математик Александрийской школы Древней Греции, автор первого дошедшего до нас трактата по математике. Е. (возможно) получил образование в Академии Платона (Афины). Свои труды Е. писал по единой схеме в форме дедуктивно систематизированных обозрений открытий древнегреческих математиков классического периода. Известны такие работы Е. по математике, как трактаты "О делении фигур", "Конические сечения" (в четырех книгах), "Феномены" (посвященные сферической геометрии), "Поризмы", а также работы по астрономии, музыке и оптике, в которых ведущая роль отводилась математике. В сочинениях Е. "Оптика" и "Катоптрика" - хронологически первых систематических исследованиях свойств лучей света - рассматривались проблемы зрения и его применения для определения размеров различных предметов, построена теория зеркал. Эти сочинения были математическими и по содержанию, и по структуре: основное место в них, как и в "Началах", отводилось теоремам, аксиомам и определениям. В своем главном труде "Начала" (латинизированное - "Элементы") Е. в 15 книгах изложил основные свойства пространства и пространственных фигур, т.е. планиметрию, стереометрию и элементы теории чисел как подведение итогов предыдущего развития математики в Древней Греции и закладку оснований для дальнейшего развития математики. В книге Е. "Начала" математика выступала, пишет М.Клайн, "...как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира...". Каждая книга "Начал" начинается с определений. В первой книге "Начал" приведены постулаты и аксиомы, за ними расположены в строгом порядке теоремы и задачи на построение (так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на предыдущие). Там же введены 23 предварительных определения объектов геометрии: например, "точка есть то, что не имеет частей"; "линия - длина без ширины"; "прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней". Были введены определения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, призмы, пирамиды, пяти правильных многогранников и др.
За определениями следовали 5 известных постулатов (требований) Е. к построению фигур в геометрии: 1) От всякой точки до всякой другой точки возможно провести только одну прямую линию; 2) Ограниченную прямую линию возможно непрерывно продолжать по прямой; 3) Из всякого центра и всяким раствором возможно описать круг; 4) Все прямые углы равны между собой; 5) Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых. Пятый постулат имеет столь важное значение, что он получил специальное наименование "пятый постулат Е. о параллельных" ("постулат о параллельных", иногда также встречается неточное название "аксиома Е. о параллельных"). Однако Е. в трактовке пятого постулата непосредственно не упоминал о существовании двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются. Далее Е. привел 9 аксиом (которые Аристотель назвал "предельно всеобщими истинами"): 1) Равные одному и тому же равны и между собой; 2) Если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны; 3) Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны; 4) Если к неравным прибавляют равные, то и целые будут не равны; 5) Удвоенные одного и того же равны между собой; 6) Половины одного и того же равны между собой;
7) Совмещающиеся один с другим равны между собой;
8) Целое больше части; 9) Две прямые не содержат пространства. В аксиомах Е. отсутствовали как понятие неопределяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Однако система аксиом Е. послужила базисом для логического вывода (основываясь и на постулатах с определениями) остальных 465 предложений (теорем и задач) "Начал", составляя вместе с постулатами Е. конструктивный "каркас" геометрии Е. Со времен опубликования книги "Начала" попытки многих математиков доказать истинность постулата Е. о параллельных (на основании только аксиом Е. и четырех остальных его постулатов) предпринимались для того, чтобы, писал М.Клайн, "...удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чистой и прикладной математики...". Такие утверждения Е., как "прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками", "через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну" и постулат о параллельных были названы Кантом "априорными синтетическими суждениями" (см. Априорные синтетические суждения), являющимися частью "оснащения" нашего разума. По Г.С.Клюгелю (1763), восприятие аксиом Е. (и в большей степени аксиомы о параллельных) как чего-то достоверного основано на человеческом опыте, ибо аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. А для Канта вообще был немыслим иной способ организации опыта, чем геометрия Е. и механика Ньютона. Таким образом, со времен "Начал" Е. и фактически до конца 19 в. законы окружающего нас физического пространства макромира были, как полагал М.Клайн, "...всего лишь теоремами геометрии Евклида и ничем больше...". Исследования К.Гаусса, Лобачевского, Л.Бойяи, Б.Римана и др. в 19 в. привели к пониманию того, что постулат о параллельных невозможно доказать на основании 9 аксиом и остальных постулатов и что для обоснования постулата о параллельных необходима еще одна аксиома. А поскольку аксиома о параллельных полностью независима от остальных, то возможно заменить ее противоположной аксиомой и выводить следствия из вновь сконструированной аксиоматической системы. Это привело к созданию неевклидовых геометрий, в которых аксиома о параллельных непротиворечиво заменяется на другую аксиому, адекватную свойствам пространства, над которым строится данная неевклидова геометрия. Книга "Начала" Е. дала возможность создать концепцию логического, математического подхода к познанию природы. Хотя сочинение Е. предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматически-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, но и ко всем естественным наукам. Через "Начала" Е. понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира.
ЕВКЛИД Александрийский
ЕВКЛИД Александрийский (предположительно 330-277 до н.э.)
