ФОРМАЛИЗАЦИЯ
Формализация
метод изучения объектов путем отображения их содержания и структуры в знаковой форме, с помощью искусственного языка.
Источник: Философия логика и методология науки Толковый словарь понятий. 2010 г.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
это перевод получаемых знаний на язык знаков, математических формул, что позволяет превратить содержание построенной теории в систему материализованных символов, т.е. развернутую теорию свести в схеме, определенному порядку.
Источник: Философия науки и техники: словарь
Формализация
представление и изучение какой-либо содержательной области знания (научной теории, рассуждения, процедур, поиска и т. д.) в виде формальной системы, или исчисления; эта операция связана с усилением роли формальной логики и математических методов в научных исследованиях.
Формализация
придание содержанию знания строгих, точных, конструктивных форм. Предельным вариантом Ф. является математизация, т.е. выражение знания в виде математических формул, графиков, таблиц и моделей. Однако Ф. может осуществляться не только в математических, но и в качественных вариантах, например, классификациях, блок-схемах, качественных алгоритмах и т.п.
Источник: Философия: словарь основных понятий и тесты по курсу «Философия»
Формализация
подход в науке, который заключается в использовании специальной символики и знаковой системы, позволяющей отвлечься от изучения реальных объектов и оперировать вместо этого некоторым множеством символов или знаков. Она создается для точного выражения мыслей с целью исключения неоднозначности понимания. На основе формализации создаются искусственные языки, используя которые, можно проводить исследования чисто формальным путем, оперируя только символами, без непосредственного обращения к объекту.
Источник: Глоссарий философских терминов ИФ им. Киренского РАН
Формализация
построение знаний в виде системы, где значение элементов определяется только и только их местом в структуре. Все остальные значения, которые имеют или могут приобретать эти элементы в других коррелятах (соотношениях), в рамках данной формализованной системы не существуют. Сверхзадача работы над категориями в дальнейшем развитии коррелятивной онтологии видится в Ф. их системы, что могло бы стать основой единого языка науки. Разумеется, о полной Ф. философии как гуманитарной науки и, тем более, в её вненаучном аспекте не может быть и речи.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
совокупность познавательных операций, обеспечивающих отвлечение от значения понятий теории с целью исследования ее логического строения или для эффективного получения логически выводимых результатов. Формализация позволяет превратить содержательно построенную теорию (например, раздел механики) в систему материализованных объектов определенного рода (символов), а развертывание теории — свести к манипулированию этими объектами в соответствии с некоторой совокупностью правил, принимающих во внимание только и исключительно вид и порядок символов, и тем самым абстрагироваться оттого познавательного содержания, которое выражается научной теорией, подвергшейся формализации. (См. форма, синтаксис, логика). Ф.В. Лазарев
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. В этом смысле Ф. противопоставляется содержательному или интуитивному мышлению. В математике или формальной логике, где Ф. наиболее развита, под Ф. обычно понимают отображение содержательного знания в знаковом формализме, или формализованном языке. Обязательным условием построения такого языка явл. использование аксиоматического метода, благодаря к-рому удается получить все утверждения теории из небольшого числа принимаемых без доказательства утверждений, или аксиом. Поиск аксиом, из к-рых можно чисто логич. путем вывести следствия, или теоремы, составляет одну из важнейших задач Ф., играющей существенную роль в анализе, уточнении и экспликации науч. понятий. Полученные с помощью методов Ф. результаты имеют важное филос. значение, прежде всего для решения проблемы соотношения формальных и содержательных компонентов в науч. познании. Лит.: Кураев В.И. Диалектика содержательного и формального в научном познании. М., 1977; Манин Ю.В. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979. В.И.Полищук
Источник: История и философия науки. Энциклопедический словарь
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
способ выражения содержания совокупности знаний через опреленную форму - знаки искусственного языка. Наиболее значимой разновидностью Ф. является логическая Ф., которая означает выражение мысленного содержания посредством логических форм. Это способствует процессу приведения наук в строгую систему; однако всеобъемлющая Ф. невозможна даже в области математики (теорема Геделя). Логическая Ф. часто служит в целях составления программ для ЭВМ и попыток моделирования мышления. В этом случае используются особые алгоритмические языки. Поскольку логическая Ф. производится на основе формальной логики, постольку исчисление высказываний (и предикатов) всегда предполагает лишь имитацию движения понятий в ходе мышления у человека: часть социальной информации теряется вследствие того, что происходит оперирование "застывшими" понятиями, в которых неизбежно отражается дискретность процесса мышления. Это не означает, что при логической Ф. не может быть получено новое знание, так как и формальная логика может служить методом получения нового знания в рамках рассудочной деятельности.
А.А. Грицанов, Ю.В. Баранчик
А.А. Грицанов, Ю.В. Баранчик
Источник: Новейший философский словарь
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. Является как бы мыслительной операцией «второго порядка». Формализация противопоставляется интуитивному мышлению. В математике и формальной логике под формализацией понимают отображение содержательного знания в знаковой форме или в формализованном языке. Формализация, то есть отвлечение понятий от их содержания, обеспечивает систематизацию знания, при которой отдельные элементы его координируют друг с другом. Формализация играет существенную роль в развитии научного знания, поскольку интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с точки зрения обыденного сознания, мало пригодны для науки. В научном познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будет уточнена структура относящихся к ним понятий. Истинная наука возможна лишь на основе абстрактного мышления, последовательных рассуждений исследователя, протекающих в логической языковой форме посредством понятий, суждений и выводов.
В научных суждениях устанавливаются связи между объектами, явлениями или между их определенными признаками. В научных выводах одно суждение исходит от другого, на основе уже существующих выводов делается новый. Существуют два основных вида выводов: индуктивные (индукция) и дедуктивные (дедукция).
Литература: [65, 127].
В научных суждениях устанавливаются связи между объектами, явлениями или между их определенными признаками. В научных выводах одно суждение исходит от другого, на основе уже существующих выводов делается новый. Существуют два основных вида выводов: индуктивные (индукция) и дедуктивные (дедукция).
Литература: [65, 127].
Источник: Методология: словарь системы основных понятий. 2013
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
1) представление и изучение какой-л. содержательной области знания (научные теории, рассуждения, процедура поиска и т.п.) в виде формальной системы или исчисления; связана с усилением роли формальной логики и математических методов в научных исследованиях. Отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. Противопоставляется содержательному, или интуитивному мышлению. Формализация теснейшим образом связана с процессом абстракции. Как и всякая абстракция, формализация является необходимым моментом процесса познания. В математике и формальной логике, где формализация наиболее развита, под формализацией обычно понимают отображение содержательного знания в знаковом формализме или формализованном языке; 2) отображение явления или предмета в знаковой форме какого-л. искусственного языка (напр., логики, математики, химии) и изучение этого явления или предмета путем операций с соответствующими знаками. Использование искусственного формализованного языка в научном исследовании позволяет устранить такие недостатки естественного языка, как многозначность, неточность, неопределенность.
При формализации вместо рассуждений об объектах исследования оперируют со знаками (формулами). Путем операций с формулами искусственных языков можно получать новые формулы, доказывать истинность какого-л. положения.
Формализация является основой для алгоритмизации и программирования, без которых не может обойтись компьютеризация знания и процесса исследования. Этот метод используется, напр., для создания компьютерных программ квалификации преступлений в юриспруденции.
