МЕТАТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕМЕТАТРОН

МЕТАТЕОРИЯ

Найдено 7 определений термина МЕТАТЕОРИЯ

Показать: [все] [краткое] [полное] [предметную область]

Автор: [отечественный] Время: [советское] [постсоветское] [современное]

МЕТАТЕОРИЯ

от греч. meta - после, за, позади)

- теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой другой теории. Теория, свойства которой исследуются в М., называется предметной, или объектной, теорией. Наиболее развиты М. логики и математики (в металогике и метаматематике). Объектом исследования М. обычно оказывается не содержание объектной теории, а ее формальные свойства, поэтому она предварительно формализуется и представляется в виде формального исчисления. В М. можно выделить две части: синтаксис, изучающий структурные и дедуктивные свойства исследуемой теории; семантику, рассматривающую вопросы, связанные с интерпретацией изучаемой теории.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Словарь по логике

МЕТАТЕОРИЯ

греч. meta — после, за и греч. theoria — наблюдение, рассмотрение, исследование) — теория, предметом исследования к-рой является нек-рая др. теория. М. изучает систему положений и понятий к.-л. теории; устанавливает ее границы, способы введения новых понятий и доказательства ее положений и т. д., давая возможность более рациональным способом ее построить. М. формулируется на метаязыке (Метаязык и язык-объект). В настоящее время наиболее развиты М. логики (Металогика) и математики (Метаматематика); в их развитии особую роль сыграли работы Гильберта, Геделя, С. Клини. В создании М. для нематематических дисциплин сделаны лишь первые шаги. Центральной задачей М. является исследование условий формализации научных теорий, а также синтаксических (Логический синтаксис) и семантических (Логическая семантика) свойств формализованных языков. Такие исследования приобретают особое значение в связи с развитием кибернетики и вычислительной техники.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философский энциклопедический словарь

МЕТАТЕОРИЯ

теория, предназначенная для анализа структуры, свойств, методов и законов некоторой другой теории, называющейся предметной, или объектной. Понятие М. было введено нем. математиком Д. Гильбертом в связи с созданием программы обоснования классической математики средствами разработанной им теории доказательств. Наиболее результативно М. применяются в исследованиях логических теорий (металогика) и оснований математики (метаматематика). Здесь объектом М. являются частично или полностью формализованные теории (формальные системы), В металогике и метаматематике обычно выделяют две взаимосвязанные части: синтаксис, где изучается структура и дедуктивные средства объектной теории, и семантику, изучающую значения и правила интерпретации выражений объектной теории. Ряд метатеоретических результатов, полученных Гильбертом, Геделем, Тарским и др., имеет не только специальное логико-математическое, но и важное философское значение.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Современная западная философия: словарь

МЕТАТЕОРИЯ

теория, анализирующая различные свойства, структуру, закономерности, методы и приемы исследования другой теории, называемой объектной или предметной. М. выполняет методологическую функцию по отношению к определенной научной области. М. главным образом применяется в исследовании логических теорий (металогика) и оснований математики (метаматематика). Понятие М. впервые ввел Д. Гильберт в связи с программой обоснования математики. Математика была представлена им как теория, которая содержит все утверждения о том, что то или иное математическое выражение доказуемо. В структурном отношении М. включает в себя совокупность теоретических положений, выступающих схемами положений объектной (предметной) теории. М. обычно формулируется на метаязыке. Отсюда, - в узком смысле, М. - это теория, изучающая синтаксические, семантические, прагматические и логические (специальные правила вывода) свойства систем с формализованным языком при помощи методов аксиоматизации, алгоритмизации, конструктивизации и т.д. Например, в аспекте аксиоматического метода проблемами М. выступают проблемы непротиворечивости, независимости и полноты предметной теории. Дедуктивные средства предметной теории формулируются в качестве метааксиом и метатеорем, которые принципиально не могут быть описаны в языке предметной (объектной) теории. М. выступает по отношению к последней как понимающая рефлексивная система. Синтаксический и семантический языки, а также метааксиомы и метатеоремы составляют метаязык. Более специализированное рассмотрение М. осуществляется в разделе математической логики - теории моделей. Предельной объемлющей системой оценки любых форм знания и человеческой деятельности выступает культура, осознаваемая в своих предельных основаниях посредством философской рефлексии.

