксиоматизированной теории использовались лишь те сведения о ее понятиях, которые либо непосредственно почерпнуты из аксиом, либо чисто логическим путем формально выведены из них, он стал трактовать аксиоматику теории как единое явное определение ее понятий (Гильберт подчеркнул это в одном из своих писем к Г. Фреге). Такой вариант аксиоматического метода был положен уже в основу его «Оснований геометрии» (1899), где впервые дана полная, не содержащая никаких подразумеваемых предположений аксиоматика евклидовой геометрии.
Принятая Гильбертом точка зрения в то время позволила ему добиться существенных продвижений в исследовании системы геометрических аксиом. Но сегодня в этой работе более всего поражает тот факт, что он во многом предвосхитил в ней многие черты структурализма 20 в. и значительную часть «идеологии» машинной математики. В самом деле, занимаясь геометрией «в духе Гильберта», человек в определенном отношении попадает в ситуацию, сходную с компьютерной. Он имеет право (но отнюдь не обязан!) понимать то, что он при этом делает. И как это на первый взгляд ни странно, в принципиальном плане это даже ставит его в выгодное положение, избавляя, в частности, от ошибок, всегда возможных при попытке «проявить инициативу» в осмыслении того, что от него требуется: нетрудно понять, что и в самом деле идеально общепонятным может быть лишь то, что вообще не требует никакого понимания.
Можно не обратить внимания на то, что Гильберт никоим образом не доказывает истинность геометрических теорем; он всего лишь логически выводит их из принятых в ней аксиом (вопрос об истинности которых им вообще даже и не ставится). Изложенная точка зрения нашла замечательное по своей глубине использование в его более поздних (1922—30) исследованиях по основаниям математики.
Работы эти были созданы в ходе попыток преодоления острого кризиса, вызванного трудностями, обнаружившимися в теоретико-множественной «архитектурной программе для математики», и впоследствии были подытожены в классической двухтомной монографии Гильберта и его ближайшего сотрудника П. Бернайса «Основания математики» (1-й т. 1934, 2-й—1939). Как известно, Гильберт остро реагировал на противоречия, обнаруженные в канторовой теории множеств Б. Расселом и Э. Цермело, но он отвергал и альтернативную программу Д. Э. Я. Брауэра (см. Интуиционизм). В противовес реформаторской программе последнего Гильберт предложил свою, консервативную, программу, основанную на изложенном выше варианте аксиоматического метода и на идее трактовать «законность» любой математической теории как ее внутреннюю непротиворечивость.
Программа Гильберта, в главных чертах изложенная в докладе «О бесконечном», предусматривала, во-первых, аксиоматизацию всех без исключения математических теорий (в т. ч. и множеств теории); во-вторых, установление непротиворечивости всех полученных аксиоматик и, втретьих, дальнейшее развитие построенных теорий на чисто дедуктивной основе с использованием аристотелевской логики. При таком подходе и аксиомы, и утверждения конкретной теории описывались Гильбертом простыми .и наглядными средствами—конструктивными объектами, имеющими точную синтаксическую структуру. Формализация логики открывала возможность придать аналогичный прозрачный, чисто синтаксический характер и самому понятию математического доказательства, а непротиворечивость теории трактовалась как невозможность одновременного получения в ней доказательств двух таких утверждений, что одно из них является отрицанием другого. Новаторской чертой этой программы Гильберта была ее чистая синтаксичность и отсутствие в ней какой бы то ни было апелляции к такой привычной для любого ученого, тем более для математика или философа, категории, как категория смысла.
Для осуществления второго пункта своего плана Гильберт набросал эскиз т. н. «финитной установки» (см. Финитизм) — перечня средств (он называл их финитными), представлявшихся ему особо надежными и относительно которых он полагал, возможно не вполне правомерно, что они создают предпосылки для достижения «консенсуса» с интуиционистами. К сожалению, в достаточно подробном виде эта установка никогда Гильбертом изложена не была. Есть все основания полагать, что для ее «доработки» ему недоставало точного понятия алгоритма, которое в окончательном виде было выработано в математике лишь к 1936.