При формализации вместо рассуждений об объектах исследования оперируют со знаками (формулами). Путем операций с формулами искусственных языков можно получать новые формулы, доказывать истинность какого-л. положения.
Формализация является основой для алгоритмизации и программирования, без которых не может обойтись компьютеризация знания и процесса исследования. Этот метод используется, напр., для создания компьютерных программ квалификации преступлений в юриспруденции.
Источник: Словарь науки. Общенаучные термины и определения. 2008 г.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
способ фиксации (уточнения) содержания знания (научной теории, ее отдельных компонентов и т. д.) путем выделения его формы, выражения ее в особом языке и создания правил оперирования таким языком. Под Ф. в широком смысле понимается всякое использование языка, в частности письменности и т. д. Такая Ф. теснейшим образом связана с процессом абстракции. Как и всякая абстракция, она является необходимым моментом процесса познания. Специфический смысл Ф. связан с развитием математики и логики, особенно математической логики (логическая и математическая Ф.). В этом случае для более точной фиксации содержания вырабатывается особый искусственный язык, символы и выражения к-рого обозначают определенные стороны изучаемых областей действительности, а взаимоотношения между ними фиксируются в соответствующих разделах математической логики. Современные формализованные языки позволяют манипулировать большими разделами знания чисто формально (лишь в знаковой плоскости). Метод Ф., и особенно логическая Ф., широко используются в современной науке (в математике, естествознании). Ф. необходима при исследовании процессов управления (Кибернетика). Только благодаря Ф. мыслительного процесса, напр. процесса вычисления, возможна его автоматизация (использование электронных вычислительных машин и т. д.). Любая формализованная теория беднее соответствующей ей содержательной теории: выигрывая в точности, она достигает этого за счет сознательного абстрагирования (отвлечения) от многих сторон рассматриваемого содержания. Несоответствие между Ф. и содержательным знанием является важным источником развития науки, ведет к последовательной смене одних формализованных теорий другими, более точно отражающими изучаемые объекты.
Источник: Краткий словарь по философии. 1970
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
метод семиотического анализа объектов любой природы, направленный на выявление формы.
Дескриптивная Ф. (прямое описание, обозначение, именование) объектов с помощью терминов является простейшим видом Ф., вариантом которой в естественных языках служат отдельные слова и выражения, а, например, в математике - цифры и знаки различных математических операций. Цель дескриптивной Ф. - компактность обозначения, большая точность и однозначность (отсутствие омонимии).
Несмотря на простоту, дескриптивная Ф. является необходимым структурным компонентом научной Ф. Последняя характеризуется использованием формального языка, т. е. специальных символических средств (переменных, формул, правил преобразования и т. д.), позволяющих анализировать исследуемую предметную область в чисто синтаксических рамках, что обеспечивает более точное теоретическое выражение конкретных свойств и отношений. Особый интерес представляет такой вид научной Ф., как логическая Ф., обеспечивающая выражение общих взаимосвязей между понятиями, суждениями и умозаключениями. Любое знание - обыденное или научное - может оказаться объектом логической Ф., которая осуществит уточнение и систематизацию содержательных представлений, поможет сформулировать новые проблемы и найти возможные пути их решения. Однако адекватная логическая Ф. достаточно сложных теорий (например, арифметики) имеет нетривиальный характер и в целом ряде случаев затруднена различного рода антиномиями и парадоксами. В связи с этим возникают принципиальные ограничения для такой Ф. (например, теоремы Геделя, Тарского и др.). Однако трудности логической Ф. не умаляют ее значения и не являются причиной отказа от широкого практического применения этого метода в различных областях знания.
А. Г. Кислое
Дескриптивная Ф. (прямое описание, обозначение, именование) объектов с помощью терминов является простейшим видом Ф., вариантом которой в естественных языках служат отдельные слова и выражения, а, например, в математике - цифры и знаки различных математических операций. Цель дескриптивной Ф. - компактность обозначения, большая точность и однозначность (отсутствие омонимии).
Несмотря на простоту, дескриптивная Ф. является необходимым структурным компонентом научной Ф. Последняя характеризуется использованием формального языка, т. е. специальных символических средств (переменных, формул, правил преобразования и т. д.), позволяющих анализировать исследуемую предметную область в чисто синтаксических рамках, что обеспечивает более точное теоретическое выражение конкретных свойств и отношений. Особый интерес представляет такой вид научной Ф., как логическая Ф., обеспечивающая выражение общих взаимосвязей между понятиями, суждениями и умозаключениями. Любое знание - обыденное или научное - может оказаться объектом логической Ф., которая осуществит уточнение и систематизацию содержательных представлений, поможет сформулировать новые проблемы и найти возможные пути их решения. Однако адекватная логическая Ф. достаточно сложных теорий (например, арифметики) имеет нетривиальный характер и в целом ряде случаев затруднена различного рода антиномиями и парадоксами. В связи с этим возникают принципиальные ограничения для такой Ф. (например, теоремы Геделя, Тарского и др.). Однако трудности логической Ф. не умаляют ее значения и не являются причиной отказа от широкого практического применения этого метода в различных областях знания.
А. Г. Кислое
Источник: Современный философский словарь
Формализация
отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. Она является как бы мыслительной операцией «второго порядка». Это метод изучения самых разнообразных объектов путём отображения их содержания и структуры в знаковой форме, с помощью самых разнообразных «искусственных языков» (математического языка, математической логики, химии, радиотехники и т. п.). Метод формализации базируется на использовании специальной символики, введение которой обеспечивает сжатую и чёткую фиксацию знаний. Данный метод приписывает отдельным символам или их системам определённые значения, что позволяет избежать многозначности терминов (полисемии), которая свойственна обычным языкам. Поэтому оперирование формализованными системами характеризуется чёткостью и строгостью, а выводы – доказательностью. Метод формализации тесно связан со многими другими методами – моделированием, абстрагированием, идеализацией и т. п. Формализация противопоставляется интуитивному мышлению. Формализация играет существенную роль в развитии научного знания, поскольку интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с точки зрения обыденного сознания, мало пригодны для науки. В научном познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будет уточнена структура относящихся к ним понятий. Истинная наука возможна лишь на основе абстрактного мышления, последовательных рассуждений исследователя, протекающих в логической языковой форме посредством понятий, суждений и выводов. В научных суждениях устанавливаются связи между объектами, явлениями или между их определёнными признаками. В научных выводах одно суждение исходит из другого, на основе уже существующих выводов делается новый. Существуют два основных вида выводов: индуктивные (индукция) и дедуктивные (дедукция).
Источник: Методология научных исследований. Терминологический словарь. Харьков. Изд-во НУА 2016
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
от лат. forma - вид, образ)
- отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях. При Ф. изучаемым объектам, их свойствам и отношениям ставятся в соответствие некоторые устойчивые, хорошо обозримые и отождествимые материальные конструкции, дающие возможность выявить и зафиксировать существенные стороны объектов. Ф. уточняет содержание путем выявления его формы и может осуществляться с разной степенью полноты.
Выражение мышления в естественном языке можно считать первым шагом Ф. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием частично искусственных и искусственных языков.
Логическая Ф. направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств. Полная Ф. теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла ее исходных понятий и положений и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая Ф. включает в себя три момента: 1) обозначение всех исходных, неопределяемых терминов; 2) перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); 3) введение правил преобразования данных формул для получения из них новых формул (теорем).