Источник: История Философии: Энциклопедия
ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (????????? ? ???????????) (ок. 300 до н. э.), др.-греч. ученый и математик, автор обширного корпуса сочинений, из которых наиболее известны «Начала»; жил и работал в Александрии во времена Птолемея I Сотера. Биографические данные о Е. крайне скудны. Прокл (In Eucl. 68, 20) пишет, что Е. был старше учеников Платона, но моложе Архимеда и Эратосфена. Из того же источника известна история о том, как Птолемей спросил Е., нет ли более короткого пути к изучению геометрии, кроме как через изучение его «Начал», на что тот ответил: «В геометрии нет царского пути». Основное сочинение Е. - «Начала» (????????, также ???????????). Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием из Магнесии. Однако «Начала» Е. вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Е. включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино. «Начала» состоят из 13 книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список геометрических постулатов (???????? - собств. «требования») и общих аксиом (у Е. они названы ?????? ??????? - «общие понятия»). Как правило, постулаты задают базовые построения («требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами («если две величины равны третьей, они равны между собой»). В 1-й книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов. Книга 2-я, восходящая к пифагорейцам, посвящена т. н. «геометрической алгебре». В 3-й и 4-й книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Е. мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В 5-й книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в 6-й книге она прилагается к теории подобных фигур. 7-9-й книги посвящены теории чисел; автором 8-й книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся четные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В 10-й книге строится классификация иррациональностей; возможно, что ее автором является Теэтет Афинский. 11-й книга содержит основы стереометрии. В 12-й книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об объемах пирамиды и конуса; автором этой книги является Евдокс. Наконец, 13-й книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены еще две. 14-я книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 до н.э.), а 15-я книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма Св. Софии в Константинополе (нач. 6 в. н. э.). «Начала» в последующей традиции. «Начала» предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония из Перги и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к «Началам» в Античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранились комментарий Прокла к 1-й книге, а также комментарий Паппа к 10-й книге (в арабском переводе). В создании и развитии науки Нового времени «Начала» также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего исходные положения той или иной математической науки. На этот образец ориентируются, с сохранением самого названия книги, такие выдающиеся труды, как «Philosophia naturalis principia mathematica» И. Ньютона, «Principia mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда, «Elements de math?matique» H. Бурбаки. Из других сочинений Е. сохранилась «Оптика» (о прямолинейном распространении света), «Явления» (соч. по астрономии и сферической геометрии), «Данные» (о том, что необходимо, чтобы задать фигуру), «О делении фигур» (только в арабском переводе). Известны по кратким описаниям «Поризмы» (об условиях, определяющих кривые), «Конические сечения», «Поверхностные места» (о свойствах конических сечений), «Псевдария» (об ошибках в геометрических доказательствах), «Начала гармоники». Дошедшая до нас под именем Е. «Катоптрика» (трактат о зеркальных отражениях) представляет собой более позднюю компиляцию, составленную Теоном Александрийским (ок. 350 н. э.) на основе исходного трактата Е. Большая часть предложений входящего в Евклидов корпус трактата «Деление канона», посвященного пифагорейской теории музыки, вероятнее всего, была написана Архитом Тарентским. Евклид и Древняя Академия. Со времен пифагорейцев и Платона математические науки рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. По преданию, над входом в платоновскую Академию была надпись «Да не войдет сюда не знающий геометрии». Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в «Меноне» и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертеж не простым чувственным зрением, но «очами разума»; созерцая фигуру, мы усматриваем общее, ведем рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида. В «Тимее» Платона рассматривается учение о четырех элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, достался в удел «фигуре Вселенной». В связи с этим «Начала» могут рассматриваться как развернутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - т. н. «Платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует. Геометрия в «Началах» строится как дедуктивная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно «Второй Аналитике» Аристотеля, такие начальные утверждения должны быть заданы, т. к. цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной (An. Post. 72b 19). ?. старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля о свойствах равнобедренного треугольника (Ibid. 85b 12). Соч.: Euclidis Opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg, H. Menge. Vol. 1-8. Lpz., 1883-1916; Heath ? L. The thirteen books of Euclid´s Elements. Vol. 1-3. Camb., 1925; Euclide. Les ?l?ments. Trad, et comm. В. Vitrac; intr. M. Caveing. Vol. 1-4. P., 1990-2001; Евклид. Начала. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. Т. 1-3. М, 1949-1950. Античные комментарии: Thomson W. Pappus´ commentary on Euclid´s Elements. Camb., 1930 (19682); Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii. Ed. G. Friedlein. Lpz., 1893 (Hldh., 1967); Прокл. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. М., 1994. Лит.: Tannery P. La g?om?trie grecque. P., 1887; hard J. Lex livres arithm?tiques d´Euclide. P., 1961; Knorr W. R. The evolution of the Euclidean Elements. Dordr., 1975; Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid´s «Elements». Camb. (Mass.), 1981; Steck M. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid. Hldh., 1981; Artmann B. Euclid´s «Elements» and its prehistory, - Apeiron 24, 1991, p. 1-47; Bowen А. С. Euclid´s «Sectio canonis» and the History of Pythagoreanism, - Science and Philosophy in Classical Greece. Ed. A. C. Bowen. N. Y, 1991, p. 164-187; Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л., 1938; Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М, 1959; Выгодский М. Я. «Начала» Евклида, - Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 217-295; Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М., 2003. А. И. ЩЕТНИКОВ