НЕПРОТИВЛЕНИЕ ЗЛУ НАСИЛИЕМНЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Непротиворечивость

Найдено 7 определений термина Непротиворечивость

Показать: [все] [краткое] [полное] [предметную область]

Автор: [отечественный] [зарубежный] Время: [советское] [постсоветское] [современное]

Непротиворечивость

Никому еще не удавалось создать философию, которая была бы одновременно правдоподобной и внутренне непротиворечивой. К правдоподобию стремился Локк, но достиг его лишь за счет непротиворечивости.

Большинство же великих философов поступали наоборот.

Философия, не свободная от внутренних противоречий, не может быть полностью истинной, но непротиворечивая философия вполне может оказаться полностью ложной.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философский словарь разума, материи, морали

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

в логике одно из осн. требований к формальным теориям и вообще к научному знанию. В каждой относительно обособленной теории (или системе знания) не могут одновременно выводиться некоторое предложение и его отрицание. Нарушение этого требования делает возможным в такой теории доказательство любого предложения и приводит к потере ею своей научной ценности, т.е. фактически к ее разрушению. Положение о логической непротиворечивости требует неукоснительной последовательности рассуждения.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философский энциклопедический словарь

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

одно из осн. требований, предъявляемых к знанию, в частности к научному знанию: в каждой относительно обособленной системе знания не могут одновременно выводиться нек-рое предложение и его отрицание. Нарушение этого требования той или иной научной теорией приводит к ее разрушению, т. к. в ней оказывается возможным доказать любое предложение. Диалектический закон единства и борьбы противоположностей, означающий необходимость раскрытия объективных противоречий развития объектов, и требование Н. знания не исключают друг друга. Положение о логической Н. касается способа представления знания и требует последовательности рассуждения (Противоречия закон. Непротиворечивость аксиоматической теории).

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философский энциклопедический словарь

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

- свойство предложений некоторой теории (в случае аксиоматической теории - системы ее аксиом), заключающееся в невыводимости из них противоречия. Если отрицание какого-то предложения может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость теории означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто.

Требование Н. является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая теория заведомо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается.

Во многих теориях имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится "доказуемым" все что угодно и понятие доказательства теряет смысл. Применительно к таким теориям требование Н. равносильно условию, что в теории имеется хотя бы одно недоказуемое высказывание. Н. одной теории может быть доказана через другую теорию, Н. которой гарантирована. Однако такое доказательство обладает лишь относительной убедительностью. Для простых теорий, таких, как исчисление высказываний, доказательство Н. не представляет труда. В более сложных теориях оно обычно сводится к интерпретации в терминах теории множеств. Для сложных теорий, напр. арифметики и самой теории множеств, отыскание подходящей теории, которая сама была бы непротиворечивой и вместе с тем могла бы использоваться для доказательства их Н., представляется задачей скорее всего безнадежной. Это указывает на нетривиальность проблемы Н., ее трудность и глубину.

В реальных, достаточно сложных научных теориях, в том числе в теориях самой логики, могут встречаться противоречия. В связи с этим в последние десятилетия большое внимание привлекают логические системы, в которых из противоречия невыводимо произвольное высказывание. Обнаружение противоречия в опирающейся на такую систему теории не означает, что в ней становится доказуемым все что угодно (см.: Паранепротиворечивая логика).

