метод построения научной теории как системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод
способ построения научной теории, при котором ее основу составляют некоторые исходные положения — аксиомы, или постулаты, из которых логически выводятся все остальные положения данной теории.
Источник: Человек и общество. Культурология
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.
Аксиоматический метод
от греч. axioma – принятое положение) – способ построения научной теории, в качестве ее основы априори принимающий положения, из которых все остальные утверждения теории выводятся логическим путем. Полная аксиоматизация теорий невозможна (К.Гедель, 1931).
Источник: Философия науки. Эпистемология. Методология. Культура
Аксиоматический метод
(от греч. axioma – принятое положение) – способ построения научной теории, где в качестве ее основы априорно принимаются положения, из которых логическим путем выводятся все остальные утверждения теории. Возможности аксиоматического метода не безграничны, в частности, К. Гедель обосновал вывод, что полную аксиоматизацию теорий осуществить нельзя.
Источник: Философия логика и методология науки Толковый словарь понятий. 2010 г.
МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ
способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные – леммы и ключевые теоремы) получаются как логические следствия аксиом. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т.е. предложения, принимаемые без доказательства. Метод зародился в работах древнегреческих геометров. Первым примером применения аксиоматического метода явились «Начала» Евклида (около III в. до н.э.).
Источник: Словарь науки. Общенаучные термины и определения. 2008 г.
Аксиоматический метод
от греч. axi?ma — принятое положение) — способ построения теории, основанный на принятых (или доказанных ранее) исходных положениях (аксиомах и постулатах), из которых логическим путем, посредством доказательств выводятся остальные знания. Философскую интерпретацию аксиоматический метод как применение дедукции получил в учении Р. Декарта. В той или иной степени аксиоматический метод был использован в различных науках — в философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), биологии (Дж. Вуджер) и др. Однако основной сферой его применения остаются математика и символическая логика, а также ряд областей физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).
Источник: История и философия науки
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (аксиомы), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем посредством доказательства. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Этот метод начали использовать при построении геометрии в Древней Греции. Наиболее успешно он реализуется для организации математического знания, где огромный вес в познании принадлежит конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках этот метод занимает подчиненное положение по сравнению с другими когнитивными методами.
Источник: Философия науки и техники: словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически следовали бы все остальные истинные высказывания (теоремы и единичные истинные высказывания). Идеал аксиоматического построения научного знания, начало реализации которого было положено построением геометрии в Древней Греции (VII — IV вв. до н. э.), оказался наиболее подходящим для организации систем математического знания, где огромный вес в познании принадлежит не только эмпирически-абстрагирующей деятельности рассудка, но и конструктивно—созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно—технических науках аксиоматический метод организации знания занимает подчиненное положение по сравнению с другими формами когнитивной организации. (См. доказательство, дедукция, теория, метод).
Аксиоматический метод
метод теоретического уровня познания, система построения научной теории или дисциплины, когда ряд утверждений в науке принимается без доказательств, а все последующие знания выводятся из них по специальным логическим правилам. Это способ дедуктивного построения научных теорий, при котором в основание теории кладутся некоторые не доказываемые в этой теории исходные предложения (аксиомы), а все остальные предложения этой теории (теоремы) выводятся из аксиом по принятым в этой теории логическим правилам или законам. Аксиоматичный метод нередко выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода: теория строится в соответствии с принципами аксиоматического метода, а её положения, в том числе и аксиомы, рассматриваются как гипотезы, которые должны быть эмпирически проверены. Такая проверка осуществляется при помощи особой совокупности утверждений, которые связывают некоторые положения теории с эмпирически наблюдаемыми фактами. В результате часть положений теоретической системы получает непосредственную эмпирическую проверку, а последние – опосредствованную, через их связь с первыми.
Источник: Методология научных исследований. Терминологический словарь. Харьков. Изд-во НУА 2016
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения науч. теории, при к-ром в ее основе лежат нек-рые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться логич. путем, посредством доказательства. Назначение А.м. состоит в ограничении произвола при принятии науч. суждений в кач-ве истин данной теории. Построение науки на основе А.м. обычно называется дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А.м., применяются во мн. науках. Но несмотря на попытки систематич. применения А.м. в философии (Спиноза), социологии (Вико), политэкономии (Родбертус-Ягецов), биологии (Вуджер) и др. науках, гл. обл. его приложения остаются математика и символич. логика, а также нек-рые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.). Одним из первых примеров применения А.м. явл. «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.). Б.Н.Махутов
Источник: История и философия науки. Энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
- способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.
А. м. - особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.
А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря "Началам" Евклида, появившимся около 330 - 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его "аксиомах и постулатах" все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. "Скрытые" допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.
К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.
A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.
Как показал известный математик и логик К. Гедель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Геделя теорема).