В формализованной теории доказательство не требует обращения к содержанию используемых понятий, их смыслу. Доказательство является здесь последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства (но не его отыскание) превращается в чисто механическую процедуру, которая может быть передана вычислительной машине.
Ф. играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы.
Только с Ф. арифметики появилась возможность поставить вопрос, охватывает ли формализованная арифметика всю содержательную арифметику. Как показал К. Гедель, достаточно богатая содержанием теория (охватывающая арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии; как бы ни пополнялась дополнительными утверждениями последняя, в теории всегда останется невыявленный, неформализованный остаток (см.: Геделя теорема).
- отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях. При Ф. изучаемым объектам, их свойствам и отношениям ставятся в соответствие некоторые устойчивые, хорошо обозримые и отождествимые материальные конструкции, дающие возможность выявить и зафиксировать существенные стороны объектов. Ф. уточняет содержание путем выявления его формы и может осуществляться с разной степенью полноты.
Выражение мышления в естественном языке можно считать первым шагом Ф. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием частично искусственных и искусственных языков.
Логическая Ф. направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств. Полная Ф. теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла ее исходных понятий и положений и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая Ф. включает в себя три момента: 1) обозначение всех исходных, неопределяемых терминов; 2) перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); 3) введение правил преобразования данных формул для получения из них новых формул (теорем).
В формализованной теории доказательство не требует обращения к содержанию используемых понятий, их смыслу. Доказательство является здесь последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства (но не его отыскание) превращается в чисто механическую процедуру, которая может быть передана вычислительной машине.
Ф. играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы.
Только с Ф. арифметики появилась возможность поставить вопрос, охватывает ли формализованная арифметика всю содержательную арифметику. Как показал К. Гедель, достаточно богатая содержанием теория (охватывающая арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии; как бы ни пополнялась дополнительными утверждениями последняя, в теории всегда останется невыявленный, неформализованный остаток (см.: Геделя теорема).
Источник: Словарь по логике
Формализация
уточнение содержания познания, осуществляемое посредством того, что изучаемым объектам, явлениям, процессам данной области действительности определенным образом сопоставляются некоторые материальные конструкции, обладающие относительно устойчивым характером и позволяющие в силу этого выявлять и фиксировать существенные и зако-. номерные стороны рассматриваемых объектов. Особенность Ф. как гносеологического приема состоит в том, что совершающееся с ее помощью выявление и уточнение содержания происходит через выявление и фиксацию его формы. Поэтому во всякой Ф. всегда присутствует момент огрубления живой, развивающейся действительности. Однако это «огрубление» является необходимой стороной процесса познания. Исторически Ф. возникла вместе с возникновением мышления и языка. Важный шаг в развитии Ф. был связан с развитием письменности.
В дальнейшем, по мере развития науки, особенно математики, к естественным языкам стали добавляться знаки специального характера. Вместе с возникновением формальной логики возник прием логической Ф., состоящий в выявлении логической формы выводов и доказательств. Крупным этапом в развитии способов Ф. было создание в математике нового времени буквенных исчислений и возникновение идеи логического исчисления (Лейбниц). Построение логических исчислений, происходившее в математической логике с середины 19 в., позволило применить ее средства к Ф. целых областей науки. Области знания, формализованные средствами математической логики, приобретают вид формальных систем. Ф. знания не снимает диалектически-противоречивого отношения между содержанием и формой, характерного для всего познания в целом. Результаты совр. логики свидетельствуют о том, что если формализуется достаточно богатая содержанием теория, то она не может быть полностью отображена в этой формальной системе: в теории всегда остается невыявленный, неформализованный остаток. Это несоответствие между Ф. и формализуемым содержанием выступает в качестве внутреннего источника развития формально-логических средств науки и выражается обычно в обнаружении неразрешимых (в данной формальной системе) предложений (Разрешимости проблема). (Др. формой проявлений этого противоречия является появление антиномий.) Преодоление такого положения вещей происходит путем построения новых формальных систем, в к-рых формализуется часть того, что не было учтено при предшествующих Ф. Т. обр. осуществляется все более и более глубокая Ф. содержания, никогда, однако, не достигающая абсолютной полноты.
В дальнейшем, по мере развития науки, особенно математики, к естественным языкам стали добавляться знаки специального характера. Вместе с возникновением формальной логики возник прием логической Ф., состоящий в выявлении логической формы выводов и доказательств. Крупным этапом в развитии способов Ф. было создание в математике нового времени буквенных исчислений и возникновение идеи логического исчисления (Лейбниц). Построение логических исчислений, происходившее в математической логике с середины 19 в., позволило применить ее средства к Ф. целых областей науки. Области знания, формализованные средствами математической логики, приобретают вид формальных систем. Ф. знания не снимает диалектически-противоречивого отношения между содержанием и формой, характерного для всего познания в целом. Результаты совр. логики свидетельствуют о том, что если формализуется достаточно богатая содержанием теория, то она не может быть полностью отображена в этой формальной системе: в теории всегда остается невыявленный, неформализованный остаток. Это несоответствие между Ф. и формализуемым содержанием выступает в качестве внутреннего источника развития формально-логических средств науки и выражается обычно в обнаружении неразрешимых (в данной формальной системе) предложений (Разрешимости проблема). (Др. формой проявлений этого противоречия является появление антиномий.) Преодоление такого положения вещей происходит путем построения новых формальных систем, в к-рых формализуется часть того, что не было учтено при предшествующих Ф. Т. обр. осуществляется все более и более глубокая Ф. содержания, никогда, однако, не достигающая абсолютной полноты.
Источник: Философский словарь. 1963
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. В этом смысле Ф. противопоставляется содержательному или интуитивному мышлению. В математике и формальной логике, где Ф. наиболее развита, под Ф. обычно понимают отображение содержат. знания в знаковом формализме, или формализованном языке. Непременным условием для построения такого языка является использование аксиоматич. метода, благодаря к-рому удается получить все утверждения теории из небольшого числа принимаемых без доказательства утверждений, или аксиом. Полная Ф. теории достигается лишь тогда, когда отвлекаются от содержат. смысла самих исходных понятий и аксиом теории и полностью перечисляют правила логич. вывода теорем из аксиом. Использование аксиоматич. метода в процессе Ф. обеспечивает такую систематизацию знания, при к-рой его отд. элементы не просто координируют друг с другом, а находятся в отношении субординации (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 538). Поиски аксиом, из к-рых можно чисто логич. путем вывести следствия, или теоремы, составляют одну из важнейших задач Ф.
Ф. доказательства дает возможность освободиться от обращения к интуитивным представлениям, что имеет решающее значение для строгости вывода. Представление доказательства в виде последовательности формул, каждая из к-рых является либо аксиомой, либо получается из аксиом по правилам вывода, превращает сам процесс проверки доказательства в чисто механич. процедуру и может быть передан вычислит. машине. Доказательство глубоко связано с вычислением, вместе с к-рым его можно представить как непосредственное (хотя и абстрактное) материальное созерцание (см. там же, с. 631).
