ФИНИТИЗМ
ФИНИТИЗМ
одна из осн. логико-матем. концепций, согласно к-рой в содержательных рассуждениях, имеющих целью обоснование логических и матем. теорий, допускаются лишь т.н. ф и н и т н ы е ("конечные") средства, не использующие абстракции актуальной бесконечности и тем самым в известном смысле бесспорные; в явном виде выдвинута нем. математиком Д. Гильбертом. См. Метатеория, Метод аксиоматический, формализм.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.
Финитизм
(от лат. finite — конечный). 1. Философская концепция, отрицающая объективно-реальное содержание категории бесконечного (Бесконечное и конечное), всходящая из того, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в нашем мышлении. Основание этого Ф. видит в том, что человек в опыте всегда имеет дело с конечными вещами и их свойствами. Метафизически противопоставляя конечное бесконечному, Ф. игнорирует их диалектику и взаимосвязь в познании. 2. В одном из направлений обоснования математики (Формализм) Ф. означает требование не допускать в метаматематике обращения к бесконечности.
Источник: Философский словарь. 1963
ФИНИТИЗМ
лат. finis—конец, предел) — 1) философская концепция, отрицающая объективно реальное содержание категории бесконечного (Бесконечное и конечное), исходит из. того, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в нашем мышлении. Основание этого Ф. видит в том, что человек в опыте всегда имеет дело с конечными вещами и их свойствами; 2) в теории доказательств Гильберта Ф. означает конечную установку в рассуждениях о формальных системах, используемых в метаматематике. В них исключается обращение к абстракциям бесконечности, а сами рассуждения имеют содержательный характер и относятся к конкретным знаковым комплексам. Метафизически противопоставляя конечное бесконечному, Ф. игнорирует их диалектику; 3) при исследовании формальных систем в метаматематике Ф. означает использование лишь таких методов, к-рые свободны от неясностей и сомнений.
Источник: Философский энциклопедический словарь
ФИНИТИЗМ
[от finitus — определенный, законченный] — методологическая установка, идущая от Д. Гильберта (см.), согласно которой абсолютно надежными можно считать лишь доказательства, при которых число рассматриваемых объектов и функций конечно. Что же касается бесконечной совокупности объектов или функций, то правомерность обращения к ним не отрицается постольку, поскольку они ничего не портят в финитной математике и являются лишь инструментальным довеском к ней. По-настоящему состоятельной оказывается лишь финитная математика. Теорема Гёделя о неполноте поставила под сомнение программу Гильберта. С учетом этого современные ученые модифицируют программу Ф. Другие считают, что она в принципе не способна представить концептуально бесконечные реальности. Известную поддержку находит программа Ф. в информатике, где постулируется, что машинная операция по выполнению соответствующей программы должна быть выполнена за конечное число ходов.
Источник: Философия науки. Краткий энциклопедический словарь. 2008 г.
ФИНИТИЗМ
лат. finitus - определенный, ограниченный, законченный), методологич. установка в теории доказательств, возникшая в нач. 20 в. в работах Гильберта и его школы с целью обоснования непротиворечивости теоретико-множеств. математики. Программа Ф. предполагала формализацию теории (непротиворечивость к-рой доказывается), включая правила вывода и способы образования понятий, и одновременно ее аксиоматизацию (см. Аксиоматичеекий метод) при отвлечении от к.-л. (модельного) истолкования ее формальных объектов. К этим двум требованиям, касающимся изучаемых теорий, Ф. присоединял требование обязат. наглядности (конкретности) объектов метатеории этих теорий, выражающее финитную т. зр. на задачу оснований - сведение проблемы непротиворечивости к нек-рой комбинаторной (конечной) проблеме, разрешимой без обращения к к.-л. «интуиции бесконечного». Т. о., в теории доказательств финитная т. зр. предполагала конкретно-содержат. способ рассмотрения и конечную установку мышления. В известном смысле Ф. явился усилением интуиционистских (см. Интуиционизм) претензий к «технике мышления», используемой в метатеории, и, напротив, их ослаблением в соответств. теории, где свободно допускались сколь угодно сильные т. н. платонистские абстракции бесконечности и все средства нефинитной (классич.) логики. Надежность финитной т. зр., рассчитанной на минимум логико-математич. средств, привлекаемых для обоснования, оказалась, однако, препятствием для решения гл. задачи Ф. - доказательства непротиворечивости классич. математики, что привело к последующему расширению финитной т. зр. и методов самой теории доказательств (напр.. за счет трансфинитной индукции, геделевских функционалов конечных типов и др. абстрактных понятий).