В.Л. Абушенко, А.И. Шуман

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Новейший философский словарь

метатеория

МЕТАТЕОРИЯ — теория, в которой производится рассмотрение свойств некоторой др. теории, в том числе ее точное описание (т.е. определение правил образования и преобразования) и исследование относящихся к ней результатов. Теория, исследование которой проводится в рамках М., называется предметной, или объектной теорией. Язык М. называется обычно метаязыком, а язык объектной теории — объектным языком.         Понятие М. впервые появляется в 1904 у Д. Гильберта в связи с выдвинутой им программой обоснования математики: Гильберт предложил сделать доказательство в аксиоматической теории предметом специальной математической дисциплины, названной им метаматематикой или теорией доказательств. О металогике говорит в своей статье, опубликованной в 1913, Н.А. Васильев. Общее понятие метаязыка и М. было введено А. Тарским в 1933 в работе «Понятие истины в языках дедуктивных наук», где он четко формулирует необходимость различать язык, о котором говорим, и язык (метаязык), на котором говорим, а также теорию (науку), служащую предметом исследования, и теорию (метанауку), в которой мы проводим исследование. Знаменитый критерий истинности высказываний Тарского формулируется им именно в метаязыке.         Метаязык может содержать в качестве своего фрагмента объектный язык, но это не является обязательным условием. Возникновение и развитие неклассических логик, стимулировавшее вначале сдвиг логических исследований в сторону металогических исследований, в дальнейшем привело к появлению и метаметалогических исследований. В современных логических исследованиях объектный язык и язык М. отличаются друг от друга, а логические системы, на которых основываются объектная теория и М., зачастую представляют собой совершенно разные системы неклассической логики. И если на этапе металогических исследований молчаливо предполагалось, что М. основывается на классической логике, независимо от того, какая неклассическая логика (интуиционистская, модальная, релевантная и т.д.) лежит в основании объектной теории, то на этапе метаметалогических исследований ситуация изменилась: встречаются как М. с одинаковой неклассической логикой на объектном и метатеоретическом уровнях, так и М. с различными уровневыми логиками (напр., с классической логикой на объектном уровне и интуиционистской логикой на метауровне). Это приводит к тому, что критерий истинности высказываний Тарского в этих случаях расщепляется на ряд критериев, детерминированных спектром принимаемых неклассических языков и логических систем.         Др. проблема метаметатеоретического этапа современных исследований в логике и математике связана с понятием «глубины» М. В теории категорий, напр., разработка теории так называемых и-категорий была вызвана к жизни следующей проблемой. С точки зрения категорной логики, категория задается совокупностью формул (объектов) и выводов (стрелок) одних формул из др. плюс некоторые простые условия, определяющие тождества этих выводов. Однако у теоретика неминуемо возникает вопрос о том, что представляет собой эти тождества; т.е. ему требуется теория, описывающая понятие тождества выводов. Можно описать свойства этих тождеств как категорию, т.е. рассмотреть совокупность выводов в качестве объектов и определить тождества между выводами в качестве стрелок. Однако поскольку при этом требуется задать тождества между тождествами, то неизбежно возникает вопрос о том, какова будет теория этих тождеств тождеств. Продолжая в том же духе, мы можем просто оборвать этот процесс на каком-то этапе, постулируя в качестве теории тождеств n-го уровня некоторую «общепринятую» (в данном случае — некатегорную) теорию тождества. Нечто подобное возникало бы и в металогике, если бы мы каждый раз требовали, чтобы М. представляла собой логическое исчисление, поскольку в этом случае проблемы дедуктивных свойств этого исчисления требовали бы рассмотрения мета-исчисления для данного исчисления.         Метатеоретическая направленность исследований в настоящее время становится характерной чертой не только логики и математики, но и др. дисциплин; напр., социологии и этики. При этом часто сами исследователи не квалифицируют свои исследования как метатеоретические, и это делают за них философы науки. Так, напр., уже вошло в традицию говорить о метаэтике Лъвовско-Варшавской школы, хотя подобный термин в трудах представителей этой школы не встречается.         В.Л. Васюков         Лит.: Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М., 1999. С. 14—155; Zhao S. Metatheorizing in Sociology // Handbook of Social Theory. Ritzer G., Smart B. (Eds.). Sage, London, 2001. P. 386—394.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Энциклопедия эпистемологии и философии науки