Ф. играет существ. роль в анализе, уточнении и экспликации науч. понятий. Интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с т. зр. обыденного сознания, однако в силу их неопределенности и неоднозначности они мало пригодны для науки. В науч. познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будут разъяснены и уточнены относящиеся к ним понятия. Так, понятие алгоритма издавна применялось в математике, но только после того, как оно получило точное и строгое определение в 1930-х гг., стало возможным доказательство существования алгоритмически неразрешимых проблем.
Ф. неразрывно связана с построением искусственных, или формализованных, науч. языков. Такие языки создаются для точного выражения мыслей с целью исключить возможность неоднозначного понимания. Ф. дает возможность строить науч. языки с точно установленной структурой и заданными правилами преобразования одних выражений в другие.
Полученные с помощью методов Ф. результаты имеют важное филос. значение прежде всего для решения проблемы соотношения формальных и содержат. компонентов в науч. познании. Исследования по разрешимости формализованных математич. теорий, начало к-рым положил Черч доказательством отсутствия разрешающей процедуры для узкого исчисления предикатов, подорвали веру в принципы чисто формального обоснования математики, выдвинутые Гильбертом. Еще более существ. значение имели результаты Геделя о неполноте формализованной арифметики, теоремы Тарского о неформализуемости понятия истины в рамках формализмов и др. Эти исследования показали ограниченность неопозитивистской программы анализа науки, исходящей из примата формы над содержанием и сводящей все проблемы философии науки к анализу структуры науч. языка.
Диалектич. материализм рассматривает Ф. как средство выявления и уточнения содержания науч. знания. Подчеркивая обусловленность методов Ф. содержанием науч. знания, диалектико-материалистич. концепция признает значит. роль формы и формальных компонентов в раскрытии этого содержания. Вместе с тем никакая Ф. не может исчерпать всего богатства содержания, она способна лишь приближаться к этому пределу в бесконечном процессе науч. познания.
Ф. доказательства дает возможность освободиться от обращения к интуитивным представлениям, что имеет решающее значение для строгости вывода. Представление доказательства в виде последовательности формул, каждая из к-рых является либо аксиомой, либо получается из аксиом по правилам вывода, превращает сам процесс проверки доказательства в чисто механич. процедуру и может быть передан вычислит. машине. Доказательство глубоко связано с вычислением, вместе с к-рым его можно представить как непосредственное (хотя и абстрактное) материальное созерцание (см. там же, с. 631).
Ф. играет существ. роль в анализе, уточнении и экспликации науч. понятий. Интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с т. зр. обыденного сознания, однако в силу их неопределенности и неоднозначности они мало пригодны для науки. В науч. познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будут разъяснены и уточнены относящиеся к ним понятия. Так, понятие алгоритма издавна применялось в математике, но только после того, как оно получило точное и строгое определение в 1930-х гг., стало возможным доказательство существования алгоритмически неразрешимых проблем.
Ф. неразрывно связана с построением искусственных, или формализованных, науч. языков. Такие языки создаются для точного выражения мыслей с целью исключить возможность неоднозначного понимания. Ф. дает возможность строить науч. языки с точно установленной структурой и заданными правилами преобразования одних выражений в другие.
Полученные с помощью методов Ф. результаты имеют важное филос. значение прежде всего для решения проблемы соотношения формальных и содержат. компонентов в науч. познании. Исследования по разрешимости формализованных математич. теорий, начало к-рым положил Черч доказательством отсутствия разрешающей процедуры для узкого исчисления предикатов, подорвали веру в принципы чисто формального обоснования математики, выдвинутые Гильбертом. Еще более существ. значение имели результаты Геделя о неполноте формализованной арифметики, теоремы Тарского о неформализуемости понятия истины в рамках формализмов и др. Эти исследования показали ограниченность неопозитивистской программы анализа науки, исходящей из примата формы над содержанием и сводящей все проблемы философии науки к анализу структуры науч. языка.
Диалектич. материализм рассматривает Ф. как средство выявления и уточнения содержания науч. знания. Подчеркивая обусловленность методов Ф. содержанием науч. знания, диалектико-материалистич. концепция признает значит. роль формы и формальных компонентов в раскрытии этого содержания. Вместе с тем никакая Ф. не может исчерпать всего богатства содержания, она способна лишь приближаться к этому пределу в бесконечном процессе науч. познания.
Источник: Советский философский словарь
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
в широком смысле метод семиотического анализа объектов любой природы, направленный на выявление формы. Конкретнее под формализацией понимают фиксацию содержательного знания в знаковом формализме, напр., сведение содержательных мыслительных процессов к манипуляции символами. Саму символизацию, т. е. прямое обозначение объектов с помощью специальных символов, иногда рассматривают как простейший вид формализации, называя дескриптивной формализацией. Процедура символизации предполагает использование в качестве выразительного средства специального искусственного языка, вместо языка естественного. Правда, расхожий термин «символический язык» весьма условен и многозначен. Любой язык как семиотическая (знаковая) система есть символический – и естественный, и искусственный. Но именно последний для закрепления отличий привычно называют символическим языком. Он обладает рядом особенностей: точностью, т. е. устраняет многозначность (омонимию) естественного языка, вследствие чего исключает возможность неоднозначной интерпретации; - компактностью, т. е . выполняет задачу стенографии, делая запись обозримой для удобного манипулирования ею; структурностью, т. е. строится таким образом, чтобы интересующие исследователя взаимоотношения изучаемых объектов находили явное и строгое выражение в самой структуре используемого языка.
Подлинная формализация, в общем-то, не принципиально предполагает предварительную символизацию, но раскрывает все указанные преимущества последней. Можно сказать, что в формализации символизация находит свое завершение. Однако сама по себе символизация еще не приводит к формализации, более того, символизация без формализации весьма распространена: цифры и знаки различных математических операций, музыкальная нотация, система дорожных знаков, формульный язык химии и др. Для научной формализации необходимо нечто большее, а именно возможность посредством формального языка анализировать исследуемую предметную область в чисто синтаксических рамках, что обеспечивает точное теоретическое выражение конкретных свойств и отношений. В математике и логике, где формализация наиболее развита, современные разделы наук строятся именно как формализованные теории. Особый интерес представляет такой вид научной формализации, как логическая формализация. Мышление выражается посредством знаковых структур какого-либо языка – естественного или искусственного. Умозаключение – как переход от одних мыслей к другим – по своей форме выглядит как переход от одних последовательностей знаков к другим. Символизация устанавливает только взаимооднозначное соответствие между мыслями и последовательностями символов в искусственном языке. Формализация же идет далее и устанавливает такое соответствие между логическими операциями и манипуляциями символами. Таким образом, при формализации процесс мышления трансформируется в процесс исчисления. Исчислением является знаковая система, построенная следующим образом: 1) задан алфавит, т. е. множество элементарных знаков символического языка; 2) заданы правила образования правильно построенных выражений из элементов алфавита; 3) заданы правила преобразования («вывода») одних правильно построенных выражений в другие.
