ЭФФЕКТИВИЗМ

направление в филос. основаниях математики, выступающее за пересмотр осн. классич. теоретико- множественных понятий и принципов с т. зр. возможностей их эффективной (конструктивной) определимости (осуществимости). Э. известен с 1904. Его осн. представители: Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег, H. H. Лузин и др. Вот что писал о предпосылках, приведших к появлению Э., сов. математик Н. Лузин: "Современное состояние математического анализа убедительно доказывает, насколько важно установить точное разграничение между математическими сущностями, которые рассматриваются как с у щ е с т в у ю щ и е , и д р у г и м и, реальность которых лишь кажущаяся. С одной стороны, логическое направление в современной теории множеств есть источник неисчислимого количества математических сущностей, существование которых, в действительности, лишь чисто словесно. С другой стороны, в последние годы, становясь на почву непротиворечивости, по методу Гильберта, пытаются легализировать эти сущности, отождествляя то, что не противоречиво в с е б е, с тем, что имеет неоспоримую реальность. Именно это разграничение и было содержанием знаменитых Пяти писем по теории множест в (см. "Bull. de la Soc. Math. de France", декабрь 1904. – M. H.) Адамара, Бэра, Лебега и Бореля, и на необходимости этого разграничения Э. Борель настаивал с крайней точностью в своих дальнейших трудах" (Собр. соч., т. 2, 1958, с. 23). Т.о., по направленности своей критики Э. предваряет интуиционизм и конструктивное направление, однако, в отличие от них, Э. не отказывается от классич. математики вообще; он ставит своей задачей переосмысление ее "идеалистического" концептуального аппарата на базе "реалистически" (эффективистски) приемлемых принципов. При этом переосмысливаются только те классич. понятия, к-рые имеют, с т. зр. Э., объективный гносеологич. смысл. Если же понятие, изменяясь от математика к математику, имеет чисто субъективный характер, то оно находится "вне математики" и от него приходится отказаться. Напр., объективный гносеологич. смысл понятия трансфинитного числа (о трансфинитных числах см. Теория множеств) определяется матем. фактом существования различных вполне упорядоченных счетных множеств – и только. Никакого постулирования независимого априорного существования трансфинитного при этом не предполагается: "Трансфинитные "числа" не являются настоящими числами. Они не существуют сами по себе. То, что при современном состоянии науки мы называем трансфинитным числом, является только м е т к о й для того, чтобы узнавать и отличать промежуточный шаг неограниченного регулярного процесса, употребляемого для получения решения предложенной математической проблемы" (там же, с. 343). Очевидно, что филос. значение Э., как особой т. зр. на основания математики, определяется его борьбой с т.н. матем. "платонизмом", а именно, с канторовской теорией множеств, к-рая дала повод говорить о зависимости классич. логики и математики от онтологии платонизма. В этой борьбе эффективисты заняли последовательно эмпирическую – и в целом материалистическую (хотя часто в форме традиц. номинализма) – позицию. Распространенная в сов. филос. лит-ре 30–40-х гг. оценка Э. как течения субъективно-идеалистического обязана в лучшем случае неосведомленности. Позиция Э. основана на признании объективной модели матем. понятий, п р е д в а р я ю щ е й матем. мысль, поэтому и логика Э. строится на онтологическом принципе (а не на эпистемологическом, как, напр., интуиционистская логика); она включает, в частности, принцип исключенного третьего. Тот факт, что не существует универсального способа разрешения формулы (D / D), эффективисты объясняют ограниченностью самих способов (конечно же субъективных (!), соответствующих уровню "наших" возможностей – возможностей совр. науч. практики). Заметим, что еще в 1938, характеризуя философию математики А. Лебега, Колмогоров писал: "Положительной стороной этой позиции (позиции Лебега, как, впрочем, и всего Э. – М. Н.) является признание Лебегом