Источник: Словарь по логике
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
основной метод логико-математических дисциплин. По всеобщему признанию именно с него математика началась как наука. Хорошо известно, что основания этого метода были разработаны философами, прежде всего Платоном и Аристотелем, но понадобился гений профессионального математика Евклида (см.), чтобы представить геометрию в аксиоматическом виде. На наш взгляд, подвиг Евклида состоял в выявлении научного строя математики. До него все математики ограничивались изучением теорий как проблемно-концептуальных образований. Не было человека, способного рассмотреть всю проблематику геометрических теорий с единой точки зрения. Именно это удалось сделать Евклиду. В комментариях к трудам Евклида часто указывается, что благодаря его усилиям была установлена незыблемость математических истин. Разумеется, это преувеличение, что становится очевидным, если обратить внимание на вариабельность математических теорий. Вечных истин не бывает, их нет и в математике. Показательна в этом отношении аксиома о параллельных прямых. С нею связано много концептуальных волнений. Почему именно аксиома о параллельных прямых привлекла к себе столь пристальное внимание? Стремясь к безупречному знанию, математики старались сформулировать положения, однозначные по своему смыслу. Они полагали, что признание каких-либо концептуальных произвольностей умаляет строгость А. м., но аксиому о параллельных прямых никак не удавалось уложить в прокрустово ложе этих представлений. В очередной раз математики убеждались в ее независимости от остальных аксиом геометрии. Допустимо считать, что через точку вне данной прямой можно провести одну (вариант Евклида), две или даже бесконечно много параллельных ей прямых. Следовательно, существует множество геометрий. Этот факт был окончательно признан и осмыслен математиками не сразу, а лишь в первой трети XIX в. благодаря, как известно, усилиями Лобачевского (см.), Я. Больяи и К. Гаусса. В наши дни признание точек концептуальной вариабельности в составе аксиом математики уже не является чем-то необычным, но это лишь свидетельствует о законченности известного методологического поворота, на осмысление которого понадобилось более двух тысяч лет.
Источник: Философия науки. Краткий энциклопедический словарь. 2008 г.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения науч. теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путем, посредством доказательств. Построение науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во мн. науках, однако гл. область его приложения - математика, логика, а также нек-рые разделы физики.
Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта - полная формализация языка науки, при к-рой ее суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Геделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.
Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта - полная формализация языка науки, при к-рой ее суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Геделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.
Источник: Советский философский словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др ) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в , в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20—30-х гг. 20 в — как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д ) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Геделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр , арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30—40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др , включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)
Источник: Философский энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
(греч. axioma — принятое положение) — один из способов дедуктивного построения (Дедукция) научных теорий. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства, при этом входящие в них понятия не определяются явным образом в рамках данной теории. Все остальные предложения теории выводятся из аксиом (т. е. доказываются) на основании правил вывода и правил определения, допустимых в данной теории. Система таких правил дается формальной логикой. Таким образом, в случае аксиоматизации какой-либо теории необходимо, во первых, определить совокупность законов логики, к-рые будут использоваться в дальнейшем, во вторых, выбрать аксиомы и, в-третьих, вывести из аксиом на основании правил вывода все остальные истинные утверждения данной теории. Первые представления об А. м. возникли в Древней Греции (Аристотель, Эвклид), и за свою длительную историю они претерпели значительные изменения. Долгое время при проведении аксиоматизации требовали выбора очевидных, т. е. не вызывающих никаких сомнений, аксиом. Начиная со 2-й пол. 19 в. в результате интенсивного развития математики и математической логики к аксиоматической теории стали предъявлять другие требования. Эта теория должна быть непротиворечивой, т. е. такой, чтобы в ней нельзя было одновременно доказать некоторое предложение (высказывание, утверждение) и его отрицание. Она должна быть полной, т. е. содержать все истинные предложения, описывающие данную систему объектов, и т. д. Аксиоматическая теория в настоящее время понимается как особый формализованный язык (система знаков), использующий только дедуктивную технику вывода и выполняющий определенные синтаксические и семантические требования; такой язык описывает любые множества объектов, к-рые ему удовлетворяют. Аксиоматизация является лишь одним из возможных методов построения научного знания. Доказано, что нельзя построить аксиоматическую систему, охватывающую все знание: возможны лишь аксиоматические теории сравнительно небольших разделов научного знания. Такие теории широко используются в современной науке, они служат цели строгого построения научного знания, формулируют все его предпосылки, строго получают все его следствия и т. д. При использовании А. м. в естественнонаучном знании он выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода. В таком случае теория строится согласно принципам А. м. и, кроме того, обеспечивается возможность эмпирической (опытной) проверки входящих в теоретическую систему понятий и предложений. Эта проверка осуществляется с помощью особой совокупности утверждений, связывающих те или иные термины (предложения) теории с эмпирически наблюдаемыми фактами. В результате часть предложений теоретической системы получает непосредственную эмпирическую проверку, а остальные — косвенную, через их связь с первыми. Принципы гипотетико дедуктивного метода широко применяются в настоящее время при построении многих научных дисциплин (отдельных разделов физики, биологии, психологии, социологии, лингвистики и т. д.).
Источник: Краткий словарь по философии. 1970
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
греч. axioma — значимое, принятое положение) — способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные ("принципы") и требующие доказательства ("доказываемые"). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат "Начала" Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. — требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие "аксиома". Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода — метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как "полуаксиоматический") и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики "во всех мирах"; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.
В.Л. Абушенко
В.Л. Абушенко
Источник: Новейший философский словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. и. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояяя, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /»-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д. Гильберта—новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в. К концу того же века Дж. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс —логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.