МЕТАТЕОРИЯ

одно из важнейших понятий современной логики, математики, философии и методологии науки; теория, анализирующая структуру, методы и свойства некоторой другой теории — предметной, или объектной, теории. В самом общем смысле метатеорией является любой метаязык, описывающий структуру, свойства и т. п. какого-либо языка-объекта. Согласно выработанным в 20 в. представлениям (У. Сепир, Б. Уорф, К. Поппер и др.), каждый язык является концептуализацией мира или его фрагментов, т. е. теорией (возможно, не очень богатой, как, напр., язык знаков светофора, или очень богатой в случае естественного языка). Поэтому соответствующий метаязык выступает в качестве метатеории по отношению к теории, сформулированной в языке-объекте. Исторически термин «метатеория» был первоначально введен в начале 20 в. в исследованиях по основаниям математики и логики (Д. Гильберт, К. Гедель, А. Тарский, Р. Карнап, А. Черч, С. Клини и др.) применительно к изучению математических и логических теорий, результатом чего явились программы построения метаматематики и металогики. Именно в этой области в метатеоретических исследованиях были получены важные результаты.

Основная задача построения метатеории состоит в уточнении (экспликации) соответствующих предметных теорий и анализе их свойств. При этом в рамках общей программы проведения метатеоретических исследований на предметные теории и метатеории не накладывается никаких ограничений: они могут быть содержательными, дедуктивными, частично или полностью формализованными и могут использовать любые логические средства. Результатами таких исследований явились попытки построения метабиологии, метахимии, метатеории физического знания, метатеории теорий систем и даже метанауки, однако в них пока не получены значительные метатеоретические достижения, сравнимые с теми, которые имеются в метаматематике и металогике.

Одной из исходных посылок метаматематической программы Гильберта является утверждение о том, что в качестве предметной теории, для которой будет строиться соответствующая метатеория, следует брать не некую содержательную теорию, напр., содержательную математику, а ее формализованное представление в виде исчисления или формальной системы (теории). Такая формальная система строится по явно сформулированным, четким правилам; она может состоять из неинтерпретированных знаков и знакосочетаний (формул, выражений) — в этом случае она является синтаксической (см. Логический синтаксис), или ее элементам приписывается определенная интерпретация, то есть фиксируется их смысл или значение, — и в этом случае она является семантической (см.Логическая семантика). Метатеория, которая строится по отношению к т. о. представленной предметной теории, является содержательной теорией, т. е. она состоит из содержательно понимаемых элементов естественного языка. В ней формулируются метатеоремы — теоремы о теоремах, которые описывают синтаксические и семантические свойства соответствующей предметной (формализованной) теории.

Для того, чтобы метаматематика выполнила свою основную функцию — обоснования содержательной математики, она, согласно Гильберту, должна пользоваться только т. н. финитными методами, то есть использовать лишь конечные конструкции и конструктивные доказательства, не допускающие применения абстракции актуальной бесконечности, которая играет важную роль в содержательной математике и в ее формализованном представлении. В рамках этой программы был получен ряд важных метатеоретических результатов. Так, была доказана синтаксическая метатеорема о дедукции, которая устанавливает связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (напр., в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в алфавит данной предметной теории. Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой его интерпретации, совпадают. Некоторые понятия метаматематики носят смешанный — синтаксически-семантический характер. Таково, напр., понятие непротиворечивости, которое синтаксически определяется как невыводимость в предметной теории противоречия, т. е. конъюнкции некоторой формулы и ее отрицания, а в семантическом плане означает соответствие данной предметной теории некоторой ее интерпретации. Эквиваленность этих определений является нетривиальным метатеоретическим фактом.

Несмотря на указанные и многие другие метатеоретические результаты оказалось, что метаматематическая программа Гильберта и прежде всего его финитистская установка не могут быть реализованы. Это убедительно показал Гедель (1931), доказав свои две знаменитые теоремы. Согласно его первой теореме, любая формализованная система, достаточно богатая для того, чтобы включать в себя арифметику натуральных чисел, неполна, так как в ней имеются правильно построенные формулы (выражения), которые не доказуемы и не опровержимы в ее рамках. Вторая теорема Геделя утверждает: если арифметическая формальная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство ее непротиворечивости, проведенное средствами, формализуемыми в этой системе. Эти теоремы, имеющие несомненное философскометодологическое значение, свидетельствуют об ограниченности метода формализации теорий, который лежит в основе гильбертовской метаматематической программы, и о том, что с помощью финитных методов нельзя доказать непротиворечивость не только классической математики, но даже и классической арифметики.