Источник: Советский философский словарь
ФИНИТИЗМ
идущая т Д. Гильберта методологическая установка на сильные требования к осмысленности и к надежности математических суждений и рассуждений. В соответствии с этой установкой надежные рассуждения удовлетворяют следующим условиям (Ж. Эрбран): 1) всегда рассматривается лишь конечное и определенное число конкретно воспринимаемых предметов и функций; 2) функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; 3) никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; 4) никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов какой-либо бесконечной совокупности; если же говорится, что какое-то рассуждение (или суждение) верно для всех этих х, то это означает, что общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного х, причем само это общее рассуждение следует при этом рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждении.
Ограничения 1) и 4) мотивируют как само название «финитизм», так и соответствующее употребление эпитетов «финитный» (или «финитарный») для рассуждений, суждений, доказательств, высказываний, определений, понятий, методов и т. д. Финитная математика — это совокупность финитных математических рассуждений.
Осмысленные суждения, согласно рассматриваемой установке, это те и только те суждения, которые могут быть доказаны или опровергнуты финитными рассуждениями. Осмысленные математические суждения называются «реальными» суждениями (предложениями, высказываниями), остальные — «идеальными».
Это несколько расплывчатое описание финитизма поддается и подвергается должным уточнениям в конкретных контекстах. Финитизм возник в рамках т. н. программы Гильберта — исходного пункта направления в основаниях математики, известного как формализм. Гильберт предназначал свою программу для «реабилитации» математики в связи с интуиционистской критикой (см. Интуиционизм). Он предпринял попытку обосновать математику на базе эпистемологически прочного фундамента финитизма. Гильберт соглашался с интуиционистами, что не все утверждения абстрактной математики имеют смысл, более того — его критерии осмысленности математических высказываний еще ограничительное интуиционистских (интуиционисты считают чрезмерно ограничительным в финитизме условие 1), т. к. допускают рассуждения о некоторых абстрактных предметах вроде «свободно становящихся последователей»). Однако Гильберт не заключает из этого, что следует запретить некоторые укоренившиеся приемы доказательств и тем самым деформировать, как настаивали интуиционисты, математическую практику. Он резонно полагал, что в принципе допустимо (а в целях экономии сил даже и нужно) пользоваться сомнительными, с точки зрения интуиционистов, принципами доказательств, если предварительно будет установлено — и установлено уже совершеннонесомненными (т. е. финитными) рассуждениями, —-что при использовании этихдоказательств не может быть получено среди осмысленных (т. е. реальных) утверждений такого, которое оказалось бы ложным. Что касается идеальных предложений, то им не обязательно приписывать определенные истинностные значения, так как они, строго говоря, финитно неосмысляемы и поэтому выполняют в математике не познавательные, а, так сказать, «административные» функции. Они всего лишь инструменты, предназначенные для удобного манипулирования реальными высказываниями. Короче говоря, замысел программы Гильберта — несомненными рассуждениями доказать, что обычная математика есть консервативное расширение финитной математики. Т. о., есть тесная аналогия между этим замыслом и неопозитивистскими попытками анализировать физические теории в терминах «наблюдаемых» и «теоретических конструктов»: реальные высказывания суть аналоги «наблюдаемых», идеальные — «теоретических конструктов».