Любое знание может оказаться объектом логической формализации, которая уточнит и систематизирует содержательные представления, поможет сформулировать новые проблемы и обеспечит эффективный поиск их решений. Традиционно для построения формализованной теории используют аксиоматический метод (хотя имеются и иные способы), благодаря которому удается получать утверждения теории из небольшого числа постулатов. Здесь строгая формализация теории достигается лишь тогда, когда полностью отвлекаются от содержания (смысла) самих исходных понятий и аксиом. Великий математик Д. Гильберт однажды выразил основную идею формализации следующим образом: «Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, напр., словами стол, стул, пивная кружка». Использование аксиоматического метода в процессе формализации обеспечивает такую систематизацию знания, при которой его отдельные элементы не просто координируют друг с другом, а находятся в отношении субординации. Поиски аксиом, из которых можно чисто логическим путем вывести теоремы, составляют одну из важнейших творческих задач. Однако адекватная логическая формализация достаточно сложных теорий имеет нетривиальный характер и в целом ряде случаев затруднена различного рода антиномиями и парадоксами; возникают принципиальные ограничения для такой формализации, напр., теорема К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики, теорема А. Тарского о неформализуемости понятия истины посредством формализмов и др. Известна и критика ограничительных теорем. Трудности логической формализации не умаляют ее значения и не являются причиной отказа от широкого практического применения этого метода в различных областях знания. Методологическое значение формализации заключается в том, что она является средством анализа содержания научного знания и экспликации научных понятий. В этом смысле формализацию традиционно противопоставляют интуитивному мышлению, понятия которого имеют мнимую ясность и не предназначены для научной деятельности. Широко известно предупреждение о том, что нельзя допускать «превосходства формы над содержанием» и сводить решение всех проблем к анализу структуры формализованного языка. Роль формализации в раскрытии содержания признается исключительно при обусловленности ее последним. Построение формализованной теории, безусловно, рассматривается не как окончательный результат анализа соответствующей области знания, а как метод максимально ответственной и конструктивной критики оснований содержательной теории. А. Г. Кислов
Подлинная формализация, в общем-то, не принципиально предполагает предварительную символизацию, но раскрывает все указанные преимущества последней. Можно сказать, что в формализации символизация находит свое завершение. Однако сама по себе символизация еще не приводит к формализации, более того, символизация без формализации весьма распространена: цифры и знаки различных математических операций, музыкальная нотация, система дорожных знаков, формульный язык химии и др. Для научной формализации необходимо нечто большее, а именно возможность посредством формального языка анализировать исследуемую предметную область в чисто синтаксических рамках, что обеспечивает точное теоретическое выражение конкретных свойств и отношений. В математике и логике, где формализация наиболее развита, современные разделы наук строятся именно как формализованные теории. Особый интерес представляет такой вид научной формализации, как логическая формализация. Мышление выражается посредством знаковых структур какого-либо языка – естественного или искусственного. Умозаключение – как переход от одних мыслей к другим – по своей форме выглядит как переход от одних последовательностей знаков к другим. Символизация устанавливает только взаимооднозначное соответствие между мыслями и последовательностями символов в искусственном языке. Формализация же идет далее и устанавливает такое соответствие между логическими операциями и манипуляциями символами. Таким образом, при формализации процесс мышления трансформируется в процесс исчисления. Исчислением является знаковая система, построенная следующим образом: 1) задан алфавит, т. е. множество элементарных знаков символического языка; 2) заданы правила образования правильно построенных выражений из элементов алфавита; 3) заданы правила преобразования («вывода») одних правильно построенных выражений в другие.
Любое знание может оказаться объектом логической формализации, которая уточнит и систематизирует содержательные представления, поможет сформулировать новые проблемы и обеспечит эффективный поиск их решений. Традиционно для построения формализованной теории используют аксиоматический метод (хотя имеются и иные способы), благодаря которому удается получать утверждения теории из небольшого числа постулатов. Здесь строгая формализация теории достигается лишь тогда, когда полностью отвлекаются от содержания (смысла) самих исходных понятий и аксиом. Великий математик Д. Гильберт однажды выразил основную идею формализации следующим образом: «Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, напр., словами стол, стул, пивная кружка». Использование аксиоматического метода в процессе формализации обеспечивает такую систематизацию знания, при которой его отдельные элементы не просто координируют друг с другом, а находятся в отношении субординации. Поиски аксиом, из которых можно чисто логическим путем вывести теоремы, составляют одну из важнейших творческих задач. Однако адекватная логическая формализация достаточно сложных теорий имеет нетривиальный характер и в целом ряде случаев затруднена различного рода антиномиями и парадоксами; возникают принципиальные ограничения для такой формализации, напр., теорема К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики, теорема А. Тарского о неформализуемости понятия истины посредством формализмов и др. Известна и критика ограничительных теорем. Трудности логической формализации не умаляют ее значения и не являются причиной отказа от широкого практического применения этого метода в различных областях знания. Методологическое значение формализации заключается в том, что она является средством анализа содержания научного знания и экспликации научных понятий. В этом смысле формализацию традиционно противопоставляют интуитивному мышлению, понятия которого имеют мнимую ясность и не предназначены для научной деятельности. Широко известно предупреждение о том, что нельзя допускать «превосходства формы над содержанием» и сводить решение всех проблем к анализу структуры формализованного языка. Роль формализации в раскрытии содержания признается исключительно при обусловленности ее последним. Построение формализованной теории, безусловно, рассматривается не как окончательный результат анализа соответствующей области знания, а как метод максимально ответственной и конструктивной критики оснований содержательной теории. А. Г. Кислов
Источник: История философии науки и техники.
