МЕТАМАТЕМАТИКА

Найдено 2 определения
Показать: [все] [проще] [сложнее]

Автор: [российский] Время: [советское] [постсоветское]

МЕТАМАТЕМАТИКА
теория доказательств) — теория, к-рая занимается изучением различных свойств формальных систем и исчислений (непротиворечивость, полнота и др.). Термин “М.” введен Гильбертом в связи с его концепцией обоснования математики (Формализм). За последние годы в этой области получен ряд важных результатов (теорема Геделя о неполноте формальной арифметики и о невозможности доказательства непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе, и др.).

Источник: Философский энциклопедический словарь

МЕТАМАТЕМАТИКА

- раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов.
М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории.
Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Геделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы.
Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также геделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций.
М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.

Источник: Словарь по логике

Найдено научных статей по теме — 2

Читать PDF
0.00 байт

ОТ МЕТАМАТЕМАТИКИ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОРГАНОНУ

Авдонин Владимир Сергеевич
В статье предлагается расширенное видение математики как трансдисциплинарного органона современных наук.
Читать PDF
0.00 байт

Перспективы метаматематических структур в науке

Крылов Сергей Михайлович
Рассматриваются и сравниваются различные варианты интерпретации метаматематических структур, основанных на базовой концепции алгебраической системы в математике, позволяющие распространить их на алгоритмические системы над физичес