логич. принцип, лежащий в основе определений через абстракцию и связывающий три типа универсалий - классы, свойства и отношения равенства (подобия). Согласно А. п., любое отношение равенства, определенное на нек-ром множестве, производит разбиение этого множества, т. е. делит, классифицирует его на попарно непересекающиеся и непустые части равных (в данном отношении) элементов. Указанные части наз. классами абстракции, а само разбиение (семейство этих классов) - фактор множеством по данному отношению. Являясь обобщением традиц. понятия классификации на случай произвольных отождествлений в произвольных множествах, эта форма A.n. выражает двойной процесс абстракции: во-первых, введение абстрактных понятий (видов) как классов равных, т. е. в к.-л. смысле одинаковых объектов (классов абстракции), во-вторых, введение понятия об «абстрактном» (произвольном) объекте такого класса, поскольку с т. зр. целей, определяющих выбор данного отношения равенства, каждый «конкретный» объект исходного множества понимается в качестве «абстрактного» представителя (носителя) свойства, общего всем элементам соответств. класса абстракции. Отсюда проистекает нетривиальное следствие А. п.- возможность заменять равенство в силу абстракции отождествления отношением тождества, когда принятым в этой абстракции свойством полностью исчерпывается информация об объектах исходного множества (т. е. когда свойство объекта и самый объект неразличимы). Это следствие используется, в частности, для получения стандартных универсумов s теории моделей. Известна и др. форма А. п. (ее часто называют принципом свертывания), утверждающая «существование» класса (множества) всех объектов, к-рые удовлетворяют произвольному свойству (предикату). А. п. в этой форме входит в число аксиом (теорем) абстрактной теории множеств. См. также Тождество, Экстенсиональность.
АБСТРАКЦИИ ПРИНЦИП
АБСТРАКЦИИ ПРИНЦИП
Источник: Советский философский словарь
ПРИНЦИП АБСТРАКЦИИ
логический (теоретико-множественный) принцип, лежащий в основе определений через абстракцию. Согласно П. а., любое отношение типа равенства, определенное на нек-ром множестве объектов, может служить для распределения (разбиения) объектов этого множества по попарно непересекающимся классам, наз. к л а с с а м и а б с т р а к ц и и (или классами разбиения, или классами эквивалентности) этого отношения, и таким, что любые два объекта разбиваемого множества принадлежат к одному и тому же классу абстракции в том (и только в том) случае, когда они находятся в указанном отношении; одновременно каждый элемент множества принадлежит к к.-л. классу абстракции (напр., множество всех живущих на земле людей отношением "х имеет одинаковый возраст с y" разбивается на непересекающиеся классы "живущих людей одинакового возраста"). В соответствии с т.н. аксиомой "существования классов" (аксиомой "свертывания"), позволяющей отождествлять классы и свойства (признаки), всякое, определенное для элементов разбиваемого множества, отношение типа равенства "выделяет" определенный вид признаков, характеризующих соответств. классы абстракции. Наоборот, всякое разбиение множества по известному виду признаков его элементов на классы абстракции (классы эквивалентных, или равных, по отношению к данному признаку элементов) "выделяет" нек-рое отношение типа равенства, а именно такое, в к-ром находятся любые два члена одного и того же класса абстракции. П. а. рассматривают обычно как одну из теорем об абстракции в классич. теории множеств, поскольку его формулировка сводится к утверждению о существовании множеств (классов), – абстрактных объектов, обладающих определ. свойствами. Однако посредством П. а. достигается и обратный процесс – избавление от абстракции, у д а л е н и е ее. Ведь, согласно осн. положению этой теории, класс абстракции может быть отождествлен со свойством, общим всем членам (предметам) данного класса. Но свойство это, в свою очередь, можно отождествить (и мы действительно на практике часто его отождествляем) с любым "конкретным" предметом (членом) этого класса (носителем свойства). Такое отождествление представляется даже более естественным, чем отождествление класса и свойства, в силу заведомо принимаемого, – по смыслу самого П. а., – quot;и н т е р в а л а а б с т р а к ц и и", согласно к-рому др. свойства этого предмета нас попросту не интересуют: они являются п о с т о р о н н и м и в данном анализе и п р а к т и ч е с к и их нет, если смотреть, так сказать, "изнутри" принятого интервала абстракции. Т.о., с т. зр. целей, определяющих выбор соответств. отношения типа равенства или соответств. свойства, каждый "конкретный" предмет, – элемент разбиваемого множества, при данном разбиении используется только в качестве "абстрактного" предмета, или, что то же – в качестве представителя (и заместителя) определенного (своего) класса абстракции. В этой своеобразной диалектике "абстрактного" и "конкретного", позволяющей вводить абстракции с одновременным указанием средств их удаления, состоит основное гносеологич. содержание П. а. Лит.: Кутюра Л., Филос. принципы математики, пер. с франц., СПБ, 1913, с. 45–46; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.–Л., 1948, с. 22–25; Шиханович Ю. ?., Введение в совр. математику, М., 1965, гл. 6, § 3, 4; Ajdukiewiсz K., Logika pragmatyczna, Warsz., 1965, s. 237–40. M. Новоселов. Москва.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.