При всей на первый взгляд перспективности программы Гильберта ее реализация уже с первых шагов столкнулась с непредвиденными трудностями. Первый серьезный урон был нанесен ей открытием К. Геделя, показавшего (1931), что неполна (и даже принципиально непополнима!) любая непротиворечивая аксиоматизация уже элементарной арифметики натуральных чисел. Между тем, по замыслу Гильберта, именно она, «это чистейшее,—по его выражению,—и наивнейшее дитя человеческого духа», должна была первой пройти «проверку на непротиворечивость». Впервые решение этой задачи было опубликовано (1936) Г. Генценом, которому уже здесь пришлось вполне от четливым образом выйти за рамки финитной установки. Это был второй удар, нанесенный теории доказательств. И хотя главные надежды этой теории возлагались на доказательство непротиворечивости математического анализа (по мнению ближайшего сотрудника Бернайса, именно ее решение должно было вынести «окончательный приговор судьбе теории доказательств»), эта задача и особенно важная задача установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств до сих пор остаются нерешенными.
Т. о., на своем «главном направлении» гильбертовская теория доказательств потерпела поражение (возможно, впрочем, ее постигла общая судьба всех слишком общих программ), но зато она принесла обильные плоды на ее «периферии», составившие целую эпоху в области оснований математики. В первую очередь, это работы (Геделя и др.) по неполноте аксиоматик (арифметики и теории множеств), работы, приведшие к возникновению математически точного понятия алгоритма, исследования А. А. Маркова по конструктивной математике (см. Конструктивные направления), сделавшие впоследствии эпоху в развитии логики работы Брауэра и его школы, проходившие в очной и заочной полемике, тоже принесли свои плоды уже хотя бы потому, что полемика с таким оппонентом, как Гильберт, сама по себе не могла оказаться непродуктивной для ее участников.
Соч.: Избр. труды (т, I, II). М., 1998; Гильберт Д.. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М„ 1979 (2-е изд. 1982); Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982; Основания геометрии. М.-Л., 1948.
Лит.: Рид К. Гильберт. М., 1977.
Н. М. Нагорный
Источник: Новая философская энциклопедия
ГИЛЬБЕРТ Давид (1862 - 1943)
германский математик, логик, философ, руководитель одного из основных центров мировой математической науки первой трети 20 в. - Геттингенской математической школы, исследования которого оказали определяющее влияние на развитие математических наук. Международная премия имени Лобачевского (1904), иностранный почетный член АН СССР (1934, иностранный член-корр. АН СССР с 1922). Основные работы Г.: "Основания геометрии" (1899), "Математические проблемы" (1900), "Аксиоматическое мышление" (1918), "Методы математической физики" (1920, в соавт. с Р.Курантом), "О бесконечности" (1925), "Обоснования математики" (1930), "Наглядная геометрия" (1932, в соавт. с С.Кон-Фоссеном), "Основы теоретической логики" (1934, в соавт. с В.Аккерманом), "Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики" (1934, в соавт. с П.Бернайсом), "Основания математики. Теория доказательств" (1939, в соавт. с П.Бернайсом). Окончил Университет Кенигсберга. Профессор Университета Кенигсберга (1893-1895). Профессор математического факультета Геттингенского университета (1895-1930, последняя лекция в 1933, позднее был вынужден отойти от дел университета и занятий математикой в связи с преследованиями со стороны идеологов национал-социализма). Г. проводил фундаментальные исследования в направлениях теории инвариантов, дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и теории чисел. В исследованиях Г. по теории интегральных уравнений с симметричным ядром (составляющих основу современного функционального анализа) было получено обобщение понятия векторного евклидова пространства для случая бесконечного числа измерений - гильбертова пространства, принадлежащего к числу базисных категорий современной математики, широко применимого