отношение между нек-рыми высказываниями (посылками) Г и высказыванием В (заключением), отображающее тот факт, что из Г, используя правильные приемы рассуждения, можно получить В. В логике, фиксирующей нормы рассуждения с помощью построения формализов аксиоматич. теорий (логич. исчислений), утверждение о Л. с. В из Г в нек-ром исчислении (символически: Г - В) означает существование такой конечной последовательности формул (называемой выводом из посылок), в к-рой каждый член этой последовательности есть либо одна из посылок Г, либо аксиома, либо получается из предшествующих членов последовательности по одному из правил вывода, причем последний член этой последовательности есть В. Если для построения вывода Г h - В не требуется никаких посылок (т. е. если множество Г пусто), то говорят о логич. доказуемости В. Утверждения о том, что Г h - В, могут быть использованы как правила логики для высказываний с соответств. логич. структурой, однако при том условии, что в рамках принятой семантики при истинности всех посылок из Г гарантируется истинность В. В таком случае говорят, что между Г и В имеет место отношение Л. с. в семантич. смысле (символически: Г h - В). Чтобы решить задачу формального описания свойств Л. с. в рамках исчисления, в язык последнего вводится спец. связка - импликация. Имеется ряд формальных теорий Л. с. (теории материальной, строгой, релевантной импликации и др.), к-рые с различных сторон уточняют понятие Л. с.
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
Источник: Советский философский словарь
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Л.с. относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, точного универсального определения не имеет; в частности, описание его с помощью слов "выводимо", "вытекает" и т. п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова "следует". Понятие Л. с. обычно характеризуется через связи с другими логическими понятиями, и прежде всего через понятия логического закона и модели.
Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация "Если A, то В" является частным случаем закона логики. Напр., из высказывания "Если натрий - металл, он пластичен" логически вытекает высказывание "Если натрий непластичен, он не металл", поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием - второе, представляет собой частный случай логического контрапозиции закона.
Иное, семантическое определение логического следования: из посылок A1, ..., Аn логически следует высказывание В, если не может быть так, что высказывания A1, ..., Аn истинны, а высказывание В ложно (т. е. если В истинно в любой модели, в которой истинны A1, ..., Аn).
Отличительной чертой Л. с. является, таким образом, то, что оно ведет от истинных высказываний только к истинным. Если выводы, относимые к обоснованным, дают возможность переходить от истины к лжи, то установление между высказываниями отношения Л.с. теряет всякий смысл, и логический вывод превращается из формы разворачивания и конкретизации знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.
В современной логике проблема адекватного описания Л. с. возникла в связи с тем, что логика классическая дает слишком широкое его описание, в ряде моментов не согласующееся с интуитивным представлением о следовании одних высказываний из других. В частности, согласно этой логике, из противоречия логически следует любое высказывание, логически истинное высказывание следует из любого и т. п. (см.: Импликация материальная, Парадоксы импликации).
Усовершенствованные описания Л. с. не содержат правил, позволяющих перейти от истинных посылок к ложному заключению. Они удовлетворяют, кроме того, ряду дополнительных условий. Выдвижение этих условий объясняется стремлением дать такое описание Л. с., при котором существование между высказываниями этого отношения зависело бы не только от истинностного значения высказываний (как в классической логике), но и от их смысловой связи. Поскольку "связь по смыслу" понимается по-разному, существуют различные неклассические теории Л. с. С их помощью решается задача исключения нежелательных, или парадоксальных, правил следования и показано, что нет привилегированной логической системы, являющейся единственно правильным описанием Л. с. Дальнейшая задача формально-логического анализа данного отношения состоит в разработке единой логической теории, взаимосвязанными фрагментами которой оказались бы уже построенные и иные возможные теории Л. с.
Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация "Если A, то В" является частным случаем закона логики. Напр., из высказывания "Если натрий - металл, он пластичен" логически вытекает высказывание "Если натрий непластичен, он не металл", поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием - второе, представляет собой частный случай логического контрапозиции закона.
Иное, семантическое определение логического следования: из посылок A1, ..., Аn логически следует высказывание В, если не может быть так, что высказывания A1, ..., Аn истинны, а высказывание В ложно (т. е. если В истинно в любой модели, в которой истинны A1, ..., Аn).
Отличительной чертой Л. с. является, таким образом, то, что оно ведет от истинных высказываний только к истинным. Если выводы, относимые к обоснованным, дают возможность переходить от истины к лжи, то установление между высказываниями отношения Л.с. теряет всякий смысл, и логический вывод превращается из формы разворачивания и конкретизации знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.
В современной логике проблема адекватного описания Л. с. возникла в связи с тем, что логика классическая дает слишком широкое его описание, в ряде моментов не согласующееся с интуитивным представлением о следовании одних высказываний из других. В частности, согласно этой логике, из противоречия логически следует любое высказывание, логически истинное высказывание следует из любого и т. п. (см.: Импликация материальная, Парадоксы импликации).
Усовершенствованные описания Л. с. не содержат правил, позволяющих перейти от истинных посылок к ложному заключению. Они удовлетворяют, кроме того, ряду дополнительных условий. Выдвижение этих условий объясняется стремлением дать такое описание Л. с., при котором существование между высказываниями этого отношения зависело бы не только от истинностного значения высказываний (как в классической логике), но и от их смысловой связи. Поскольку "связь по смыслу" понимается по-разному, существуют различные неклассические теории Л. с. С их помощью решается задача исключения нежелательных, или парадоксальных, правил следования и показано, что нет привилегированной логической системы, являющейся единственно правильным описанием Л. с. Дальнейшая задача формально-логического анализа данного отношения состоит в разработке единой логической теории, взаимосвязанными фрагментами которой оказались бы уже построенные и иные возможные теории Л. с.