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Словарь по логике

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ,

совместимость, корректность, выполнимость, свойство системы предложений к.-л. теории (или системы формул нек-рого исчисления), заключающееся в том, что из этих предложений (формул) с помощью логич. средств данной теории (соответственно правил вывода данного исчисления) нельзя вывести противоречие, т. е. пару предложений, каждое из к-рых является отрицанием другого (в формальных исчислениях - формулу А&А, т. е. конъюнкцию произвольной формулы А и ее отрицания, интерпретируемую как «А и неА»). Термин «Н.» употребляют преим. по отношению к совокупности нек-рых (содержательно понимаемых или формальных) аксиом или же по отношению ко всей теории (исчислению), базирующейся на данных аксиомах, т. е. к совокупности всех предложений (формул), выводимых из них. Применительно к широкому классу теорий и исчислений, для к-рых справедлив принцип «из лжи следует любое предложение» или к.-л. его формальный аналог. Н. равносильна наличию хотя бы одного невыводимого предложения (недоказуемой формулы). Это свойство, с одной стороны, показывает важность понятия Н. (не обладающие свойством Н. противоречивые теории действительно некорректны, тривиальны, бессодержательны, поскольку любое их предложение - как содержательно истинное, так и содержательно ложное - равно оказывается «доказуемым», т. е. понятие доказательства в них совершенно обесценивается), а с другой - может быть положено в основу самого понятия Н., позволяя определить его как наличие в данной системе хотя бы одного недоказуемого предложения (или формулы). Каждая содержат. логич. или математич. теория предполагается непротиворечивой. Однако обнаружение парадоксов (антиномий, противоречий) в теории множеств (а следовательно, и во всей базирующейся на ней т. н. классич. математике) показало нетривиальность проблемы Н., ее важность, трудность и глубину для логики и математики. Трактовка понятия Н. и пути разрешения связанных с ним трудностей существенно различны в различных школах оснований математики и логики (см. Логицизм, Формализм, Интуиционизм, Конструктивное направление). См. также статьи Аксиоматический метод, Метатеория и лит. к ним.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Советский философский словарь

непротиворечивость

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ — свойство совокупности утверждений, состоящее в отсутствии среди выводимых из этой совокупности противоречащих друг другу утверждений или противоречащего подразумеваемому истолкованию утверждений. В логических исчислениях Н., как правило, означает отсутствие среди выводимых формул одновременно формул А и -iA, т.е. некоторого утверждения и его отрицания (синтаксическая Н.). В логических исчислениях, содержащих схему -А -> (А - В) («из противоречия следует все что угодно») и правило вывода modus ponens («из утверждений А и А -> В следует утверждение В»), это эквивалентно тому, что есть утверждение, которое не выводимо в данном исчислении. Это дает возможность определять Н. исчислений, не содержащих отрицания: исчисление непротиворечиво, если множество выводимых в нем формул не совпадает с множеством всех формул (др. словами, не является сверхполным). Н. в логических системах (как формальных, так и неформальных) выступает в виде закона противоречия (или закона отсутствия противоречия, или закона непротиворечия): никакое утверждение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием; или, в др. терминах, никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Семантическая Н. теории означает наличие модели этой теории. Теорема Геделя о полноте может быть сформулирована в терминах Н.: теория первого порядка синтаксически непротиворечива тогда, и только тогда, когда она семантически непротиворечива. Существуют синтаксически непротиворечивые, но семантически противоречивые теории более высоких порядков; близки к ним ш-противоречивые теории, в которых для некоторой формулы <рх) и всякого предмета подразумеваемой интерпретации (напр., всякого натурального числа п) справедливо утверждение < р ( и ), однако справедливо и утверждение -iVx<p(x) («свойством обладают не все предметы»).         Обоснование Н. логического исчисления (логической системы, теории) — одна из первых проблем, стоящих перед создателями любой теории. Д. Гильберт считал Н. (в рамках рассматриваемой теории) утверждения о существовании математического объекта достаточным условием его наличия, оправдывая использование в математике чистых теорем существования.         Доказательство противоречивости теории является основой метода рассуждения от противного: доказывая выводимость в теории Т (принадлежность ей) утверждения ф, мы рассматриваем результат присоединения -1 < р к Т, и если это дает противоречивую теорию, делаем вывод, что ф выводимо в Т. Попытки доказательства противоречивости теории с целью получения доказательства от противного могут, в случае неуспеха, иметь эвристическую ценность. Так, созданию геометрии Лобачевского предшествовали многочисленные исследования результатов замены пятого постулата геометрии Евклида его отрицанием с недостигнутой целью получения противоречия. В дальнейшем была доказана относительная Н. обеих геометрий: если противоречива геометрия Лобачевского, то противоречива и геометрия Евклида, и наоборот. Относительная Н. теорий является неотъемлемой частью современных исследований; напр., в аксиоматической теории множеств, когда у нас нет какой-либо естественной общепринятой модели. Но и в случае, когда такая модель есть, как для аксиоматической арифметики (стандартная модель арифметики), разумны сомнения в ее понимании ввиду заложенной в модели бесконечности; поэтому желательны доказательства Н. теорий без апеллирования к модели, финитные доказательства на основе достаточно слабой теории, чтобы не вызывать сомнений в Н. Из второй теоремы Геделя о неполноте следует, что для доказательства Н. достаточно сильных (напр., содержащих аксиоматическую арифметику) непротиворечивых теорий требуются еще более сильные теории.         Отказ от схемы -А -> (А - В) приводит к построению активно исследуемых в последние десятилетия паране-противоречивых логик, в которых могут быть выводимы пары утверждений вида А и -А, но не выводимы все утверждения. Это соответствует человеческому рассуждению при противоречивой информации.         A3. Чагров         Лит.: Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М, 1994; Гладкий А.В. Введение в современную логику. М., 2001; Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Энциклопедия эпистемологии и философии науки