в исследованиях по теоретической и математической физике (где Г. интересовали проблемы теории излучения). Труд Г. "Основания геометрии" (1899) стал основополагающим для исследований в направлении аксиоматического построения различных геометрий. Г. предложил систему аксиом геометрии Евклида, из книги "Начала" которого был уточнен основной набор понятий ("точка", "прямая", "плоскость") и отношений между ними ("принадлежит", "конгруэнтен", "между"). Система аксиом Г., необходимая и достаточная для построения всей геометрии Евклида, стала ее первым строгим основанием (она содержит 20 аксиом принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности, параллельности). Тогда же Г. провел логическую обработку всей системы этих аксиом и доказал ее непротиворечивость и полноту (при помощи числовых моделей), а также независимость групп аксиом. Фактически геометрия в данном случае явилась одним из направлений, на примере которого было дано, как писал А.Н.Колмогоров, "последовательное изложение теоретико-множественного подхода к аксиоматике, в силу которого система аксиом математической дисциплины характеризует изучаемую этой дисциплиной область объектов с точностью до изоморфизма". В своем докладе "Математические проблемы" на втором Международном конгрессе математиков (1900, Париж) Г. сформулировал 23 главные проблемы математики того времени (получившие название "проблем Г."), решение которых, по мнению Г., 19 в. завещал 20 в. Во введении к докладу говорилось о целостном характере математики как основе всего точного естественнонаучного познания, о математической строгости, о значении для математики "хорошо поставленной" специальной проблемы. Там же был выдвинут и основной тезис Г. - о разрешимости в широком смысле любой задачи математики (для Г. вообще была характерна убежденность в неограниченной силе разума человечества: например, в статье "Познание природы и логика" Г. писал: "Мы должны знать - мы будем знать"). В своем докладе Г. говорил: "Вот проблема, или решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus! ("мы не будем знать")". Проблемы Г. разделяются на несколько групп: теория множеств ("1. Проблема Кантора о мощности континуума"); обоснование математики ("2. Непротиворечивость арифметических аксиом"); основания геометрии; теория непрерывных групп; аксиоматика теории вероятностей и механики; теория чисел; алгебра; алгебраическая геометрия; геометрия; анализ. Проблемы Г. были поставлены
очень корректно, а развитие идей, связанных с их содержанием, составило основу направлений математических наук 20 в. В первые годы 20 в. в философии математики возникли четыре придерживающихся различных взглядов на основания математики направления: интуиционизм (Л.Брауэр, Вейль), логицизм (Уайтхед, Рассел), теоретико-множественное направление Э.Цермело; лидером формализма стал Г. Главным возражением Г. против концепций логицизма было то, что в ходе развития логики целые числа были неявно вовлечены в ее систему понятий. Поэтому при построении понятия "число" логика оказывается в замкнутом круге. Согласно Г., при определении множества по его свойствам возникает необходимость различения пропозиционалей и высказываний по типам, а теория типов требует принятия аксиомы сводимости. Г. (как и логицисты) считал необходимым включение бесконечных множеств в математику, что потребовало бы введение аксиомы бесконечности, которую они все, однако, не считали аксиомой логики. Главным возражением Г. против концепций интуиционизма было то, что там отвергались разделы анализа, опирающиеся на теоремы существования и бесконечные множества. Г. писал, что отнять "у математиков закон исключенного третьего - это то же самое, что забрать у астрономов телескоп". Г. считал, что интуиционизм и логицизм не смогли доказать непротиворечивость математики: "Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в Господе Боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ...ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и... вовсе не правдоподобными" ("Основания геометрии"). Г. считал, что так как логика в своем развитии обязательно включает в себя идеи математики и для сохранения математики необходимо привлекать "внелогические аксиомы типа аксиомы бесконечности", то рациональный подход к математике должен "включать в себя понятия и аксиомы не только логики, но и математики", а логике необходимо оперировать чем-то, что состояло бы из конкретных внелогических понятий (типа понятия "число"), интуитивно воспринимаемых нами еще до логических рассуждений. Согласно Г., математика является автономной наукой и невыводима из логики, поэтому в аксиоматические системы и логики, и математики необходимо вводить и логические, и математические аксиомы. При этом математику следует рассматривать как некую абстрактную формальную дисциплину преобразования символов безотносительно к их значению (доказательства теорем, по Г., сводятся к символическим преобразованиям по строго фиксированной системе правил логического вывода). Г. записывал все утверждения логики и математики в форме символов ("идеальных элементов"), которые могли даже означать и бесконечные множества. Такие "идеальные элементы" Г. считал необходимыми для построения всей математики: по его мнению, в материальном мире существует конечное число объектов-элементов. В первой четверти 20 в. аксиоматический метод в математических науках считался одним из наиболее действенных, идеалом строгости математики. Г, глубоко убежденный в его всеобщей применимости, в работе "Аксиоматическое мышление" утверждал: все, что может быть "предметом математического мышления, коль скоро назрела необходимость в создании теории, оказывается в сфере действия аксиоматического метода и тем самым математики. Проникая во все более глубокие слои аксиом... мы получаем возможность все дальше заглянуть в сокровенные тайны научного мышления и постичь единство нашего знания. Именно благодаря аксиоматическому методу математика... призвана сыграть ведущую роль в нашем знании". И позднее, в 1922, он также утверждал, что аксиоматический метод является самым "подходящим и неоценимым инструментом, в наибольшей степени отвечающим духу каждого точного исследования, в какой бы области оно ни проводилось. Аксиоматический метод логически безупречен и в то же время плодотворен, тем самым он гарантирует полную свободу исследования". К 1922-1939 относятся исследования Г. фундаментальных проблем логических оснований математики. К этому времени он выдвинул программу обоснования всей математики методом ее полной формализации с последующим метаматематическим доказательством непротиворечивости формализованной математики (эту программу Г. и П.Бернайс опубликовали в книгах "Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики" и "Основания математики. Теория доказательств"). Однако первоначальные предположения Г. в этом направлении не оправдались вследствие доказательства Геделем теорем о неполноте. Для преодоления сложностей, возникших в то время в понимании природы математического бесконечного, в рамках математической логики Г. была создана теория доказательств. При этом, по мнению Г., бесконечное могло входить в математическую теорию только как символ, а единственным критерием "законности употребления в математике такого рода символа является возможность доказать непротиворечивость пользующегося им символического исчисления" ("О бесконечности"). Г. оказал исключительное влияние на все развитие почти всех направлений современной математической мысли. С.С.Демидов объясняет это тем, что Г. был математиком, "в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Г. постоянно делает упор на то, что математика едина, что различные ее части находятся во взаимодействии между собой и науками о природе... в этом взаимодействии не только ключ к пониманию самой сущности математики, но и лучшее средство против расщепления математики на отдельные, не связанные друг с другом части, - опасности, которая в наше время... специализации математических исследований постоянно заставляет о себе думать".