Вслед за результатами Геделя были вскрыты и другие ограниченности формализмов: Черч доказал неразрешимость проблемы разрешения для узкого исчисления предикатов, Тпрский показал невыразимость предиката истинности для какого-либо исчисления средствами этого же исчисления и т. д. В связи с этим потребовалась определенная модификация программы Гильберта — необходимо было найти новые, более сильные, чем финитные, но также достаточно убедительные методы метатеоретических рассуждений. Значительный прогресс в этом отношении был получен в середине и во 2-й пол. 20 в. Г. Генценом, В. Аккерманом, П. С. Новиковым, К. Шютте, А. С. Есениным-Вольпиным и др.; метаматематические и металогические исследования остаются актуальной задачей и в настоящее время.

Лит.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.—Л., 1948; КлиниС. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Математическая теория логического вывода. М., 1967; Турчин В. Ф. «Сумасшедшие» теории и метанаука.— «ВФ» 1968, № 5; Садовский В. Н. Обшая теория систем как метатеория.— «ВФ» 1972, № 4; Есенин-Вольпин А. С. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении.— «ВФ» 1996, № 8; Tarski A., Mostovski A., Robinson P. M. Undecidable Theories. Amst., 1953; WoodgerJ. H. The Axiomatic Method in Biology. Cambr., 1937. См. также литературу к статье Метаязык.

Ю. А. Гастев, В. Н. Садовский

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Новая философская энциклопедия