Я. Я. Непейвода
Я. Я. Непейвода
Источник: Новая философская энциклопедия
аксиоматический метод
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) — принятое положение — способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат — утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» — аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» — постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям. Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях — неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии ( Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата — а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной — совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой — ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в. В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике — это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно. А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом — латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс — логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике — еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению. В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования — нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности. Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация. Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации. Я Н. Непейвода
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Традиционно определяется как такой способ дедуктивного построения научной теории, когда ее основу составляют лишь некоторые, принятые без доказательств положения – аксиомы (постулаты), а все остальные положения теории (теоремы) выводятся (доказываются) из них путем рассуждений, корректных относительно принимаемой этой теорией логики. Кроме указанной дедуктивной функции аксиоматического метода существует другая важная его функция – эвристическая. Безусловно, эти функции взаимосвязаны, даже взаимообусловлены, но если значение дедуктивной функции отчетливо просматривается для зрелых теорий, обычно – как выполнение требований предельной научной строгости: «Аксиоматический метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима» (Н. Бурбаки), то важность эвристической роли несомненна для становящихся теорий, так как посредством аксиоматического метода в пространство теоретического осмысления помещается принципиально новое, порой неожиданное, возможно даже парадоксальное с точки зрения «здравого смысла» и устоявшихся научных представлений, содержание. По этой причине сторонниками аксиоматического метода были многие ученые, в свое время радикально изменившие облик науки, такие, как И. Ньютон, Н. И . Лобачевский, Д. Гильберт, А. Эйнштейн, Н.Боридр.
Совершим небольшой исторический экскурс, чтобы показать, что именно к аксиоматическому методу обращаются для разрешения тех или иных трудностей и противоречий становящихся теорий. Традиционно начинают с «Начал» Евклида, которые с давних пор заняли место классического примера аксиоматического построения знания, впрочем, справедливость этого широко распространенного взгляда нередко обоснованно оспаривается. Как бы то ни было, общие интенции Евклида вполне соответствуют эвристическим задачам аксиоматического метода, ярко выраженное своеобразие «Начал» позволяет считать, что этот текст занимает некое промежуточное положение между дотеоретической геометрией, представляющей собой ряд догматически поданных правил и рекомендаций к построениям, и геометрией, оформленной строго аксиоматически. Существуют относительно достоверные историко-культурные гипотезы, объясняющие причины, побудившие древних греков обратиться к аксиоматизации геометрии. Согласно Ван дер Вардену к необходимости строгого теоретического построения геометрии привела потребность в уточнении знаний. Основанием этой потребности послужило параллельное заимствование древними греками математических достижений вавилонян и египтян, причем получаемые сведения далеко не во всем совпадали.
Аксиоматический метод, таким образом, выступил в качестве своеобразного средства разрешения конфликта мнений. По другой версии (А. Сабо), также затрагивающей ключевую для древнегреческой философии оппозицию «мнение – знание», а потому вполне совместимой с предыдущей, аксиоматизация геометрии связана с реакцией на знаменитые апории Зенона Элейского, породившей стремление к точному, непротиворечивому употреблению таких понятий, как «часть», «целое», «равное» в случае бесконечных множеств. Обоснованность этих гипотез подтверждает вышеприведенный тезис об особом значении аксиоматического метода для преодоления трудностей становящейся теории, и таких подтверждений в истории науки встречается немало. Показательным примером, демонстрирующим обсуждаемые эвристические возможности аксиоматического подхода, является то, что И. Ньютон, опираясь на «метод принципов» вместо распространенного тогда «метода гипотез», в свое время смог с высокой точностью описать оптические явления и явления тяготения, хотя и природу света, и природу тяготения нельзя считать полностью проясненными даже на сегодняшний день. Аксиомы какой-либо теории не требуют своего доказательства в рамках самой теории, а принимаются по внешним, порой лишь гипотетическим, причинам, что и позволяет даже в отсутствии полного знания о сущности явления давать его точное теоретическое описание.
Приведенные примеры, как и многие другие подобные им опыты построения теорий, не сопровождались высоким уровнем методологической рефлексии, сам аксиоматический метод не был еще объектом теоретизирования. Переломным пунктом стало построение Н. И. Лобачевским «воображаемой» геометрии путем выделения в евклидовой геометрии четырех аксиом так называемой абсолютной геометрии и присоединения к ним утверждения, противоположного пятому постулату Евклида о параллельных прямых. Интерпретация такой геометрии не претендовала на естественность и несомненную очевидность, но новая система аксиом была непротиворечивой и потому полноценной в умозрительном смысле. «Скандал» в теоретической геометрии, потерявшей «очарование очевидности», привел к осознанию важности роли аксиоматического метода в науке и в качестве следствия спровоцировал более пристальное внимание к самому методу построения теорий. Эволюция аксиоматического метода насчитывает три этапа, которые могут быть охарактеризованы как содержательная, формальная и формализованная аксиоматики. Все рассмотренные выше теории относятся к содержательной аксиоматике, т. е . к теориям относительно некоторой системы объектов, известной до формулировки теории; аксиомы и выводимые из них теоремы говорят нечто об объектах изучаемой системы и могут расцениваться как истинные или ложные.
Переход к формальной и далее – к формализованной аксиоматике, осуществленный в пер. пол. XX в. с целью использования аксиоматического метода для разрешения методологических и логических трудностей в вопросах оснований математики, связан с именем Д. Гильберта. Программа Гильберта предполагала такое построение математики, которое было бы лишено противоречий логицизма (Г. Фреге), не избежавшего теоретико-множественных парадоксов наивной теории множеств (известный парадокс Б. Рассела), и вместе с тем сохранило бы все достижения и методы классической математики в отличие от интуиционистов (Л. Э. Я. Брауэр), отказавшихся от понятия «актуальная бесконечность» в пользу абстракции «потенциальной бесконечности» и, как следствие, от базирующихся на законе исключенного третьего косвенных доказательств. Гильберт заявлял, что «все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно придти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию числа и притом с помощью метода, который я (Д. Гильберт) называю аксиоматическим». Известны губительные для программы Гильберта методологические истолкования результатов К. Гёделя (невозможность финитными средствами решить проблему непротиворечивости арифметики, принципиальная неполнота достаточно богатых исчислений), известны и критика этих истолкований, и модификации программы Гильберта. Однако, несмотря на столь важную для логики и методологии науки проблему, значимым остается эвристический потенциал идеи Гильберта рассматривать теории в качестве строго формализованных объектов.