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

свойство дедуктивной (в частности, формальной) теории, содержащей понятие (символ) отрицания, состоящее в том, что в ней не доказуемо никакое противоречивое предложение (формула; в дальнейшем под "предложением" будут пониматься как высказывания, выражающие суждения, так и формулы исчислений), т.е. предложение вида А&А ("А и не-А"), или (что то же самое) в ней нельзя доказать двух теорем, одна из к-рых является отрицанием другой (термин "Н." относят иногда и к недедуктивным теориям – в таком же смысле, но с заменой понятия "доказуемость" на к.-л. др. подходящее к рассматриваемому случаю понятие; аналогичным образом говорят о Н. концепций, точек зрения и т.п., подразумевая под этим отсутствие – или невозможность – противоречия). Наличие (или возможность) противоречия (противоречивость) дедуктивной теории, построенной в соответствии с логикой, включающей принцип А&A?B ("из противоречия следует любое утверждение") и правило modus ponens: А, A?BВ, означало бы, что любое предложение, сформулированное на языке этой теории, доказуемо (т.е. является ее теоремой). Подавляющее большинство дедуктивных теорий строится на основе классич. логики или интуиционистской логики (см. Логика высказываний, Интуиционизм), включающих указ. принцип, так что для таких теорий наличие недоказуемого предложения может быть принято за определение Н. В этом случае становится более отчетливым значение понятия Н. – теория, в к-рой доказуемо любое утверждение, не представляет никакого практич. интереса, поскольку доказуемость есть в нек-ром смысле реализация (более или менее приблизительная) интуитивных, содержательных представлений об истинности. Если логика рассматриваемой дедуктивной теории не содержит принципа А&A?B, но включает все принципы минимальной логики, то, поскольку в последней содержится (доказуем) принцип А&A?B ("из противоречия следует отрицание любого утверждения"), противоречивость такой теории делает ее по существу столь же бессодержательной, как и в классич. и интуиционистском случаях, т.к. всякое ее предложение оказывается опровержимым. Если, наконец, рассматривать еще более ограниченные дедуктивные теории, основанные на не содержащей отрицания положительной логике, то для них первые два из данных выше определений Н. теряют смысл, но третье (существование недоказуемого предложения) сохраняет силу и также является необходимым условием их (теорий) "осмысленности" (понимаемой как соответствие к.-л. "содержательной ситуации", не всякое утверждение о к-рой является истинным). Н. дедуктивной теории есть д о с т а т о ч н о е условие того, чтобы она могла представлять "практический" (в том или ином смысле) интерес: Н. означает логическую возможность ситуации, описываемой этой теорией. Поскольку описываемая теорией "ситуация" лежит в н е самой теории, упоминавшееся до сих пор понятие в н у т р е н н е й (или с и н т а к с и ч е с к о й, или л о г и ч е с к о й) Н. оказывается тесно связанным, с т.н. в н е ш н е й (или с е м а н т и ч е с к о й) Н., заключающейся в том, что в теории не доказуемо никакое предложение, противоречащее фактам той (реальной или воображаемой) "действительности", к-рая отображается этой теорией (роль "действительности" при этом может играть к.