Но как убедиться, что некоторая математическая система S не содержит среди своих реальных теорем ни одной ложной? Оказывается, что при некоторых дополнительных разумных предположениях эта проблема эквивалентна проблеме финитного установления непротиворечивости системы S. В свою очередь можно пытаться финитно установить непротиворечивость S, предварительно заменив систему S ее формальным аналогом и пытаясь финитно установить теперь уже синтаксическое свойство системы S—ее формальную непротиворечивость. Финитные рассуждения, предназначаемые для осуществления этой работы, Гильберт обозначал словом «метаматематика».
Становление и расцвет программы Гильберта занял 1-ю треть 20-го столетия. Но в 1931 Гедель своей второй теоремой о неполноте обнаружил, что некоторые — просто находимые и естественные (в точно определенном смысле) — формальные выражения непротиворечивости любой системы S, содержащей арифметику, являются предложениями, не разрешимыми в S, если S действительно непротиворечива (точнее — со-непротиворечива). Эта теорема была почти сразу истолкована как смертельный удар по программе Гильберта, и это критическое истолкование прочно утвердилось в литературе. Суть его ясно выражают, напр., Френкель и Бар-Хиллел, усматривая следствие теоремы Геделя в том, что «никакое предложение, которое можно точным образом интерпретировать как выражающее непротиворечивость какой-либо логистической системы, содержащей арифметику, не может быть доказано в этой системе» (Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 370). Стало быть, обосновать математику в рамках финитизма принципиально невозможно. На таком фоне должны были возникнуть и действительно возникли различные модификации программы Гильберта, знаменующие собою различные ослабления первоначальной установки жесткого финитизма.
Однако нужно заметить, что связь между программой Гильберта и второй теоремой Геделя о неполноте не так проста, как это общепринято считать. Вышеприведенная цитата искажает подлинное положение дел. Гедель показал только, что лишь некоторые формальные предложения, которые интерпретируются как выражения непротиворечивости S, нельзя доказать в S. Он не доказал, что каждый возможный кандидат на роль формального аналога выражения непротиворечивости S обязательно недоказуем в S. Поэтому, строго говоря, теорема Геделя не доказывает несостоятельность финитизма как фундамента для обоснования математики в рамках программы Гильберта. Ктомуже возможны модификации программы Гильберта, связанные не с ослаблением первоначального финитизма, а просто с другим способом его употребления. Более того, рассматриваются и развиваются подходы к основаниям математики, ориентированные на усиление финитизма. Т. о., пока судьба финитизма складывается драматически, но отнюдь не трашчески.
К. Ф. Самохвалов, В. X. Хананян
Ограничения 1) и 4) мотивируют как само название «финитизм», так и соответствующее употребление эпитетов «финитный» (или «финитарный») для рассуждений, суждений, доказательств, высказываний, определений, понятий, методов и т. д. Финитная математика — это совокупность финитных математических рассуждений.
Осмысленные суждения, согласно рассматриваемой установке, это те и только те суждения, которые могут быть доказаны или опровергнуты финитными рассуждениями. Осмысленные математические суждения называются «реальными» суждениями (предложениями, высказываниями), остальные — «идеальными».