В «Основаниях геометрии» Гильбертом осуществляется формальная аксиоматика, когда абстрагируются от конкретного содержания понятий, входящих в систему аксиом, и от природы предметной области. В основу формальной аксиоматики кладется система аксиом, затем из этих аксиом получают следствия, которые образуют теорию относительно любой системы объектов, удовлетворяющей положенным в основу аксиомам. Становится необходимым доказательство непротиворечивости формальной аксиоматики. Известно, что до Гильберта основным средством такого доказательства был метод моделей, который позволял непротиворечивость одной теории свести к непротиворечивости другой. Все же, дабы избежать «дурной бесконечности», для какой-либо теории доказательство непротиворечивости должно быть осуществлено непосредственно, путем указания системы объектов, удовлетворяющей формальной системе аксиом, что возможно (путем перебора) лишь в случае конечной предметной области, с бесконечными же предметными областями это невозможно.
Гильбертом было предложено доказывать непротиворечивость в отрицательном смысле: «для заданной системы аксиом А показать, что, исходя из нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна из которых является отрицанием другой». Такие доказательства осуществляются с помощью формализованной аксиоматики, представляющей, согласно программе Гильберта, формальную аксиоматическую систему, непротиворечивость которой и доказывается, в виде исчисления, т. е. через трансформацию правил логики в правила оперирования символами. Таким образом, аксиоматически построенной теории сопоставляется конструктивный объект особого рода – исчисление. Исчисление, взятое само по себе, не является системой знания, а процессы оперирования формулами – логическими процессами. Но поскольку исчисление имеет своей задачей отобразить систему знания, а правила исчисления -логику, то пользуются параллельной терминологией. Так говорят о доказуемых и выводимых формулах исчисления. Но здесь речь идет не о доказуемости или выводимости в собственно логическом смысле, а о том, может ли данная формула быть получена из таких-то и таких-то формул по определенным правилам.
Конечно же, в современной науке эвристическую ценность сохранили и формальные, и содержательные варианты аксиоматического построения теорий, и далеко не только в пределах логической проблематики. Например, в физике XX в., исходя из постулата о постоянстве скорости света и принципа относительности, А. Эйнштейн делает достоверными утверждения «парадокс близнецов» и «парадокс времени», настолько странные, что они, по словам одного из участников жарких споров вокруг выводов теории относительности, «при различных мнениях представляются либо как скандал, либо как чудо». А согласно сформулированной Н. Бором квантовой теории электрон в атоме испускает излучение исключительно при переходе с одной «орбиты» на другую, что не менее скандально, так как в корне противоречит устоявшимся положениям классической электродинамики. Однако произошедшая в XX в. деуниверсализация классической логики, когда возникли альтернативные концепции выводимости, носит все же самый фундаментальный характер, поскольку осознание того, что в основу теории могут быть положены различные, конкурирующие между собой логики, радикальным образом опроблематизировало сами основы построения теоретического знания и в конечном счете понятие рациональности. А. Г. Кислов
Совершим небольшой исторический экскурс, чтобы показать, что именно к аксиоматическому методу обращаются для разрешения тех или иных трудностей и противоречий становящихся теорий. Традиционно начинают с «Начал» Евклида, которые с давних пор заняли место классического примера аксиоматического построения знания, впрочем, справедливость этого широко распространенного взгляда нередко обоснованно оспаривается. Как бы то ни было, общие интенции Евклида вполне соответствуют эвристическим задачам аксиоматического метода, ярко выраженное своеобразие «Начал» позволяет считать, что этот текст занимает некое промежуточное положение между дотеоретической геометрией, представляющей собой ряд догматически поданных правил и рекомендаций к построениям, и геометрией, оформленной строго аксиоматически. Существуют относительно достоверные историко-культурные гипотезы, объясняющие причины, побудившие древних греков обратиться к аксиоматизации геометрии. Согласно Ван дер Вардену к необходимости строгого теоретического построения геометрии привела потребность в уточнении знаний. Основанием этой потребности послужило параллельное заимствование древними греками математических достижений вавилонян и египтян, причем получаемые сведения далеко не во всем совпадали.
Аксиоматический метод, таким образом, выступил в качестве своеобразного средства разрешения конфликта мнений. По другой версии (А. Сабо), также затрагивающей ключевую для древнегреческой философии оппозицию «мнение – знание», а потому вполне совместимой с предыдущей, аксиоматизация геометрии связана с реакцией на знаменитые апории Зенона Элейского, породившей стремление к точному, непротиворечивому употреблению таких понятий, как «часть», «целое», «равное» в случае бесконечных множеств. Обоснованность этих гипотез подтверждает вышеприведенный тезис об особом значении аксиоматического метода для преодоления трудностей становящейся теории, и таких подтверждений в истории науки встречается немало. Показательным примером, демонстрирующим обсуждаемые эвристические возможности аксиоматического подхода, является то, что И. Ньютон, опираясь на «метод принципов» вместо распространенного тогда «метода гипотез», в свое время смог с высокой точностью описать оптические явления и явления тяготения, хотя и природу света, и природу тяготения нельзя считать полностью проясненными даже на сегодняшний день. Аксиомы какой-либо теории не требуют своего доказательства в рамках самой теории, а принимаются по внешним, порой лишь гипотетическим, причинам, что и позволяет даже в отсутствии полного знания о сущности явления давать его точное теоретическое описание.