-л. др. дедуктивная теория, и тогда внешнюю Н. можно понимать как Н. относительно этой теории – как о т н о с и т е л ь н у ю Н.). Конечно, понятия внутренней и внешней Н. не совпадают – хотя бы потому, что верное в "действительности" предложение вовсе не обязательно должно быть доказуемо в рассматриваемой теории (см. Полнота). В то же время понятия эти тесно связаны: согласно теоремам Геделя о полноте предикатов исчисления и теоремам Левенхейма – Сколема о существовании с ч е т н о й м о д е л и, каждая непротиворечивая дедуктивная теория (основанная на классич. исчислении предикатов) выполнима в области натуральных чисел (т.е. имеет в этой области интерпретацию, или модель). Т.о., из внутр. Н. достаточно широкого класса теорий вытекает их внешняя Н. (интерпретируемость, или, как иногда говорят, реализуемость). Метод интерпретаций (моделей), построенных средствами к.-л. др. теории, Н. к-рой в силу к.-л. соображений предполагалась известной (или фигурировала в качестве гипотезы для условного утверждения), долгое время был единств. способом доказательства Н. Обнаружение парадоксов (антиномий) теории множеств (средствами к-рой, в конечном счете, строились все модели в доказательствах относительной Н.) обусловило потребность в новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методах доказательства "абсолютной" (внутренней) Н., к-рые сами являлись бы в известном смысле абсолютными. Именно в порядке удовлетворения этой потребности возникла новая логико-матем. дисциплина, названная м е т а м а т е м а т и к о й (о к-рой подробнее см. Метатеория, Метод аксиоматический). (Проблема доказательства Н. встала и по отношению к логическим исчислениям, играющим осн. роль в предложенной Расселом и Уайтхедом логицистич. программе обоснования математики – см. Логицизм, Типов теория.) Однако, как показал К. Гедель (1931), для достаточно богатых (содержащих арифметику и, тем более, теорию множеств) дедуктивных теорий, использующих лишь "финитные" (т.е. состоящие из конечного числа шагов – ср. Бесконечная индукция) правила вывода, их Н. непременно влечет за собой их неполноту. Из этой т.н. 1-й теоремы Геделя получается важное следствие (2-я теорема Геделя), согласно к-рому Н. такого рода теорий может быть доказана лишь средствами, не отобразимыми в самих этих теориях; для таких теорий разрешения проблема также оказывается неразрешимой (о гносеологич. значении результатов Геделя см. Метатеория). Впрочем, и после результатов Геделя сохранили свое значение доказательства относительной Н., важными примерами к-рых являются результаты Геделя о Н. (совместимости) аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы (1940) и П. С. Новикова (1943, 1951), а также тесно связанная с Н. проблема независимости аксиоматических теорий и отдельных аксиом. Интунционисты и представители конструктивного направления в математике и логике, в отличие от последователей концепции Гильберта (и логицистов), придают Н. гораздо меньшее значение, не считая ее, прежде всего, достаточным основанием для признания осмысленности дедуктивной теории. (Это, впрочем, не помешало им получить ряд интересных и глубоких результатов о взаимной относительной Н. интуиционистских и классич. теорий – ср. Интуиционизм.) Вообще для исследований последних лет в области оснований математики характерно перенесение внимания с проблем Н. на др. вопросы, в частности связанные с семантикой логико-матем. исчислений. Все отчетливее проявляется тенденция к ревизии устоявшихся представлений о Н. (по крайней мере в рассматривавшемся до сих пор смысле этого понятия) как необходимом атрибуте любой матем. теории. Так, в рамках развиваемой сов. математиком А. С. Есениным-Вольпиным т.