материалистического положения о неразрывности теории и практики, познания и деятельности. Положение это принимается Лебегом как в его историческом аспекте (все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики), так и в логическом аспекте (математические предложения являются концентратом нашего опыта, относящегося к действительному миру, руководящим нашей дальнейшей практической деятельностью, а не относятся к особому миру идеальных математических сущностей или не являются продуктом свободного творчества нашего духа)" (Предисловие к кн.: Лебег ?., Об измерении величин, М., 1960, с. 13). Признавая важность и оригинальность формальной программы Д. Гильберта (см. формализм), Э. главным все же считает содержат, анализ понятий, полагая, что чисто формальные методы исследования "...не могут никогда быть успешными вследствие грубости и бедности формальных средств" (Лузин ?. ?., Собр. соч., т. 2, с. 562–63) и что, напротив, концепции интуитивного или эксперимен- тального характера, если даже они логически несовершенны, имеют много преимуществ для прогресса науки в смысле своей эвристич. ценности. Рассматривая вопросы существования матем. объектов с т. зр. "натуралистического" принципа – только в свете эффективного построения этих объектов, эффективисты (как и интуиционисты, и представители конструктивного направления) придают весьма малое значение проблеме непротиворечивости: "Я считаю, что не приходится бояться того, что кто-нибудь впоследствии в один прекрасный день откроет, что математика противоречива" (там же, с. 563). Историч. заслуга Э. заключается не только в отмеченной выше по существу филос. роли – Э. положил начало многим матем. исследованиям, в т.ч. исследованиям в области дескриптивной теории множеств (функций) – принципиально очень важному направлению, позволившему глубже понять основы матем. анализа, соотношение в нем "конструктивного" и "неконструктивного", уточнить методы и возможности (границы методов) теории множеств и прийти к выводам, многие из к-рых (напр., относительно неразрешимости нек-рых ее проблем) были позднее подтверждены уже средствами математической логики. В этой работе особенно велика заслуга московской матем. школы Д. Ф. Егорова – Н. Н. Лузина и их учеников: М. Я. Суслина, П. С. Новикова, А. Н. Колмогорова, П. С. Урысона, П. С. Александрова, Е. А. Селивановского, М. А. Лаврентьева, Л. В. Келдыш, Л. В. Канторовича, А. А. Ляпунова и др. Лит.: Гливенко В. И., Кризис основ математики на совр. этапе его развития, в кн.: Сб. ст. по философии математики, М., 1936; Новиков П. С. и Келдыш Л. В., От редакторов тома [предисл.], в кн.: Лузин H. H., Собр. соч., т. 2, М., 1958; Борель Э., Вероятность и достоверность, пер. с франц., М., 1961; его же, Quelques remarques sur les principes de la th?orie des ensembles, "Math. Annalen", 1905, Bd 60; eго же, Philosophie math?matique et l´infini, "Revue du Mois", 1912, ao?t; его же, L´infini math?matique et la r?alit?, там же; его же, Lecons sur la th?orie des fonctions, P., 1914, note 4; eго же, Les paradoxes de l´infini, P., 1946; его же, Les paradoxes de l´axiome du choix, "Compt. rendus hebdomadaires des s?ances de l´Acad?mie des sciences", 1947, t. 224, p. 1537–38; его же, ?l?ments de la th?orie des ensembles, P., 1949; Бурбаки H., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965, с. 338–39; Lebesgue H., Les controverses sur la th?orie des ensembles et la question des fondements, "Les Entretiens de Z?rich sur les fondements et la methode des sciences math?matiques", 1941, p. 109–22; Sierpinski W., L´axiome du choix et l´hypoth?se du continu, там же, р. 125–34; Bouligand G., Les erises de l´unit? dans la math?matique, "Revue g?n?rale des sciences pures et appliqu?es", 1942/45, No 11–12; Destouches-F?vrier P., Esquisse d´une math?matique intuitioniste positive, "Compt. rendus hebdomadaires des s?ances de l´Academie des sciences", 1947, t. 225, No 25; Heyting A., Les fondements des math?matiques. Intuitionnisme. Th?orie de la d?monstration, P., 1955. M. Новоселов. Москва.