Приведенные примеры, как и многие другие подобные им опыты построения теорий, не сопровождались высоким уровнем методологической рефлексии, сам аксиоматический метод не был еще объектом теоретизирования. Переломным пунктом стало построение Н. И. Лобачевским «воображаемой» геометрии путем выделения в евклидовой геометрии четырех аксиом так называемой абсолютной геометрии и присоединения к ним утверждения, противоположного пятому постулату Евклида о параллельных прямых. Интерпретация такой геометрии не претендовала на естественность и несомненную очевидность, но новая система аксиом была непротиворечивой и потому полноценной в умозрительном смысле. «Скандал» в теоретической геометрии, потерявшей «очарование очевидности», привел к осознанию важности роли аксиоматического метода в науке и в качестве следствия спровоцировал более пристальное внимание к самому методу построения теорий. Эволюция аксиоматического метода насчитывает три этапа, которые могут быть охарактеризованы как содержательная, формальная и формализованная аксиоматики. Все рассмотренные выше теории относятся к содержательной аксиоматике, т. е . к теориям относительно некоторой системы объектов, известной до формулировки теории; аксиомы и выводимые из них теоремы говорят нечто об объектах изучаемой системы и могут расцениваться как истинные или ложные.
Переход к формальной и далее – к формализованной аксиоматике, осуществленный в пер. пол. XX в. с целью использования аксиоматического метода для разрешения методологических и логических трудностей в вопросах оснований математики, связан с именем Д. Гильберта. Программа Гильберта предполагала такое построение математики, которое было бы лишено противоречий логицизма (Г. Фреге), не избежавшего теоретико-множественных парадоксов наивной теории множеств (известный парадокс Б. Рассела), и вместе с тем сохранило бы все достижения и методы классической математики в отличие от интуиционистов (Л. Э. Я. Брауэр), отказавшихся от понятия «актуальная бесконечность» в пользу абстракции «потенциальной бесконечности» и, как следствие, от базирующихся на законе исключенного третьего косвенных доказательств. Гильберт заявлял, что «все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно придти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию числа и притом с помощью метода, который я (Д. Гильберт) называю аксиоматическим». Известны губительные для программы Гильберта методологические истолкования результатов К. Гёделя (невозможность финитными средствами решить проблему непротиворечивости арифметики, принципиальная неполнота достаточно богатых исчислений), известны и критика этих истолкований, и модификации программы Гильберта. Однако, несмотря на столь важную для логики и методологии науки проблему, значимым остается эвристический потенциал идеи Гильберта рассматривать теории в качестве строго формализованных объектов.
В «Основаниях геометрии» Гильбертом осуществляется формальная аксиоматика, когда абстрагируются от конкретного содержания понятий, входящих в систему аксиом, и от природы предметной области. В основу формальной аксиоматики кладется система аксиом, затем из этих аксиом получают следствия, которые образуют теорию относительно любой системы объектов, удовлетворяющей положенным в основу аксиомам. Становится необходимым доказательство непротиворечивости формальной аксиоматики. Известно, что до Гильберта основным средством такого доказательства был метод моделей, который позволял непротиворечивость одной теории свести к непротиворечивости другой. Все же, дабы избежать «дурной бесконечности», для какой-либо теории доказательство непротиворечивости должно быть осуществлено непосредственно, путем указания системы объектов, удовлетворяющей формальной системе аксиом, что возможно (путем перебора) лишь в случае конечной предметной области, с бесконечными же предметными областями это невозможно.
Гильбертом было предложено доказывать непротиворечивость в отрицательном смысле: «для заданной системы аксиом А показать, что, исходя из нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна из которых является отрицанием другой». Такие доказательства осуществляются с помощью формализованной аксиоматики, представляющей, согласно программе Гильберта, формальную аксиоматическую систему, непротиворечивость которой и доказывается, в виде исчисления, т. е. через трансформацию правил логики в правила оперирования символами. Таким образом, аксиоматически построенной теории сопоставляется конструктивный объект особого рода – исчисление. Исчисление, взятое само по себе, не является системой знания, а процессы оперирования формулами – логическими процессами. Но поскольку исчисление имеет своей задачей отобразить систему знания, а правила исчисления -логику, то пользуются параллельной терминологией. Так говорят о доказуемых и выводимых формулах исчисления. Но здесь речь идет не о доказуемости или выводимости в собственно логическом смысле, а о том, может ли данная формула быть получена из таких-то и таких-то формул по определенным правилам.
Конечно же, в современной науке эвристическую ценность сохранили и формальные, и содержательные варианты аксиоматического построения теорий, и далеко не только в пределах логической проблематики. Например, в физике XX в., исходя из постулата о постоянстве скорости света и принципа относительности, А. Эйнштейн делает достоверными утверждения «парадокс близнецов» и «парадокс времени», настолько странные, что они, по словам одного из участников жарких споров вокруг выводов теории относительности, «при различных мнениях представляются либо как скандал, либо как чудо». А согласно сформулированной Н. Бором квантовой теории электрон в атоме испускает излучение исключительно при переходе с одной «орбиты» на другую, что не менее скандально, так как в корне противоречит устоявшимся положениям классической электродинамики. Однако произошедшая в XX в. деуниверсализация классической логики, когда возникли альтернативные концепции выводимости, носит все же самый фундаментальный характер, поскольку осознание того, что в основу теории могут быть положены различные, конкурирующие между собой логики, радикальным образом опроблематизировало сами основы построения теоретического знания и в конечном счете понятие рациональности. А. Г. Кислов
Источник: История философии науки и техники.
МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ
способ построения теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к-рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к-рым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике – в учении о д е д у к ц и и; все понятия, с к-рыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа первоначальных понятий), вводятся на основе о п р е д е л е н и й, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия. Науки, к-рые строятся на основе М. а., называются дедуктивными; к последним в настоящее время относится математика, а также нек-рые разделы логики и физики (в частности, механика), тесно связанные с математикой. М. а. возник в др.-греч. геометрии, идущей от Фалеса, Пифагора и Платона. В антич. науке он достиг кульминации в соч. Эвклида "Начала", в к-ром излагается построение значит. части известной тогда геометрии на основе этого метода. В качестве аксиом при этом выбирались предложения, по возможности наиболее очевидные в силу пространств. интуиции. Стимулом к развитию М. а. послужило, по-видимому, стремление придать всем положениям геометрии эту же степень очевидности, что было связано с убеждением в безупречности тех приемов рассуждения, к-рые применяются в доказательствах. Рассуждения в геометрии и др. разделах математики необходимы – без них невозможно разобраться в сложных соотношениях между изучаемыми объектами. Введение М. а. открывало возможность упорядочения рассуждений и на этой основе устранения ошибок типа порочного круга, представляющих большую опасность в запутанных случаях. Кроме того, М. а. способствовал выяснению логич. связей между изучаемыми понятиями и придавал изложению науки строгость. Поэтому в дальнейшем неоднократно предпринимались попытки строить на основе М. а. и др. науки: философию (Спиноза), этнологию (Вико), политическую экономию (Родбертус), а также различные разделы физики. В наст. время известны попытки использования М. а. в биологии (англ. биологом Дж. Вуджером). Сфера применения М. а. ограничена теми науками, в к-рых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним четких предписаний формальной логики, а плодотворность М. а. проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчиненную роль. По этой причине попытки применения М. а. в философии (к-рая по самому существу занимается неформальным анализом понятий, при к-ром их нельзя рассматривать как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели. Говоря о развитии М. а., можно поэтому ограничиться М. а. в математике и математической логике. М. а. в математике прошел три стадии развития. Первая связана с появлением М. а. в антич. построении геометрии, к-рый представлялся здесь в виде нек-рого идеала. Однако М. а. не был достаточно разработан ни в "Началах" Эвклида, ни в к.-л. др. работе до 2-й пол. 19 в. Не существовало точного описания того, что следует понимать под логич. доказательством, и в рассуждения, наряду с силлогизмами, вторгались ссылки на геометрич. очевидность. Это относится особенно к утверждениям, связанным с непрерывностью геометрич. образов и их взаимным расположением в пространстве. С другой стороны, не было отчетливости во введении понятий. Введение первонач. понятий сопровождалось, напр. у Эвклида, различными разъяснениями, выглядевшими как попытки определения. Роль М. а. в математике начала особенно возрастать после того, как в сер. 19 в. Лобачевским и венг. математиком Я. Бойай была показана возможность строить геометрию на аксиомах, отличных от эвклидовых. С этого времени можно говорить о второй стадии в развитии М. а. Появилось много геометрич. и алгебраич. теорий, к-рые строились на основе М. а. Пеано первый предпринял (1889) далеко идущую попытку аксиоматизировать арифметику, впоследствии углубленную нем. ученым Д. Гильбертом и его учениками. В этот период происходило устранение недостатков, присущих М. а. др.-греч. ученых. В геометрии они были устранены в работах Паша, Гильберта и др. В конце 19 – нач. 20 вв. различные разделы математики подвергались аксиоматизации, причем в построении этих аксиоматич. систем участвовали (по большей части неявно) теоретико-множеств. концепции. С помощью последних первонач. понятия различных областей математики сводились к арифметич. понятиям, для которых в свою очередь была предложена теоретико-множеств. интерпретация. Т.о., практически вся математика была объединена на основе теории множеств Кантора. После того как последняя была аксиоматизирована (нем. математики Э. Цермело, 1908; А. Френкель, 1922–25), можно было считать, что М. а. распространился на всю математику. Параллельно шло развитие математич. логики, в к-рой М. а. также играет большую роль. Разработанная Гильбертом (1899) совр. аксиоматизация геометрии позволила нем. математику Ф.Клейну и Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского – Бойай относительно геометрии Эвклида. Это доказательство, основанное на важной идее интерпретации (или модели) аксиоматич. теории, состояло в указании способа истолкования понятий и предложений этой неэвклидовой геометрии в терминах эвклидовой. Метод интерпретации, предложенный Клейном – Пуанкаре для относит. доказательства непротиворечивости (или, как иначе говорят, для доказательства относит. непротиворечивости) геометрии Лобачевского – Бойай (т.