СВОДИМОСТЬ

Найдено 2 определения
Показать: [все] [проще] [сложнее]

Автор: [российский] Время: [советское]

Сводимость
одна из форм выражения необходимой связи между элементами логической или научной теории вообще. Еще в аристотелевской силлогистике было развито сведение модусов фигур силлогизма к модусам первой фигуры. В математической логике, выраженной в форме дедуктивной теории, С. выступает как операция получения аксиом из соответствующих предложений теории. С. устанавливает рациональную связь между предложениями теории, имеющими различную степень общности. Поэтому она выступает как необходимый момент в процессе развития самой теории. Однако попытки сведения различных по своей конкретной природе теорий друг к другу всегда обречены на неудачу. Несостоятельными оказались, напр., попытки сведения закономерностей высших форм движения к низшим, сложных к простым, хотя всякая высшая форма движения, как подчиненный момент, содержит низшую. Стремление объяснить свойства и закономерности более сложных систем закономерностями более простых систем -характерная черта метафизического метода мышления. Это, разумеется, вовсе не означает отрицания относительной роли низших форм движения в изучении высших.

Источник: Философский словарь. 1963

СВОДИМОСТЬ
отношение между понятиями (предложениями, задачами, теориями и др.), играющее важнейшую роль в логике и математике; означает возможность редукции (свед?ния) одного понятия к другому (аналогично для предложений, задач и др.). Интуитивное понимание термина "С." целиком соответствует его этимологии; напр., задача А, по определению, сводится к задаче В, если из решения задачи В может быть получено решение задачи А. Для того же, чтобы этому пониманию придать вполне точный смысл, необходима точная характеристика допустимых методов свед?ния, требующая привлечения понятий теории алгоритмов. Понятие а л г о р и т м и ч е с к о й С. стало играть особенно важную роль в математической логике со времени получения первых результатов, относящихся к разрешения проблеме (А. Черч, Э. Пост, ?. Марков и др.). В качестве примера несколько другого уточнения понятия С. может служить предложенное сов. математиком Ю. Т. Медведевым понятие С. массовых проблем. Пусть решение к.-л. матем. задачи А связано с выполнением бесконечной серии элементарных актов, подчиненных нек-рому (зависящему от А) условию, причем каждый элементарный акт любой серии можно эффективно охарактеризовать нек-рым натуральным числом. Каждая такая серия Sa={a1, а2, ...} дает вариант решения, а совокупность всех Sa образует полностью определяющий А класс ?A. Задачи такого рода Медведев и наз. массовыми проблемами. Всякой серии Sa соответствует такая функция f(x), что для любого натурального числа n натуральное число f(n) характеризует акт аn; классу РA соответствует класс {f} таких "разрешающих функций" массовой проблемы А, полностью ее определяющий: А = {f}. Обратно, всякий класс А, состоящий из функций от натурального аргумента с натуральными значениями, определяет массовую проблему: построить функцию f?A. Если А – проблема разрешения, то соответств. класс состоит из одного элемента. Массовая проблема, для к-рой существует общекурсивная функция (см. Рекурсивные функции и предикаты) f?A, наз. разрешимой, в противном случае – неразрешимой. Наконец, массовая проблема В = {g}, по определению, сводится к массовой проблеме А = {f}, если существует такой частично-рекурсивный оператор R, что для всех f?A Rf = g?В (где g зависит от f). Это понятие С. позволяет частично упорядочить (см. Порядка отношение) класс массовых проблем при помощи естественно вводимого понятия степени трудности (это делается обычным способом разбиения на классы эквивалентности, каждый из к-рых содержит взаимно сводимые массовые проблемы, причем сами эти классы и наз. степенями трудности). Каждой логико-арифметич. формуле можно сопоставить массовую проблему, степень трудности к-рой характеризует "степень неконструктивности" утверждаемого этой формулой высказывания (в частности, конструктивно истинным формулам соответствуют разрешимые массовые проблемы, и обратно). Понятие С. (как в естественном, интуитивном, так и в алгоритмич. смысле), прилагаемое к практически неогранич. кругу проблем науки и мышления вообще, играет основополагающую методологич. роль в каждой области знания. Так, напр., идея дедуктивного построения теории, при к-ром понятия теории определяются исходя из перечня первичных (исходных, неопределяемых) терминов, а предложения выводятся из аксиом, по существу целиком базируется на концепции С. [см. подробнее Метод аксиоматический, Вывод (в математич. логике), Определение]. Аналогично, в эмпирич. науках постоянно (хотя и не всегда в явной форме) пользуются идеей С. к данным наблюдения и опыта. Можно, конечно, говорить и о промежуточных, "эмпирико- дедуктивных" модификациях С. О т.н. аксиомах сводимости – см. Типов теория. Лит. см. при статьях Алгоритм, Массовая проблема. Ю. Гастев. Москва.

Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.

Найдено научных статей по теме — 1

Читать PDF
256.07 кб

Аксиома сводимости, теория типов Ф. П. Рамсея и реализм в математике

Суровцев В. А.
В статье рассматриваются обоснованность аксиомы сводимости, метод её элиминации, предложенный Ф.П. Рамсеем, и онтологические основания этого метода.

Похожие термины:

  • АКСИОМА СВОДИМОСТИ

    одна из аксиом логики и математики. Согласно А. с. любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа, т.е. высказыванию о свойствах изучаемых объектов. С ее по