Источник: Словарь по логике
логическое следование
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ — отношение между высказываниями; более точно — отношение между посылками и заключением, которое характеризуется тем, что заключение с необходимостью следует из посылок. Понятие Л. с. является центральным в логике. Так, будучи одним из создателей современной логики, А. Тарский в 1936 в работе с характерным названием «О понятии логического следования» писал: «Предложение X логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К есть также модель предложения X». В связи с этим важный смысл приобретает следующий вопрос: что значит для заключения А следовать из посылок Z? Общепринятым считается следующий принцип: А следует из посылок Z, если, и только если, любой случай, в котором каждая посылка в Z является истинной, есть случай, в котором А истинна. Обратим внимание на то что, выдающийся рос. Логик А.А. Марков связывает этот принцип с определением того, что есть логика: «Логику можно определить как науку о хороших способах рассуждения. Под «хорошими» способами рассуждения при этом можно понимать такие, при которых из верных исходных положений получаются верные результаты» (Марков А.А. Элементы математической логики. М., 1984. С. 5). В итоге сутью Л. с. является сохранение истины во всех случаях. Подчеркнем, что свойства Л. с. напрямую связаны со свойствами логической связки «импликация» (см. Логика высказывании). Это значит, напр., что если формула А логически следует из формулы В (символически: А —* В), то импликативная формула A D В является законом логики (см. Логический закон). Если сутью логики является сохранение истины во всех случаях, то различные логики получаются различными экспликациями этих случаев. Уточнение этих случаев первоначально привело к устранению так называемых парадоксов материальной импликации (см. Парадоксы импликации). Так появилось понятие строгой импликации и в связи с этим класс модальных логик Льюиса (см. Модальные логики). В свою очередь, устранение парадоксов строгой импликации привело к появлению класса релевантных логик. Понятие Л. с. Тарского предполагает принцип: «из лжи следует все что угодно». Устранение этого принципа привело к появлению класса паранепротиворечивых логик. Др. свойством отношения Л. с. является его монотонность. Последнее означает, что добавление посылок не влияет на приемлемость первоначально полученного заключения. Отказ от монотонности ведет к классу немонотонных логик. В последнее время вокруг концепции Л. с. Тарского идет оживленная дискуссия. Дело в том, что сама эта концепция носит, скорее, философский, нетехнический характер и оставляет много места для различных конфликтующих интерпретаций. Основной замысел Тарского состоял в том, чтобы дать определение Л. с, применимого для очень широкого класса рассуждений, причем, как оказалось, настолько широкого, что возникают проблемы уже иного уровня, относящиеся к вопросу о том, что есть логика. А.С. Карпенко Лит.: Gomez-Torrente M. Tarski on Logical Consequence // Notre D a m e Journal of Formal Logic. 1996. Vol. 37. № 1; Tarski A. On the Concept of Logical Consequence // Tarski A. Logic, Semantics, Metamatematics. Indianapolis, 1983. P. 409—420.
СЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ
отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием В (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию В. В этом случае говорят о логическом следовании В из Г я семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Г^-В, читаемое: из Г семантически следует В.
В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение rh обозначает, что формула В этого исчисления в рамках принятой семантики является истинной (обобщенно для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.
В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости В из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г-В с указанием, если необходимо, о каком исчислении идет речь. Г-В представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определенным правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез (см. Вывод логический}, в которой последняя формула есть 5. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании В из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что В логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что В является теоремой исчисления Г (символически: 1-5). Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчетом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность В. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а В было при этом ложным. Утверждения Г-В могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула 5.
В классической логике множества верных утверждений вида Г-В и Г 1=5 совпадают в том смысле, что каждому Г -В соответствует Fh и наоборот.
Выражение |=В трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности В). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности В, мы должны признавать верным Г ^В и А ИД для любых Г и А. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулыЛ (а также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула В. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение А -В, в котором Д — теорема исчисления, или Л — отрицание теоремы. Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания , и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования.
В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Встает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г-В, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез. Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач, трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и разъутя релевантной логика. Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все перечисленные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) (см. Формализация) вобьекшом языке самих исчислений, за счет введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечет к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.
Лит.: Сидоренко Е. А. Логическое следование и условные высказывания. М.,1983.
Е. А. Сидоренко
В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение rh обозначает, что формула В этого исчисления в рамках принятой семантики является истинной (обобщенно для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.
В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости В из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г-В с указанием, если необходимо, о каком исчислении идет речь. Г-В представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определенным правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез (см. Вывод логический}, в которой последняя формула есть 5. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании В из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что В логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что В является теоремой исчисления Г (символически: 1-5). Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчетом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность В. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а В было при этом ложным. Утверждения Г-В могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула 5.
В классической логике множества верных утверждений вида Г-В и Г 1=5 совпадают в том смысле, что каждому Г -В соответствует Fh и наоборот.
Выражение |=В трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности В). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности В, мы должны признавать верным Г ^В и А ИД для любых Г и А. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулыЛ (а также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула В. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение А -В, в котором Д — теорема исчисления, или Л — отрицание теоремы. Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания , и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования.
В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Встает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г-В, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез. Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач, трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и разъутя релевантной логика. Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все перечисленные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) (см. Формализация) вобьекшом языке самих исчислений, за счет введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечет к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.
Лит.: Сидоренко Е. А. Логическое следование и условные высказывания. М.,1983.
Е. А. Сидоренко
Источник: Новая философская энциклопедия