е. для доказательства того, что эта геометрия непротиворечива, если непротиворечива др. известная теория, – в данном случае эвклидова геометрия), с тех пор получил широкое применение в основаниях математики и математич. логике для доказательства относит. непротиворечивости математич. и логич. теорий. Следует подчеркнуть, что в указ. доказательствах речь идет о доказательстве непротиворечивости системы аксиом. Вопрос о том, в какой мере данная система аксиом (напр., система аксиом Гильберта) точно соответствует тому, что обычно подразумевается под геометрией, оставляется при этом в стороне: это вопрос об отношении аксиоматич. теории к нек-рой области познания. О точности этого соответствия мы судим уже не на основании средств самого М. а., а при помощи критериев, носящих практический (в широком смысле) характер, а именно критериев, учитывающих успешность отображения в рассматриваемой аксиоматич. теории интересующих нас фактов из изучаемой области (в нашем примере – элементарной геометрии). С идеей интерпретации тесно связана др. важная для 2-й стадии развития М. а. (конец 19 – нач. 20 вв.) идея, к-рая состоит в том, что предметом изучения всякой аксиоматич. теории служит любая ее интерпретация. В самом деле, если все теоремы получаются из аксиом путем чисто логич. заключений, без использования к.-л. свойств понятий, кроме тех, к-рые содержатся в определениях и аксиомах, то, ввиду того что аксиомы во всякой интерпретации должны выполняться, теоремы данной аксиоматич. теории, в применении к рассматриваемой интерпретации, также могут быть доказаны путем соответствующих логических заключений. В этой концепции стирается грань между аксиомами и определениями. С одной стороны, вместо того, чтобы вводить к.-л. новое понятие посредством определения, можно присоединить его к числу первоначальных понятий и добавить соответствующую этому определению аксиому. Напр., вместо определения "ромб есть четырехугольник с равными сторонами", можно ввести понятие "ромб" в качестве первоначального, добавив аксиому: "четырехугольник является ромбом в том и только в том случае, если все его стороны равны"; класс доказуемых предложений – аксиом, определений и теорем – от этого не изменился бы (если игнорировать нек-рую несущественную для математики формально-грамматич. разницу между формулировками определения и аксиомы). С др. стороны, все понятия можно с помощью определений свести к первоначальным, и тогда в формулировках аксиом окажутся только первонач. понятия, соединенные логико-грамматич. связками. Т.к., кроме аксиом, при выводе теорем мы никакими др. свойствами первонач. понятий в рамках данной аксиоматич. теории не вправе пользоваться, то на аксиомы можно смотреть как на неявные определения первонач. понятий. Правда, при этом сохранится различие между явными и неявными определениями (см. Определение). Теперь на аксиомы уже не следует смотреть, как на очевидные предложения. Аксиомы, согласно рассматриваемой концепции М. а., – это неявные определения первоначальных понятий. Вместо данных аксиом мы могли бы принять другие; тогда мы рассматривали бы др. аксиоматич. теорию, к-рая считается эквивалентной данной, если классы доказуемых предложений в обеих теориях совпадают. Новый взгляд на аксиомы привел к расширению применимости аксиоматич. теорий, поскольку, помимо естеств. интерпретации, к-рая имеется в виду при построении каждой такой теории, последняя применима и ко всякой др. интерпретации. Так, естеств. интерпретацией для аксиоматич. элементарной геометрии служат точки, прямые и т.п. объекты наглядно воспринимаемого пространства, связанного с физич. действительностью. Но, помимо изучения этой интерпретации, аксиоматич. геометрия дает нам теперь теоремы, относящиеся, напр., к арифметич. интерпретации. Применение в классич. разделах математики таких абстрактных аксиоматич. теорий, как теория групп или полей или теория топологич. пространств, основано именно на методе интерпретации. В данном случае метод интерпретации содействует объединению различных разделов математики на основе абстрактных аксиоматич. теорий. В связи с аксиоматич. теориями возникает ряд задач общелогич. характера; рассмотрение этих последних содействовало дальнейшему совершенствованию М. а. и привело к возникновению 3-й стадии в его развитии. Важнейшие из этих задач – доказательство непротиворечивости, а также полноты данной аксиоматич. теории. Теория должна быть непротиворечивой, потому что в случае наличия в ней противоречия она не имеет интерпретаций и потому беспредметна. Полнота теории означает, что всякое предложение, к-рое можно в ней сформулировать, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е. вывести из аксиом само это предложение или его отрицание. Полнота теории имеет несколько меньшее значение, чем непротиворечивость, поскольку и неполная теория может давать важные сведения об изучаемых ею объектах. С проблемой полноты до нек-рой степени связана другая проблема – проблема разрешения (см. Разрешения проблемы), состоящая в нахождении метода, позволяющего установить, доказуемо ли в рассматриваемой теории ее произвольно данное предложение или нет. Еще один вопрос, к-рый возникает в связи с каждой аксиоматич. теорией, состоит в том, являются ли аксиомы данной системы независимыми (см. Независимость). Если к.-л. аксиома не является независимой, то среди аксиом есть лишние, а это затрудняет доказательство непротиворечивости и установление интерпретации для данной аксиоматич. теории. Третья, современная стадия развития М. а. началась с появления теории математич. доказательств Гильберта (1900–1904). Осн. понятия этой теории тесно связаны с математич. логикой, одним из достижений к-рой является создание языка, позволяющего записать любое математич. предложение в виде формулы. Логико-грамматич. связки разговорного языка: "если...