МЕТАТЕОРИЯ

от греч. ???? – за, после) – теория, анализирующая структуру и методы к.-л. другой теории. Термин "М." имеет смысл и употребляется лишь по отношению к нек-рой данной, конкретной теории (М. логики, или металогика; М. математики, или метаматематик а, – теория математич. доказательств; М. отд. разделов физики; метахимия; метабиология и т.д.). Вообще, в принципе можно говорить о М. любой науч. дисциплины как дедуктивной, так и недедуктивной. Однако выполнение требований, предъявляемых к развитию любой М., связано с большими трудностями при построении М. для нематематич. наук или для наук нематематизируемых на данном этапе познания. Каждая науч. теория изучает определ. фрагмент реального мира, а ее М. – систему понятий и положений данной теории. Задача М. – установить границы области применения изучаемой в ней теории, ответить (если это возможно на данном этапе развития науки) на вопросы о ее непротиворечивости и полноте, изучить (или установить) способы введения ее новых понятий и доказательства ее предложений и т.п. При этом различают с и н т а к с и ч е с к и й и с е м а н т и ч е с к и й аспекты М., посвященные соответственно изучению формальной структуры и интерпретациям рассматриваемой в ней теории (см. Синтаксис в логике, Семантика в логике). Метатеоретич. исследование не только содействует более глубокому проникновению в основы теории, но и существенно влияет на развитие самой теории. Критически изучая структуру к.-л. теории, М. позволяет изыскивать методы более рационального ее построения. Составляющие содержание М. м е т а т е о р е м ы, или теоремы о теоремах, позволяют упрощать механизм проведения логич. выводов в изучаемой теории; образцом может служить метаматематич. (металогич.) теорема о дедукции. Непосредственная цель многих метатеоретич. исследований в различных областях науки – автоматизация отд. звеньев процесса логич. вывода (а в идеале – и всего этого процесса в целом), "автоматизация" в самом прямом, технич. значении этого термина. Встающие здесь трудности, особенно значительные для наук, не имеющих ясно выраженного дедуктивного характера, разрешаются на пути логич. анализа оснований данной науки и ее последующей формализации и аксиоматизации (см. Метод аксиоматический). Фактически любая М. имеет дело не с содержательно понимаемой науч. теорией, а с точным понятием формальной системы (исчисления) [если предназначенная для исследования в М. теория с о д е р ж а т е л ь н а, то она предварительно подвергается формализации ]. Формальная система, являющаяся предметом исследования М., наз. ее п р е д м е т н о й теорией. Последняя представляет собой систему четко определенных символов и конструируемых из них предметов, с к-рыми оперируют по определ. правилам. В отличие от предметной теории (к-рая в дальнейшем изложении будет пониматься как формальная система), М. есть с о д е р ж а т е л ь н а я теория. Иногда метатеоретич. результаты в свою очередь формализуются и становятся предметом изучения м е т а м е т а т е о р и и и т.д. M. формулируется в метаязыке, тогда как изучаемая ею предметная теория находит свои средства выражения в т.н. я з ы к е - о б ъ е к т е. Понятие предметной теории становится, т.о., экспликатом понятия научной теории. Выдвинувший впервые концепцию М. немецкий математик Д. Гильберт в своих ранних, относящихся к концу 90-х гг. 19 в., доказательствах непротиворечивости математич. теорий пользовался заданием нек-рой м о д е л и, т.е. такой системы формальных объектов, к-рая берется (вообще говоря) из др. теории и удовлетворяет аксиомам данной теории. В этом смысле предметная теория есть модель определ. части содержат. логики и математики (или, возможно, к.-л. др. дисциплины, основанной на логике), из к-рых она получается посредством формализации. В свою очередь, содержат. теория является и н т е р п р е т а ц и е й формальной системы. Это обстоятельство имеет первостепенное гносеологич. значение, обеспечивая приложимость логико-математич. результатов к той области действительности, к-рая отражается в данной науч. теории. Взаимоотношение между М. и предметной теорией отчетливо проявляется на примере требования непротиворечивости предметной теории, согласно к-рому в формальной системе должны быть доказуемы только истинные предложения, формализуемые в ее языке. Т.о., для постановки и обсуждения всех вопросов, касающихся непротиворечивости, исходным пунктом является естественное с гносеологич. т. зр. требование соответствия теории реальной действительности; теорию, в к-рой доказуемы в с е предложения, формулируемые на ее языке, есть все основания считать ложной. Метаматематика. Необходимость создания М. возникла прежде всего в применении к математике; метаматематика является наиболее разработанной М. (Следуя идущей от Гильберта традиции, метаматематику, в отличие от металогики, часто понимают в более узком смысле, чем тот, к-рый следует из очерченной выше концепции метатеории; именно к метаматематике иногда причисляют лишь вопросы синтаксиса предметной математической теории, выделяя семантику в качестве самостоят. области исследования.) Развитие аксиоматич. метода в математике и открытие теоретико-множественных (логических) парадоксов разрушили привычные представления о "наглядной" очевидности как критерии истины в математике и "общепонятности" (общеубедительности) математич. рассуждений. Это вызвало необходимость в уяснении смысла (а следовательно, и точного определения) понятий доказательства, аксиомы, теоремы, потребовало исследования структуры математич. теорий (синтаксис) и вопроса об их истинности в к.