формализация
ФОРМАЛИЗАЦИЯ — совокупность познавательных операций, обеспечивающая отвлечение от значения понятий и смысла выражений научной теории с целью исследования ее логических особенностей, дедуктивных и выразительных возможностей. В математике и символической логике, где Ф. наиболее развита, под Ф. понимают реконструкцию содержательной научной теории в виде формализованного языка. Ф. исходит из того, что дано исчерпывающее описание дедуктивных взаимосвязей между положениями теории, осуществляемое чаще всего с помощью аксиоматического метода. Она предполагает, что выявлены и четко сформулированы все те логические средства, которые используются при выводе из исходных положений теории др. ее утверждений. Если же, наряду с аксиоматизацией и точным установлением логических средств, понятия и выражения научной теории заменяются некоторыми символическими обозначениями, она превращается в формальную систему. Такая теория может рассматриваться как система материальных объектов определенного рода (символов), с которыми можно обращаться, как с конкретными физическими объектами, а развертывание теории свести к манипулированию этими объектами в соответствии с некоторой совокупностью правил, принимающих во внимание только вид и порядок символов; и тем самым абстрагироваться от того познавательного содержания, которое выражается научной теорией, подвергшейся Ф. Различают два типа формализованных теорий: полностью формализованные, в полном объеме реализующие перечисленные требования, и частично формализованные, когда логические средства, используемые при развертывании данной теории, явным образом не фиксируются. Возможность Ф. отдельных отраслей научного знания подготовлена длительным историческим развитием; она стала реальной лишь после того, как аксиоматический метод и теория вывода получили необходимое развитие. Сама же потребность в Ф. возникает перед той или иной наукой на достаточно высоком уровне ее развития, когда задача логической систематизации и организации наличного знания приобретает первостепенное значение, а возможность реализации этой потребности предполагает огромную предварительную работу мышления, совершаемую на предшествующих Ф. этапах развития научной теории. Ф. — мощное средство выявления и уточнения содержания научной теории. Вся совокупность познавательных приемов и средств, лежащих в основе Ф., ориентирована на то, чтобы обеспечить необходимое соответствие между содержательной научной теорией, подвергаемой Ф., и формальной системой, возникающей в результате ее Ф.: класс выводимых в формализованной теории формул должен совпадать с классом содержательно-истинных положений подвергшейся Ф. теории (но обратное утверждение, как правило, неверно). В этом смысле можно утверждать, что содержательная научная теория служит своеобразным «эталоном», от степени соответствия которому зависят в значительной мере достоинства формализованной теории. Поскольку для построения формальной системы необходимо использовать (хотя и весьма в ограниченном объеме) естественный язык и в терминах этого языка проанализировать ее структуру, описать логические особенности формализма (непротиворечивость, разрешимость), то это означает, что Ф. предполагает содержательное мышление также и в качестве средства построения и исследования своих собственных дедуктивных и выразительных возможностей. Ф. играет важную роль в систематизации той суммы знаний, которая накоплена содержательной теорией, позволяет вычленить и уточнить логическую структуру теории, обеспечить стандартизацию используемого языка и понятийного аппарата, элиминировать несущественные ограничения в степени общности теории, сократить число положений теории, принимаемых за исходные. Вместе с тем Ф. не только дает точный язык, но и является ценным орудием мышления, позволяющим получить новые результаты. История математики, логики, лингвистики и ряда др. наук свидетельствует, что Ф. стимулирует движение познания к новым результатам, открывает возможность формулирования и постановки новых проблем, поиска их решения и т.д. Так, Ф. понятия «алгоритм» позволила доказать несуществование ряда алгоритмов, легла в основу теории автоматов, способствовала утверждению конструктивного направления в математике. Точно так же в ходе решения проблемы автоматического перевода возникла новая научная дисциплина — математическая лингвистика, был внесен важный вклад в совершенствование информационной службы и в развитие теории и методов программирования, что, в свою очередь, способствовало уточнению многих понятий классической лингвистики. Менее значимые результаты получены в ходе попыток Ф. отдельных фрагментов научных теорий в физике, биологии, геологии и др. науках естественнонаучного цикла. В расширении возможностей Ф. существенную роль играет бурный прогресс вычислительной техники. Полученные с помощью методов Ф. результаты имеют важное философское значение для понимания природы и познавательных возможностей точных методов исследования, диалектики формального и содержательного в научном познании. Общеметодологическое значение приобрели важнейшие из результатов, полученных в ходе исследований в области оснований математики и логики, осуществляющихся на основе методов Ф. — теорема Геделя о неполноте достаточно богатых формализованных теорий и теорема Тарского о неформализуемости понятия истины для таких теорий, — выявившие ограниченность дедуктивных и выразительных возможностей формализмов. Во всех тех случаях, когда мы имеем дело с достаточно развитыми научными теориями, процесс формализации не может быть завершен. Ф. не может исчерпать всего богатства содержания таких теорий. Развитие научного знания, в особенности на его наиболее высокотеоретизированных уровнях, осуществляется посредством взаимодействия содержательных и формальных методов исследования при определяющей роли первых. В.И. Кураге
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
представление к.-л. содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации науч. теорий) в виде формальной системы, или исчисления. Ф., осуществляемая на базе определенных абстракций, идеализации и искусств, символич. языков, используется прежде всего в математике, а также в тех науках, в к-рых применение математич. аппарата достигает достаточной для этой цели степени зрелости. Ф. предполагает усиление роли формальной логики как основания теоретич. наук, поскольку в случае формализованных теорий уже нельзя удовлетворяться интуитивным убеждением, что та или иная аргументация согласуется с логич. правилами, усвоенными благодаря так или иначе приобретенной способности к правильному мышлению. Вместе с тем Ф. связана с трудностями и ограничениями принципиального характера. Ф. осуществляется в определ. границах и на каждом ее этапе остается нек-рый неформализованный "остаток". Полностью могут быть формализованы лишь элементарные теории с простой логич. структурой и небольшим запасом понятий (напр., исчисление высказываний и узкое исчисление предикатов – в логике, элементарная геометрия – в математике). Если же теория сложна, она принципиально не может быть полностью формализована (см. подробно об этом в ст. Полнота, Метатеория). При этом, правда, не исключается возможность построения более широкого исчисления, формализующего часть того, что не было выявлено ранее. Но и в этом случае обнаруживается нек-рый новый неформализованный остаток – новые формально недоказуемые, но содержательно истинные высказывания. Как отмечала Яновская, в таком постоянно снимаемом и вместе с тем вновь возникающем несоответствии между Ф. и формализуемым содержанием можно усмотреть диалектич. противоречие – внутренний источник развития как самой науки, так и ее логич. средств. Трудности, связанные с невозможностью полностью формализовать ту или иную конкретную область, практически ослабляются на пути изыскания способов формализации нек-рых ее подобластей, к-рые могут как раз включать в себя все основные или интересующие нас предложения этой области. Такой путь тем более значим, что, по существу, метод Ф. призван дополнять содержательный семантич. анализ в науках. При этом, конечно, нисколько не снижается важная в методологическом и эвристич. отношении логико-матем. работа по созданию "...