то", "и", "или", "не", "каждый", "некоторые" выражаются при этом спец. символами, называемыми символами логич. операций. Первонач. понятиям аксиоматич. теории, выражаемым предикатами (сказуемыми) обычного разговорного языка, соответствуют при этом т.н. предикатные символы, с помощью к-рых символич. образом выражаются элементарные (т.е. неразложимые далее) предложения теории. Напр., предложение "точки а и в лежат на прямой с" можно выразить так: (((Р(а) &Р(в)) &G(c)) &In(а, в, с)), где Р(х) – (предикатный) символ, соответствующий предикату "х есть точка", G(y) – символ, соответствующий предикату "у есть прямая", а In(х, у, z) – символ, соответствующий предикату "х и у лежат на z" (& есть символ логич. связки "и"). Т.о., всякое предложение аксиоматич. теории может быть выражено в виде нек-рой формулы. Символич. язык теории задается символич. способом выражения каждого первонач. понятия теории; после этого всякое исходное предложение теории может быть выражено с помощью символов логич. операций. Это – т.н. нелогич. аксиомы. Помимо них, имеются логич. аксиомы, заимствованные из математич. логики. Те и др. аксиомы суть формулы. Из этих аксиом по определ. правилам, к-рые дает математич. логика и к-рые наз. правилами вывода, можно получить новые формулы. При этом все формулы рассматриваются как простые последовательности знаков. Аксиомы и правила вывода вместе называют иногда п о с т у л а т а м и. Хотя правила вывода и имеют чисто формальную структуру, они требуют (в отличие от аксиом и формул вообще) содержат. понимания. Аксиоматич. теории, рассматриваемые в рамках этой гильбертовской концепции, стали называть формализованными, или формальными, теориями. Анализ и изучение данной формальной теории содержательными средствами составили область исследований, к-рую наз. ее м е т а т е о р и е й. С помощью своей теории доказательств Гильберт стремился прежде всего доказать непротиворечивость таких аксиоматич. теорий, лежащих в основе математики, как арифметика и теория множеств. Спорные вопросы этих теорий связаны с понятием бесконечности (см. Математическая бесконечность). В теории доказательств Гильберта был получен ряд важных результатов. Одним из них является теорема Геделя о полноте классич. исчисления предикатов (1930), из к-рой следует, что непротиворечивые теории (в частности, теория множеств, если она непротиворечива) допускают интерпретацию [причем, в соответствии с результатом Левенхейма (1915), даже в области натуральных чисел ]. В теории доказательств произошел крутой поворот (1931), вызванный открытием Геделя, к-рый доказал неполноту широкого класса непротиворечивых формальных теорий (см. Метатеория). В 1936 Черч присоединил к этим результатам теорему о неразрешимости проблемы разрешения для таких теорий. Т.о., было обнаружено существование неразрешимых проблем в любой достаточно богатой средствами выражения (в частности, позволяющей выражать арифметику натуральных чисел) формальной теории. Это свидетельствует об ограниченности М. а. и о необходимости дополнить его др. путями установления математич. истин, а также истин тех наук, в к-рых М. а. играет определ. роль. В этом направлении особое значение имела (и до сих пор не утратила) интуиционистская математика (см. Интуиционизм) (заметим, что эту математику нельзя рассматривать как совокупность аксиоматич. теорий или как часть теории множеств). Ее средствами было получено удовлетворит. доказательство непротиво-речивости классич. арифметики. С появлением в 30-х гг. 20 в. строгого определения алгоритма возникло конструктивное направление в математике, к-рое также не сводится к М. а. Др. добавлением к М. а. является логическая семантика. Лит.: Каган В., Основания геометрии, [т. 1–2 ], О., 1905–07; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, пер. с нем., М.–Л., 1934; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Начала Эвклида, пер. с греч., [т. 1–3 ], М.–Л., 1948–50; Гедель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., в сб.: Успехи матем. наук, т. 3, вып. 1, M.–Л., 1948; Мостовский ?., Совр. состояние исследований по основаниям математики, там же, т. 9, вып. 3, М.–Л., 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библиогр.); Есенин-Вольпин А. С, Об аксиоматич. методе, "Вопр. философии", 1959, No 7; Генкин Л., О матем. индукции, пер. с англ., М., 1962; Ван Хао, Мак-Нотон Р., Аксиоматич. системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963; Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1964; Peano G., Arithmetices principia, nova metodo exposita, Torino, 1889, его жe, Sul concetto di numero, "Riv. Mathematica", 1891, v. 1, p. 87–102, 256–67: его же, Formulaire de math?matiques, t. 1–5, Turin, 1894–1908; Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Bd 1–2, Jena, 1893–1903; ?ermelo ?., Untersuchungen ?ber die Grundlagen der Mengenlehre, [Tl ], 1, "Math. Annalen", 1908, Bd 65; Skоlem T., Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begr?ndung der Mengenlehre, в кн.: Wissenschaftliche Vortr?ge gehalten auf dem F?nften Kongrees der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors von 4. bis 7. Juli 1922, Helsingfors, 1923; Whitehead ?. N. and Russel В., Principia mathematics, v. 1–3, 2 ed., Camb., 1925–27; Neumann J. von, Die Axiomatisierung der Mengenlehre, "Math. ?.", 1928, Bd 27; Gentzen G., Untersuchungen ?ber das logische Schliessen, "Math. Z.", 1934–35, Bd 39, S. 176–210, 405–31; Bernays P., Axiomatic set theory, with a historical introd. by A. A. Fraenkel, Amst., 1958; Stоll R. R., Sets, logic, and axiomatic theories, S. F.–L., [1961 ]; Сurry H. В., Foundations of mathematical logic, N. Y., [1963 ].
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.