очень корректно, а развитие идей, связанных с их содержанием, составило основу направлений математических наук 20 в. В первые годы 20 в. в философии математики возникли четыре придерживающихся различных взглядов на основания математики направления: интуиционизм (Л.Брауэр, Вейль), логицизм (Уайтхед, Рассел), теоретико-множественное направление Э.Цермело; лидером формализма стал Г. Главным возражением Г. против концепций логицизма было то, что в ходе развития логики целые числа были неявно вовлечены в ее систему понятий. Поэтому при построении понятия "число" логика оказывается в замкнутом круге. Согласно Г., при определении множества по его свойствам возникает необходимость различения пропозиционалей и высказываний по типам, а теория типов требует принятия аксиомы сводимости. Г. (как и логицисты) считал необходимым включение бесконечных множеств в математику, что потребовало бы введение аксиомы бесконечности, которую они все, однако, не считали аксиомой логики. Главным возражением Г. против концепций интуиционизма было то, что там отвергались разделы анализа, опирающиеся на теоремы существования и бесконечные множества. Г. писал, что отнять "у математиков закон исключенного третьего - это то же самое, что забрать у астрономов телескоп". Г. считал, что интуиционизм и логицизм не смогли доказать непротиворечивость математики: "Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в Господе Боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ...ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и... вовсе не правдоподобными" ("Основания геометрии"). Г. считал, что так как логика в своем развитии обязательно включает в себя идеи математики и для сохранения математики необходимо привлекать "внелогические аксиомы типа аксиомы бесконечности", то рациональный подход к математике должен "включать в себя понятия и аксиомы не только логики, но и математики", а логике необходимо оперировать чем-то, что состояло бы из конкретных внелогических понятий (типа понятия "число"), интуитивно воспринимаемых нами еще до логических рассуждений. Согласно Г., математика является автономной наукой и невыводима из логики, поэтому в аксиоматические системы и логики, и математики необходимо вводить и логические, и математические аксиомы. При этом математику следует рассматривать как некую абстрактную формальную дисциплину преобразования символов безотносительно к их значению (доказательства теорем, по Г., сводятся к символическим преобразованиям по строго фиксированной системе правил логического вывода). Г. записывал все утверждения логики и математики в форме символов ("идеальных элементов"), которые могли даже означать и бесконечные множества. Такие "идеальные элементы" Г. считал необходимыми для построения всей математики: по его мнению, в материальном мире существует конечное число объектов-элементов. В первой четверти 20 в. аксиоматический метод в математических науках считался одним из наиболее действенных, идеалом строгости математики. Г, глубоко убежденный в его всеобщей применимости, в работе "Аксиоматическое мышление" утверждал: все, что может быть "предметом математического мышления, коль скоро назрела необходимость в создании теории, оказывается в сфере действия аксиоматического метода и тем самым математики. Проникая во все более глубокие слои аксиом... мы получаем возможность все дальше заглянуть в сокровенные тайны научного мышления и постичь единство нашего знания. Именно благодаря аксиоматическому методу математика... призвана сыграть ведущую роль в нашем знании". И позднее, в 1922, он также утверждал, что аксиоматический метод является самым "подходящим и неоценимым инструментом, в наибольшей степени отвечающим духу каждого точного исследования, в какой бы области оно ни проводилось. Аксиоматический метод логически безупречен и в то же время плодотворен, тем самым он гарантирует полную свободу исследования". К 1922-1939 относятся исследования Г. фундаментальных проблем логических оснований математики. К этому времени он выдвинул программу обоснования всей математики методом ее полной формализации с последующим метаматематическим доказательством непротиворечивости формализованной математики (эту программу Г. и П.Бернайс опубликовали в книгах "Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики" и "Основания математики. Теория доказательств"). Однако первоначальные предположения Г. в этом направлении не оправдались вследствие доказательства Геделем теорем о неполноте. Для преодоления сложностей, возникших в то время в понимании природы математического бесконечного, в рамках математической логики Г. была создана теория доказательств. При этом, по мнению Г., бесконечное могло входить в математическую теорию только как символ, а единственным критерием "законности употребления в математике такого рода символа является возможность доказать непротиворечивость пользующегося им символического исчисления" ("О бесконечности"). Г. оказал исключительное влияние на все развитие почти всех направлений современной математической мысли. С.С.Демидов объясняет это тем, что Г. был математиком, "в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Г. постоянно делает упор на то, что математика едина, что различные ее части находятся во взаимодействии между собой и науками о природе... в этом взаимодействии не только ключ к пониманию самой сущности математики, но и лучшее средство против расщепления математики на отдельные, не связанные друг с другом части, - опасности, которая в наше время... специализации математических исследований постоянно заставляет о себе думать".
Источник: История Философии: Энциклопедия