-л. интерпретациях (семантика) и, наконец, проблемы их непротиворечивости (метаматематика). Решение этих проблем было предложено в т.н. гильбертовской программе, согласно к-рой подлежащая изучению в М. научная теория подвергается формализации. Получающаяся в результате формальная система исследуется (на предмет выяснения ее непротиворечивости, полноты, разрешимости, независимости ее аксиом и др.) содержательными методами, не аппелирующими, однако, к смыслу ее объектов (формул) (см. Формализм). Такую содержат. теорию, изучающую структуру и свойства формальных систем, Гильберт и назвал метаматематикой. Программа Гильберта допускала в М. лишь т.н. финитные методы, т.е. методы, в к-рых используются лишь конечные конструкции и выводы: наглядно представляемые предметы и эффективно осуществимые процессы (отсюда термин "финитизм" как название концепции Гильберта). Т.о., не допускается абстракция актуальной бесконечности (см. также Алгоритм) и требуется, чтобы доказательства существования любых объектов носили конструктивный характер; это значит, что должен быть указан, хотя бы неявно, метод построения рассматриваемого объекта. Иначе говоря, финитизм требует, чтобы математические предметы были указаны в явной форме, – или же должен быть дан способ их конструирования. Эти предметы должны быть "наглядны" (т.е. состоять из представляемых, различаемых и отождествляемых элементов). Строя свою теорию доказательства, Гильберт исходил из того, что содержащиеся в ней правила должны выражать "технику нашего мышления". "Основная идея моей теории доказательства сводится к описанию деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол о правилах, согласно которым фактически действует наше мышление" ("Основания геометрии", М.–Л., 1948, с. 382). На пути, указанном Гильбертом, был получен ряд важных метаматематич. результатов. Ограниченность гильбертовского финитизма была вскрыта открытием Геделя (1931), которое положило начало новому этапу в развитии метаматематики. Гедель ввел важный метод арифметизации М., в основе к-рого лежит однозначная нумерация объектов формальной системы (символов, термов, формул, доказательств и т.д.) нек-рыми натуральными числами. Эти числа наз. геделевскими номерами этих объектов. Каждому формальному символу, входящему в алфавит системы, ставится в соответствие нек-рое число, а правилам образования формальных объектов – такая арифметич. операция, к-рая позволяет по числу – результату этой операции – однозначно восстановить способ образования из элементарных символов формального объекта (напр., формулы), имеющего номером это число. (Идея такой нумерации, по существу весьма естественная, напоминает принцип библиотечной или к.-л. др. классификации.) Суть подхода Геделя состоит в том, что арифметич. высказывания о числах, являющихся геделевскими номерами нек-рых объектов предметной теории, могут быть интерпретированы как предложения о самих этих объектах. В результате этого метаматематич. предикаты (напр., "быть термом", "быть формулой", "быть доказательством" и т.д.) становятся представимыми при помощи арифметич. предикатов. Рассмотрим метаматематический предикат ?(A(a),x,у), имеющий смысл: "у есть доказательство формулы, получающейся в результате подстановки цифры x (т.е. знака, обозначающего число х) в формулу А(а) вместо свободной переменной а". Заменим все объекты в этом предикате их геделевскими номерами. Если формула А(а) получит номер р, а доказательство у номер b, возникнет арифметич. предикат (или предикат от натуральных чисел): ?(p, x, b). Этот предикат может быть представлен в арифметич. формальной системе, т.е. может быть написана арифметич. формула, выражающая этот предикат. Будем считать, что эта формула совпадает с обозначением нашего предиката Р. Рассмотрим теперь формулу ?bP(p, p, b) (где вместо x подставлен геделевский номер этой формулы). Получившаяся формула [назовем ее Аp(р) ] выражает следующее метаматематич. утверждение: "Для всякого натурального числа b неверно, что b есть геделевский номер доказательства результата подстановки вместо переменной x в формулу с геделевским номером p натурального числа p", т.е., иными словами, она выражает, что не существует доказательства этой формулы – выражает свою собственную недоказуемость. Если система непротиворечива (и, следовательно, все доказуемые в ней формулы истинны), то Аp(р) не может быть доказуемой, потому что тогда она была бы, в соответствии со своим собственным смыслом, ложной. Но эта формула не только не доказуема, но и не опровержима. Для доказательства неопровержимости этой формулы методом Геделя требуется более сильное условие, чем непротиворечивость системы (т. н. ?-непротиворечивость), но, как показал амер. математик и логик Дж. Б. Россер (1934), это несущественно. Несколько усложнив пример неразрешимой формулы [назовем эту новую формулу Aq(q) ], он доказал, что если арифметическая формальная система непротиворечива, то недоказуема как формула Aq(q), так и ее отрицание Aq(q); иначе говоря, если эта система непротиворечива, то она неполна, и Aq(q) является неразрешимой формулой. Это – первая теорема Геделя в форме Россера. Утверждение, что арифметич. формальная система непротиворечива, тоже может быть выражено нек-рой формулой этой системы. Выше говорилось, что система непротиворечива, если в ней есть недоказуемая формула. Возьмем в качестве такой формулы ложную формулу "1=0". Пусть эта формула имеет геделевский номер r. Тогда ?bP(r, r, b) выражает недоказуемость формулы "1=0", и, следовательно, непротиворечивость