готового для употребления запаса формальных систем, из которого для любой теории можно было бы выбрать систему, правильно представляющую результаты опыта" (цит. по кн.: Гейтинг ?., Интуиционизм, М., 1965, с. 18). Др. путь – построение полуформализованных систем, в частности за счет допущения инфинитных правил вывода. Ф. позволяет систематизировать, уточнить и методологически прояснить содержание теории, выяснить характер взаимосвязи между собой различных ее положений, выявить и сформулировать еще не решенные проблемы. А такие проблемы всегда есть, ибо Ф. не означает законченности теории или же прекращения ее развития. Вместе с тем выигрыш в точности и методологич. правильности при Ф. обычно сопровождается проигрышем в непосредств. интуитивной ясности и краткости изложения, поскольку построение теории в форме исчисления предполагает скрупулезное выявление всех ее предпосылок и осуществление полного доказательства ее положений. Значение Ф. для совр. науки существенно определяется проектами "кибернетизации" знания – поиском перехода к машинным методам решения науч. проблем, ранее составляющим прерогативу чисто человеч. интеллектуальной деятельности. Метод формализации призван сыграть здесь важную роль, а именно – обеспечить те приемы, следуя к-рым машины смогут получать новые результаты, перебирая и выбирая такие варианты, к-рые не может перебрать и не привык выбирать человек. А. Субботин. Москва. Исторически Ф. возникла вместе с возникновением мышления и языка; важный шаг в развитии Ф. был связан с появлением письменности; в дальнейшем, по мере развития науки, особенно математики, к естеств. языкам стали добавляться знаки специального характера – элементы математической, химич. и др. символики. Крупным шагом в развитии способов Ф. было создание в математике Нового времени буквенных исчислений (аналитич. геометрия, матем. анализ и др.). С др. стороны, вместе с формальной логикой возник прием л о г и ч е с к о й Ф., состоящий в выявлении и фиксации, тем или иным способом, логич. формы выводов и доказательств. Развитие гносеологич. приема Ф. объясняет распространение в соврем, науке более узкого понимания Ф. как такого уточнения изучаемого содержания, к-рое, с одной стороны, делает возможным применение к нему математических (или подобных математическим, напр. формально-логических) средств, а с др. стороны, само совершается с применением таких средств (в этом смысле говорят, что в теории игр формализуются конфликтные ситуации, имеющие место в экономике, военном деле и т.п.; что матем. теория планирования эксперимента предполагает предварительную Ф. понятий, с помощью к-рых описываются экспериментальные процедуры, и т.п.). Ф. как познавательный прием – в частности Ф. в узком "математическом" смысле – носит относительный характер: одна и та же теория может быть одновременно и с р е д с т в о м Ф. (нек-рой др. теории и области явлений), и предметом Ф. (в более "формальной" теории). Так, традиционная "формальная" логика является Ф. по отношению к совокупности отраженных в ней закономерностей человеч. мышления; по отношению же к своим (аксиоматическим) Ф. она выступает в качестве содержательной теории – предмета формализации. См. также ст. Исчисление, Метод аксиоматический, Логика высказываний, Предикатов исчисления. Б. Бирюков. Москва. Лит.: ?арский ?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 15; Черч ?., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., I960, введение; Ван Xао, На пути к механической математике, в кн.: Кибернетический сборник, 5, М., 1962; Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Curry ?. В., Feys R., Combinatory logic, v. 1, Amst., 1958; Wang Hao, A survey of mathematical logic, Peking, 1962.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ
отображение содержательного знания в формализованной теории (исчислении). Формализуемое знание должно представлять собой каким-то образом фиксированную совокупность утверждений. Для определенности уместно говорить о формализации некоторой содержательной теории Т. Под теорией в данном случае имеется в виду замкнутая относительно всех своих логических следствий совокупность утверждений, относящихся к соответствующей предметной области. Это означает, что все следствия, которые можно получить в Гв рамках корректных рассуждений, также относятся к теории Т. Возможности формализации теории Т за счет построения соответствующего исчисления (формализованной теории) ФГ, а также взаимоотношения между Г и ФГ, если такую возможность удается некоторым образом реализовать, зависят от ряда обстоятельств. Обычно принципиальную возможность формализации содержательной теории Г связывают с тем, насколько эта теория Г подготовлена к данной операции. Речь идет о ее развитости, достаточной степени эксплицированности ее понятийного аппарата. Возможность формализации существенно возрастает при разрешимости теории, т. е. при существовании процедуры, позволяющей относительно любого сформулированного в языке теории предложения решать, принадлежит оно к теории или нет. Все это важно, но главное, что открывает принципиальную возможность формализации содержательной теории Г,— это выразительные возможности символического языка, с помощью которого предполагается отобразить Т.
Вообще говоря, язык исчисления предикатов позволяет записать в символической форме любое обычное или научное предложение. Для этого достаточно дополнить этот язык символами (константами) используемых в предложении предикатов и, может быть, еще так называемыми функциональными константами, о чем для простоты можно не говорить. Однако иметь возможность осуществить символическую запись любого предложения теории Готнюдь не значит ее формализовать. Для признания того, что ФГформализует Т, необходимыми являются, по крайней мере, следующие три условия: (1) Язык L исчисления, используемого для формализации, должен давать возможность выразить любое предложение А теории Т с помощью некоторой формулы ФТ, которая при содержательной ее интерпретации порождает предложение, которое приемлемо трактовать как выражающее ту же мысль, что и А
(2) Исходные постулаты (аксиомы) ФГпри получении из них теорем должны рассматриваться как цепочки бессодержательных символов, из которых по фиксированным правилам вывода получаются новые цепочки символов (теоремы). Иначе говоря, процесс получения теорем не должен осуществляться на основании очевидности, подтверждаемости практикой и т. п.
(3) Между классом теорем ФТк классом содержательно истинных утверждений теории Г должно быть определенное оговоренное отношение, позволяющее ФТ считать формализацией Г (точнее об этом ниже).
Пункт (2) существенным образом отличает ФГот Г. В Г не обязательно есть фиксированные правила вывода, и для получения новых утверждений можно опираться на содержательный смысл терминов и имеющийся контекст. Если, напр., в Гсодержится утверждение, что событие произошло раньше события то мы обязаны по содержательным основаниям относить к верным утверждениям теории Гтакже и то, что произошло позже а. Вместе с тем мы не обязаны фиксировать это. Иначе в ФТ. Здесь логические связи между отношениями раньше и позже должны быть явным образом отображены. И если указанные отношения обозначаются как «» соответственно, то ФГдолжна содержать правило, позволяющее переходить от (). Очевидно, в ФТ придется указать также на транзитивность указанных отношений. Кратко говоря, в ФГпридется отобразить логику данных отношений, необходимую для описания соответствующей предметной области. При этом сама эта логика может зависеть от того, напр., будет ли считаться время непрерывным или дискретным, бесконечно или конечно делимым, даже если в Г эти вопросы не обсуждаются. Т. о., формализация состоит не просто в том, чтобы осуществить запись Гв некотором символическом языке, но в том, чтобы выявить и отобразить при этом логику, которой будут удовлетворять высказывания с теми терминами, которые фигурируют в Т. Решение такой проблемы является профессиональной задачей логики вообще и может исследоваться независимо от тех или иных конкретно взятых содержательных теорий и задач, связанных с их формализацией. Так, напр., в логике формализуются теории алогических, эпистемических, деонтических, временных и другие модальностей, полные относительно некоторых содержательных семантик. Вопрос о возможности формализации теории Гесть поэтому не только вопрос о готовности к этой процедуре со стороны Г, но и о том, в достаточной ли степени разработан для этой цели имеющийся логический и математический аппарат.
В связи с пунктом (3) надо иметь в виду, что ФГв явном виде содержит всю необходимую для формализации теории Глогику и математику и соответствующий им класс правил или содержательно интерпретируемых теорем, напр., закон контрапозиции импликации: ()—>(*) и т. п., которым фактически нет соответствия в Т. Кроме того, Т обычно не детерминирует всех логических взаимоотношений высказываний, содержащих используемую в ^терминологию. Поэтому ФТ практически всегда задает ту или иную экспликацию этой терминологии. Если даже отвлечься от возможности использования в ФГразличных базовых логик и математик, то уже только оправданные содержанием Г логические различия в экспликациях терминологии позволяют построить для одной и той же содержательной теории Г множество альтернативных формализации. При этом теория Гв зависимости от того, какая конкретная формализация будет сочтена адекватной, будет в той или иной степени менять свой смысл. Дело логика указать, чем отличаются возможные альтернативы, но не в его компетенции считать какую-то из них более предпочтительной, не говоря уже более верной. Чтобы иметь возможность содержательного обсуждения теории ФТ, в частности, говорить о ее непротиворечивости, полноте, доказуемости или недоказуемости в ней теорем определенного рода, используется т. н. метаязык (в отличие от языка, на котором сформулирована ФТ), и все верные утверждения такого рода относят к метатеории МФТ.