н. ультраинтуици- онистской концепции, в ходе осуществления к-рой ему удалось получить (выходящее за рамки арифметизируемых теорий и не подверженное потому возражениям, связанным с результатами Геделя) обоснование (Н.) нек-рых систем теории множеств, проводится мысль об о т н о с и т е л ь н о с т и понятия Н. и др. понятий традиц. математики и метаматематики и о возможности плодотворного использования для матем. нужд теорий, противоречивых в традиц. смысле, но с т. зр. указ. концепции содержащих лишь "кажущиеся" (не осуществимые допускаемыми этой концепцией методами) противоречия. Осн. роль в этих рассмотрениях играют: отказ от характерного для всей традиц. математики (включая интуиционистскую и конструктивную) абс. признания абстракции потенциальной осуществимости и даже абстракции отождествления, допущение о существовании различных неизоморфных между собой натуральных рядов (противоречащее общепринятым представлениям лишь постольку, поскольку последние исходят из молчаливого допущения о категоричности системы аксиом натурального ряда, т.е. об изоморфизме натуральных рядов), отказ (в связи со сказанным) от абс. признания принципа математической индукции, с одной стороны, и пользование (в метатеории) бесконечной индукцией – с другой, и т.п. Все эти идеи существ. образом связаны с анализом и пересмотром вопросов, относящихся к модальностям, далеко выходящими за традиц. рамки модальной логики. В математической логике наряду с Н. рассматривается также понятие ?-непротиворечивости (?-?.). Теория, содержащая арифметику, наз. ?-противоречивой, если для нек-рого свойства ? натуральных чисел в этой теории доказуемо каждое из предложений Р(0), P(1), ..., ?(n) [т.е. "0 обладает свойством Р", "1 обладает свойством Р", ..., "n (для любого n) обладает свойством Р" ... ] и, кроме того, доказуемо предложение ?nР(n) ["не все n обладают свойством Р" ], что в классич. исчислении предикатов эквивалентно ?nР(n) – "существует n, не обладающее свойством Р". ?-противоречивость теории не обязательно влечет ее противоречивость; примером ?-противоречивой, но непротиворечивой теории может служить любая непротиворечивая, включающая арифметику, теория, не содержащая символа Р, расширенная затем за счет введения этого символа нечетного множества теорем ?nР(n),Р(0),Р(1), Первый пример такой теории был указан А. Тарским. ?-?. была одним из предположений в первонач. доказательстве 1-й теоремы Геделя [амер. математику Дж. Б. Россеру (1936) удалось усилить теорему Геделя, заменив в ней условие ?-?. на более слабое условие H. ]. Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется библ.); Гедель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, вып. 1 (23); Novikoff P. S., On the consistency of certain logical calculus, "Матем. сборник", 1943, т. 12 (54), No 2; его же, О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38; Gentzen G., Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, "Mathematische Annalen", 1936, Bd 112, H. 4; eго же, Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsf?llen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie, там же, 1943, Bd 119, H. 1; Hilbert D. und BernaysP., Grundlagen der Mathematik, Bd 1–2, В., 1934–39; G?del К., ?ber formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter System I, "Monatsh. Math. und Physik", 1931, Bd 38.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.

Найдено схем по теме Непротиворечивость — 0

Найдено научныех статей по теме Непротиворечивость — 0

Найдено книг по теме Непротиворечивость — 0

Найдено презентаций по теме Непротиворечивость — 0

Найдено рефератов по теме Непротиворечивость — 0