МИНИМАЛЬНАЯ ЛОГИКА,

система логич. правил, не использующая не только принципа исключенного третьего (или закона снятия двойного отрицания) классич. математич. логики, но и приемлемого, с т. зр. интуиционистской логики и конструктивной логики, принципа, согласно к-рому "из противоречия следует все что угодно". Т.о., М. л. является результатом дальнейшего (после интуиционизма) пересмотра (с т. зр. всеобщей применимости) принципов классич. логики. Формализациями М. л. служат прежде всего минимальное исчисление высказываний и с ч и с л е н и е п р е д и к а т о в. Минимальное исчисление высказываний может быть, напр., описано след. схемами аксиом (с единств. правилом вывода modus ponens): 1) A ? (B ? A), 2) (A ? В) ? ((А ? (В ? С) ? (А ? С)), 3) А ? (В ? А & В), 4) A & B ? A, 5) А & В ? В, 6) А ? А / В , 7) В ? А / В, 8) (А ? С) ? ((В ? С) ? (А / В ? С)), 9) (А ? В) ? ((А ? В) ? А). Добавление к этой (или любой эквивалентной ей) системе схемы аксиом А?(А ?В) (интерпретируемой как "из противоречия следует все что угодно") или (дедуктивно) эквивалентной ей формулы A/A?(A?A) приводит к интуиционистскому (гейтинговскому, конструктивному) исчислению высказываний, а добавление схемы ??? ("закона снятия двойного отрицания") – к классическому. В минимальном исчислении высказываний, более слабом, чем оба вышеуказ. исчисления, можно все же проводить доказательства от противного [2-го вида, см. Косвенное доказательство– это позволяет делать схема аксиом 9), интерпретируемая как "закон приведения к абсурду" ]. Аналогично классич. и интуиционистскому исчислению высказываний минимальное исчисление высказываний может быть расширено до минимального исчисления предикатов. Средствами последнего (хотя это явно и не оговаривается) проводятся доказательства непротиворечивости классич. арифметики, предложенные нем. математиками Г. Генценом (1936, 1938) и К. Шютте (1951), а также П. С. Новиковым (1943). Минимальное исчисление предикатов систематически используется в качестве логич. базы метатеории в работах по т.н. ультраинтуиционистскому обоснованию математики. Система, получающаяся из минимального исчисления высказываний (предикатов) отбрасыванием схемы аксиом 9), наз. положительным исчислением высказываний (соответственно предикатов). В положит. исчислении высказываний, являющемся формализацией положительной логики, могут быть доказаны все теоремы минимального (и интуиционистского) исчисления высказываний, не содержащие операции отрицания. Если добавить к исходному базису положит. исчисления произвольную постоянную формулу f ("пропозициональную константу") и определить отрицание так: A ? A ? f, где А – формула, то в полученном т.о. исчислении будут выводимы все формулы минимального исчисления. Схема аксиом 9) оказывается тогда просто частным случаем схемы 2). Константу f можно (но необязательно) интерпретировать как "ложь". Лит.: Колмогоров А. Н., О принципе tertium non datur, Математ. сб., т. 32, вып. 4, М., 1925, с. 646–67; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 94, 490–91; Johansson J., Der Minimalkalk?l, ein reduzierter Formalismus, в кн.: Compositio Mathematica, v. 4, fasc. 1, Groningen, 1937; Wajsberg M., Untersuchungen ?ber den Aussagenkalk?l von A. Heyting, "Wiadomo?ci Mathematyczne", 1939, t. 46. Ю. Гастев. Москва.