системы. Выше мы видели, что из того, что система непротиворечива, следует, что Аp(р) недоказуема. Если доказательство этого факта формализуется в формальной арифметич. системе с помощью геделевской нумерации, то в этой системе должна быть доказуема следующая формула: ?bP(r, r, b) ? Ap(р) [по смыслу самой формулы Аp(р)! ]. Допустим, что ?bP(r, r, b) доказуема, тогда, применив правило modus ponens, мы получаем Аp(р), что невозможно по предыдущей теореме Геделя. Отсюда – следующая теорема: "Если арифметич. формальная система непротиворечива, то недоказуема формула ?bP(r, r, b)"; иначе говоря, если указанная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство ее непротиворечивости, проведенное средствами, формализуемыми в этой системе. Это – вторая теорема Геделя о неполноте. Результаты Геделя (верные не только по отношению к арифметике, но и ко всякой системе, содержащей арифметику натуральных чисел как свою часть – такова, напр., аксиоматич. теория множеств) и полученные в последующие годы др. важные результаты, относящиеся к неразрешимости и неполноте формальных систем (так, в 1934 Черч, пользуясь методами, аналогичными геделевым, доказал неразрешимость проблемы разрешения как для теорий, содержащих арифметику натуральных чисел, так и для исчисления предикатов), имели важнейшее филос. значение, т.к. обнаружили ограниченность метода формализации. Они убедительно показали, что понятия и принципы даже такой казалось бы "элементарной" области математики, как арифметика натуральных чисел, – не говоря уже о всей математике и о нематематических науках, пользующихся аппаратом математики, – "...не могут быть полностью выражены никакой формальной системой, как бы мощна она ни была" (Новиков П. С., Элементы математической логики, 1959, с. 36). Значение теорем Геделя состоит еще и в том, что те рассуждения, к-рые выше были охарактеризованы как финитные, формализуются в арифметике с помощью геделевской нумерации. Следовательно, такими финитными методами мы не только не можем доказать непротиворечивость всей классической математики, но даже и классической арифметики. Теоремы Геделя, указывая на предел возможностей финитизма, направили значит. часть последовавших за ними исследований по новому пути: не отказываясь от осн. идеи Гильберта исследовать средствами, представляющимися вполне допустимыми, проблемы, связанные с непротиворечивостью и др. свойствами формальных систем, искать новые, более сильные, но также достаточно убедительные, методы такого исследования (во всяком случае эти средства должны быть, согласно второй теореме Геделя, сильнее арифметических). Такие конструктивные, – но уже не финитные в прежнем понимании – методы [напр. (математическая) индукция по т.н. конструктивным трансфинитным числам ], были успешно применены нем. математиком Г. Генценом (1936), П. С. Новиковым (1943), нем. математиками Аккерманом (1940) и К. Шютте (1951) для доказательства непротиворечивости классич. арифметики, причем для этих доказательств оказалось достаточным использование средств минимальной логики. Еще раньше Гедель (1932–33) показал непротиворечивость классич. арифметики относительно интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм); для т.н. ограниченной арифметики [без аксиомы (полной) математической индукции ] непротиворечивость была установлена П. С. Новиковым (1959) метаматематически. Др. подход, использующий т.н. ультраинтуиционистскую (не формализуемую в классич. логике, но удовлетворяющую системе весьма строгих критериев убедительности) концепцию в основаниях математики, был использован для доказательства (1960) непротиворечивости аксиоматич. теории множеств – проблемы, к-рая в рамках финитизма, согласно результатам Геделя, не может быть решена. Лит.: Гейтинг ?., Обзор исследований по основаниям математики, пер. с нем., М.–Л., 1936, гл. 2, 4; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948, доб. VI–X; Клини К. С., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Есенин-Вольпин А. С., Анализ потенциальной осуществимости, в сб. ст.: Логич. исследования, М., 1959; К обоснованию теории множеств, в кн.: Применение логики в науке и технике, [М., 1960 ]; G?del К., ?ber formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I, "Monatsh. Math. Physik", 1931, Bd 38, S. 173–98; его же, Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, "Ergebnisse eines mathematischen Kolloquims", Bd 4 (1931–32), W., 1933, S. 34–38; Gentzen G., Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, "Math. Ann.", 1936, Bd 112, H. 4; Сhurсh ?., An unsolvable problem of elementary number theory, "Amer. J. Math.", 1936, v. 58, p. 345–63; Rosser В., Extensions of some theorems of G?del and Church, "J. Symbolic Logic", 1936, v. 1, No 3; Ackermann W., Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie, "Math. Ann.", 1940, Bd 117, H. 2; ?ovikоff P. S., On the consistency of certain logical calculus, Матем. сб., Новая серия, т. 12, 1943, вып. 2; Sch?tte К., Beweistheoretische Erfassung der unendlichen Induktion in der Zahientheorie, "Math. Ann.", 1951, Bd 122, H. 5; Tarski A., Mostowski ?., Robinson R. M., Undecidable theories, Amst., 1953. См. также лит. при ст. Металогика, Метаязык. Ю. Гастев, И. Шмаин. Москва.

Оцените определение:
↑ Отличное определение
Неполное определение ↓

Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.

Найдено схем по теме МЕТАТЕОРИЯ — 0

Найдено научныех статей по теме МЕТАТЕОРИЯ — 0

Найдено книг по теме МЕТАТЕОРИЯ — 0

Найдено презентаций по теме МЕТАТЕОРИЯ — 0

Найдено рефератов по теме МЕТАТЕОРИЯ — 0