Проблему формализации содержательной теории Гв ФГможно считать решенной, если в рамках метатеории .МФГудается показать, что каждому истинному в принятой интерпретации предложению Т соответствует доказуемое утверждение (теорема полноты), и наоборот (теорема адекватности). В силу разных причин такого положения не всегда удается добиться. Об этом говорит, в частности, известная теорема К. Геделя (1931) о неполноте непротиворечивой формализованной арифметики. Дело в том, что некоторая формализуемая теория Гможет содержать столь богатый выразительными возможностями язык, что в ее рамках могут строится утверждения о формализующей ее системе ФГи, значит, отображаться в последней. Происходит т. н. замыкание языка и метаязыка. Любая непротиворечивая формализация теории Т оказывается принципиально неполной, так как любое изменение ФГпорождает класс новых содержательно истинных в МФТтл в самой Гпредложений. Именно такого рода теорией Гоказывается содержательная арифметика. В объектном языке формализующей эту арифметику теории ФТ можно строить утверждения о самой этой теории, которые при содержательной интерпретации становятся истинными предложениями теории Т. В ФГвоспроизводится, в частности, некоторая форма парадокса лжеца (см. Парадокс логический), т. к. всегда находится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость в ФТ. Такая формула содержательно истинна именно потому, что в ФТ недоказуема. Ее истинность в Г и при этом недоказуемость в ФГговорит о неполноте последней. Теорема Геделя не исключает возможности полной формализации более узких фрагментов математики. Теореме Геделя о неполноте не следует придавать преувеличенного, во всяком случае универсального философского значения и распространять ее следствия на теории, при формализации которых принципиально отсутствуют и не могут возникнуть рассмотренные выше причины, препятствующие полной формализации всех истинных предложений содержательной математики. Лит.: КаиниС. К. Введение в метаматематику. М., 1957.
А. Сидоренко
Вообще говоря, язык исчисления предикатов позволяет записать в символической форме любое обычное или научное предложение. Для этого достаточно дополнить этот язык символами (константами) используемых в предложении предикатов и, может быть, еще так называемыми функциональными константами, о чем для простоты можно не говорить. Однако иметь возможность осуществить символическую запись любого предложения теории Готнюдь не значит ее формализовать. Для признания того, что ФГформализует Т, необходимыми являются, по крайней мере, следующие три условия: (1) Язык L исчисления, используемого для формализации, должен давать возможность выразить любое предложение А теории Т с помощью некоторой формулы ФТ, которая при содержательной ее интерпретации порождает предложение, которое приемлемо трактовать как выражающее ту же мысль, что и А
(2) Исходные постулаты (аксиомы) ФГпри получении из них теорем должны рассматриваться как цепочки бессодержательных символов, из которых по фиксированным правилам вывода получаются новые цепочки символов (теоремы). Иначе говоря, процесс получения теорем не должен осуществляться на основании очевидности, подтверждаемости практикой и т. п.
(3) Между классом теорем ФТк классом содержательно истинных утверждений теории Г должно быть определенное оговоренное отношение, позволяющее ФТ считать формализацией Г (точнее об этом ниже).
Пункт (2) существенным образом отличает ФГот Г. В Г не обязательно есть фиксированные правила вывода, и для получения новых утверждений можно опираться на содержательный смысл терминов и имеющийся контекст. Если, напр., в Гсодержится утверждение, что событие произошло раньше события то мы обязаны по содержательным основаниям относить к верным утверждениям теории Гтакже и то, что произошло позже а. Вместе с тем мы не обязаны фиксировать это. Иначе в ФТ. Здесь логические связи между отношениями раньше и позже должны быть явным образом отображены. И если указанные отношения обозначаются как «» соответственно, то ФГдолжна содержать правило, позволяющее переходить от (). Очевидно, в ФТ придется указать также на транзитивность указанных отношений. Кратко говоря, в ФГпридется отобразить логику данных отношений, необходимую для описания соответствующей предметной области. При этом сама эта логика может зависеть от того, напр., будет ли считаться время непрерывным или дискретным, бесконечно или конечно делимым, даже если в Г эти вопросы не обсуждаются. Т. о., формализация состоит не просто в том, чтобы осуществить запись Гв некотором символическом языке, но в том, чтобы выявить и отобразить при этом логику, которой будут удовлетворять высказывания с теми терминами, которые фигурируют в Т. Решение такой проблемы является профессиональной задачей логики вообще и может исследоваться независимо от тех или иных конкретно взятых содержательных теорий и задач, связанных с их формализацией. Так, напр., в логике формализуются теории алогических, эпистемических, деонтических, временных и другие модальностей, полные относительно некоторых содержательных семантик. Вопрос о возможности формализации теории Гесть поэтому не только вопрос о готовности к этой процедуре со стороны Г, но и о том, в достаточной ли степени разработан для этой цели имеющийся логический и математический аппарат.
В связи с пунктом (3) надо иметь в виду, что ФГв явном виде содержит всю необходимую для формализации теории Глогику и математику и соответствующий им класс правил или содержательно интерпретируемых теорем, напр., закон контрапозиции импликации: ()—>(*) и т. п., которым фактически нет соответствия в Т. Кроме того, Т обычно не детерминирует всех логических взаимоотношений высказываний, содержащих используемую в ^терминологию. Поэтому ФТ практически всегда задает ту или иную экспликацию этой терминологии. Если даже отвлечься от возможности использования в ФГразличных базовых логик и математик, то уже только оправданные содержанием Г логические различия в экспликациях терминологии позволяют построить для одной и той же содержательной теории Г множество альтернативных формализации. При этом теория Гв зависимости от того, какая конкретная формализация будет сочтена адекватной, будет в той или иной степени менять свой смысл. Дело логика указать, чем отличаются возможные альтернативы, но не в его компетенции считать какую-то из них более предпочтительной, не говоря уже более верной. Чтобы иметь возможность содержательного обсуждения теории ФТ, в частности, говорить о ее непротиворечивости, полноте, доказуемости или недоказуемости в ней теорем определенного рода, используется т. н. метаязык (в отличие от языка, на котором сформулирована ФТ), и все верные утверждения такого рода относят к метатеории МФТ.
Проблему формализации содержательной теории Гв ФГможно считать решенной, если в рамках метатеории .МФГудается показать, что каждому истинному в принятой интерпретации предложению Т соответствует доказуемое утверждение (теорема полноты), и наоборот (теорема адекватности). В силу разных причин такого положения не всегда удается добиться. Об этом говорит, в частности, известная теорема К. Геделя (1931) о неполноте непротиворечивой формализованной арифметики. Дело в том, что некоторая формализуемая теория Гможет содержать столь богатый выразительными возможностями язык, что в ее рамках могут строится утверждения о формализующей ее системе ФГи, значит, отображаться в последней. Происходит т. н. замыкание языка и метаязыка. Любая непротиворечивая формализация теории Т оказывается принципиально неполной, так как любое изменение ФГпорождает класс новых содержательно истинных в МФТтл в самой Гпредложений. Именно такого рода теорией Гоказывается содержательная арифметика. В объектном языке формализующей эту арифметику теории ФТ можно строить утверждения о самой этой теории, которые при содержательной интерпретации становятся истинными предложениями теории Т. В ФГвоспроизводится, в частности, некоторая форма парадокса лжеца (см. Парадокс логический), т. к. всегда находится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость в ФТ. Такая формула содержательно истинна именно потому, что в ФТ недоказуема. Ее истинность в Г и при этом недоказуемость в ФГговорит о неполноте последней. Теорема Геделя не исключает возможности полной формализации более узких фрагментов математики. Теореме Геделя о неполноте не следует придавать преувеличенного, во всяком случае универсального философского значения и распространять ее следствия на теории, при формализации которых принципиально отсутствуют и не могут возникнуть рассмотренные выше причины, препятствующие полной формализации всех истинных предложений содержательной математики. Лит.: КаиниС. К. Введение в метаматематику. М., 1957.
А. Сидоренко
Источник: Новая философская энциклопедия