Это несколько расплывчатое описание финитизма поддается и подвергается должным уточнениям в конкретных контекстах. Финитизм возник в рамках т. н. программы Гильберта — исходного пункта направления в основаниях математики, известного как формализм. Гильберт предназначал свою программу для «реабилитации» математики в связи с интуиционистской критикой (см. Интуиционизм). Он предпринял попытку обосновать математику на базе эпистемологически прочного фундамента финитизма. Гильберт соглашался с интуиционистами, что не все утверждения абстрактной математики имеют смысл, более того — его критерии осмысленности математических высказываний еще ограничительное интуиционистских (интуиционисты считают чрезмерно ограничительным в финитизме условие 1), т. к. допускают рассуждения о некоторых абстрактных предметах вроде «свободно становящихся последователей»). Однако Гильберт не заключает из этого, что следует запретить некоторые укоренившиеся приемы доказательств и тем самым деформировать, как настаивали интуиционисты, математическую практику. Он резонно полагал, что в принципе допустимо (а в целях экономии сил даже и нужно) пользоваться сомнительными, с точки зрения интуиционистов, принципами доказательств, если предварительно будет установлено — и установлено уже совершеннонесомненными (т. е. финитными) рассуждениями, —-что при использовании этихдоказательств не может быть получено среди осмысленных (т. е. реальных) утверждений такого, которое оказалось бы ложным. Что касается идеальных предложений, то им не обязательно приписывать определенные истинностные значения, так как они, строго говоря, финитно неосмысляемы и поэтому выполняют в математике не познавательные, а, так сказать, «административные» функции. Они всего лишь инструменты, предназначенные для удобного манипулирования реальными высказываниями. Короче говоря, замысел программы Гильберта — несомненными рассуждениями доказать, что обычная математика есть консервативное расширение финитной математики. Т. о., есть тесная аналогия между этим замыслом и неопозитивистскими попытками анализировать физические теории в терминах «наблюдаемых» и «теоретических конструктов»: реальные высказывания суть аналоги «наблюдаемых», идеальные — «теоретических конструктов».
Но как убедиться, что некоторая математическая система S не содержит среди своих реальных теорем ни одной ложной? Оказывается, что при некоторых дополнительных разумных предположениях эта проблема эквивалентна проблеме финитного установления непротиворечивости системы S. В свою очередь можно пытаться финитно установить непротиворечивость S, предварительно заменив систему S ее формальным аналогом и пытаясь финитно установить теперь уже синтаксическое свойство системы S—ее формальную непротиворечивость. Финитные рассуждения, предназначаемые для осуществления этой работы, Гильберт обозначал словом «метаматематика».
Становление и расцвет программы Гильберта занял 1-ю треть 20-го столетия. Но в 1931 Гедель своей второй теоремой о неполноте обнаружил, что некоторые — просто находимые и естественные (в точно определенном смысле) — формальные выражения непротиворечивости любой системы S, содержащей арифметику, являются предложениями, не разрешимыми в S, если S действительно непротиворечива (точнее — со-непротиворечива). Эта теорема была почти сразу истолкована как смертельный удар по программе Гильберта, и это критическое истолкование прочно утвердилось в литературе. Суть его ясно выражают, напр., Френкель и Бар-Хиллел, усматривая следствие теоремы Геделя в том, что «никакое предложение, которое можно точным образом интерпретировать как выражающее непротиворечивость какой-либо логистической системы, содержащей арифметику, не может быть доказано в этой системе» (Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 370). Стало быть, обосновать математику в рамках финитизма принципиально невозможно. На таком фоне должны были возникнуть и действительно возникли различные модификации программы Гильберта, знаменующие собою различные ослабления первоначальной установки жесткого финитизма.
Однако нужно заметить, что связь между программой Гильберта и второй теоремой Геделя о неполноте не так проста, как это общепринято считать. Вышеприведенная цитата искажает подлинное положение дел. Гедель показал только, что лишь некоторые формальные предложения, которые интерпретируются как выражения непротиворечивости S, нельзя доказать в S. Он не доказал, что каждый возможный кандидат на роль формального аналога выражения непротиворечивости S обязательно недоказуем в S. Поэтому, строго говоря, теорема Геделя не доказывает несостоятельность финитизма как фундамента для обоснования математики в рамках программы Гильберта. Ктомуже возможны модификации программы Гильберта, связанные не с ослаблением первоначального финитизма, а просто с другим способом его употребления. Более того, рассматриваются и развиваются подходы к основаниям математики, ориентированные на усиление финитизма. Т. о., пока судьба финитизма складывается драматически, но отнюдь не трашчески.
К. Ф. Самохвалов, В. X. Хананян
Источник: Новая философская энциклопедия