МОНОТОННОСТЬ

от греч. ????????? – однотонный) – свойство нек-рых логических или математических операций (функций), состоящее, грубо говоря, в том, что направление возможного изменения результата операций зависит только от направления изменения того, над чем эта операция производится. Одним из наиболее известных примеров М. является след. свойство сложения действит. чисел: если ??b, то а+с?b+с; вообще, если а?b и c?d, то а+с?b+d. Иначе говоря, при увеличении или неизменности слагаемых сумма т о ж е увеличивается или остается неизменной. Другим примером М. является то свойство функции f(x)=–x, что из а?b следует f(a)?f(b). Вообще, функция g(x), определенная на области всех или нек-рых действит. чисел и имеющая своими значениями тоже лишь действит. числа, наз. м о н о т о н н о й, если имеет место, по крайней мере, одно из двух: 1) для всяких a и b (из области определения функции) из а?b следует g(a)?g(b), 2) для всяких a и b из а?b следует g(a)?g(b). В первом случае функция g наз. возрастающей, или изотонной, а во втором случае – убывающей, или антитонной. Если функция g(x) и h(x) монотонны, то и функция g(h(x)) тоже монотонна. Для удобства обобщения этой теоремы на случай неск. переменных термин "М." часто (особенно в логике) употребляют в более узком смысле, относя его лишь к первому случаю. При этом М. функции g(x1, x2, ..., хn) (точнее, ее изотонность) определяется как след. свойство: для всяких а1, а2, ..., аn, b1, b2, ..., ..., bn из того, что а1?b1, a2?b2, ..., an?bn, следует g(а1 а2, ..., аn) ?g (b1, b2, ..., bn). Благодаря обычному в алгебре логики отождествлению значения "истина" с числом 1, а значения "ложь" – с 0, понятие М. становится применимым к функциям алгебры логики. Напр., для всяких А, В, С и D (равных 0 или 1) из того, что А?В и C?D, следует A/C?B/D. T. е. (неразделительная) дизъюнкция является изотонной функцией. Изотонными являются также конъюнкция, константы 0 и 1 (рассматриваемые как функции; напр., g0 (A)=0), а также все функции, представимые через конъюнкцию и дизъюнкцию (напр., медиана (А, В, С)=АВ/АС/ВС). Других изотонных функций алгебры логики не существует. Отрицание А оказывается убывающей функцией: из A?B следует А?В. Т. к. здесь отношение A?B эквивалентно истинности материальной импликации A?B, то эти примеры М. можно оформить в виде след. формул логики высказываний, формально выражающих законы М. для соотв. операций: (A?B) ?((С?D) ? ((A/C) ? (B/D))), (A?B) ? ((C?D) ?((A&C) ? (B&D))), (A?B) ? (В?А)) и т.п. Последняя из выписанных формул выражает также контрапозиции закон. А вместо первых двух - для выражения законов М. обычно (учитывая коммутативность операций и транзитивность отношения A?B и связанной с ним импликации) употребляют более простые формулы: (A?B) ? ((A/C) ? (B/C)) и (A?B) ?((A&C) ? (B&C). Аналогичные законы (выражаемые теми же формулами) имеют место также в конструктивной логике и в минимальной логике. Сходные законы имеются и для операций объединения и пересечения множеств: если AB, то ACBC и A?CB?C(, и ? являются соответственно знаками включения, объединения и пересечения). В предикатов исчислении имеются похожие законы для кванторов, выражаемые формулами ?x (A(x) ? B(x)) ? (?x A(x) ? ?x B(x)) и ?x (A(x)? B(x)) ? (?xA(x) ? ?xB(x)). Чтобы все эти и нек-рые др. законы можно было тоже рассматривать как законы М. и, используя их в рассуждениях аналогично обычным, исследовать общие законы таких рассуждений, производят обобщение понятий М. Один из вариантов обобщения состоит в том, что понятие М. распространяется на те случаи, когда вместо области действит. чисел с обычным в ней отношением а?b берется любая область предметов с нек-рым отношением, квазиупорядочивающим последнюю, т.е. удовлетворяющим законам рефлексивности и транзитивности (см. Порядка отношение). Для вышеприведенных примеров это - область высказываний с отношением импликации (A?B) данной логики, или область множеств с отношением включения (AB), или область предикатов с отношением т.н. формальной импликации [?x1 ?x2... ?xn(U?B), где x1, x2, ..., хn –список всех переменных, от к-рых зависит U или зависит B]. Дальнейшее обобщение, связанное с отказом от требований рефлексивности и транзитивности и рассмотрением не только двуместных отношений, приводит к общему понятию сохранения предиката. Лит.: ?арский ?., Введение в логикуи методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.–Л., 1948; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Труды Математич. ин-та им. В. А. Стеклова, [т.] 51, М., 1958, с. 16–29, 77–137, 174–77; ?овиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959; Математика в СССР за сорок лет (1917–1957), т. 1, М., 1959, с. 102–108; Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962. А. Кузнецов. Москва.