КВАНТОРЫ

от лат. quantum - сколько) - логич. оператор, применяемый к логич. выражениям и дающий количеств. характеристику области предметов (а иногда и области предикатов), к к-рой относится получаемое в результате применения К. выражение. В то время как логич. средств логики высказываний недостаточно для выражения форм всеобщих, частных и единичных суждений, в логике предикатов, получаемой посредством расширения логики высказываний за счет введения К., такие суждения выразимы. Так, напр., четыре осн. формы суждений традиц. логики "Все А суть В", "Ни одно А не есть В", "Нек-рые А суть В" и "Нек-рые А не суть В" могут быть записаны (если отвлечься от предполагаемого аристотелевой логикой требования непустоты А в общих суждениях) при помощи поясняемой ниже символики следующим образом: ?(х) (А (х) ? В (х)), ?(х) (А (х) ? В(x)), ?(х) (А (х) & В (х)) и ? (х) (А (х) & B (x)). Введение К. дает возможность записывать на формализованном логич. языке выражения естеств. языка, содержащие количест. характеристики к.-л. предметных или предикатных областей. В естеств. языках носителями таких характеристик являются т. н. кванторные слова, к числу к-рых относятся, в частности, количеств. числительные, местоимения "все", "каждый", "нек-рый", глагол "существует", прилагательные "любой", "всякий", "единственный", наречия "бесконечно много" и т.п. Оказывается, что для выражения всех упомянутых кванторных слов в формализ. языках и логич. исчислениях достаточно двух наиболее употребит. К.: К. общности (или в с е о б щ н о с т и), обозначаемого обычно символом ?(перевернутая буква А – начальная буква англ. слова "all", нем. "alle" и др.), и К. с у щ е с т в о в а н и я, обозначаемого обычно символом ? (перевернутая буква E – начальная буква англ. слова "exist", нем. "existieren" и др.); за знаками ? и ? в обозначении К. следует буква нек-рого алфавита, называемая кванторной переменной, к-рую рассматривают обычно как часть обозначения К.: ?х, ?у, ?F, ?х, ?? и т.п. Для К. общности употребляют также обозначения: для К. существования: Знак К. ставится перед выражением, к к-рому применяется К. (операцию применения К. часто называют квантификацией); это выражение заключается в скобки (к-рые часто опускают, если это не приводит к двусмысленности). Содержащее К. общности выражение ?x (А (х)) читается как "Для всех x верно, что А (х)", или "Для каждого x верно А (х)"; содержащее К. существования выражение ?х (А(х)) читается как "Существует x такой, что А (х)", или "Для нек-рого x верно А(х)". В обоих этих случаях не предполагается, вообще говоря, что выражение A (х) в действительности зависит от переменной x (оно может и вообще не содержать никаких переменных, т.е. может обозначать нек-рое высказывание; в этом случае квантификация не меняет смысла этого высказывания). Однако осн. назначение К. - образование высказываний из выражения, зависящего от кванторной переменной, или хотя бы уменьшение числа переменных, от к-рых это выражение, будучи незамкнутой (открытой) формулой (см. Замкнутая формула), зависит. Напр., выражение (y>0&z>0&x=у-z) содержит три переменные (х, y и z) и становится высказыванием (истинным или ложным) при к.-л. опред. замещении этих переменных именами нек-рых предметов из области их значений. Выражение ? z(y>0&z>0&x = y-z) зависит уже лишь от двух переменных (х и у), a ?y?z (y>0&z>0& &х = у –z) - от одной х. Последняя формула выражает, т.о., нек-рое свойство (одноместный предикат). Наконец, формула ?х?у?z (y>0&z>0&x=y–z) выражает вполне опред. высказывание. Др. примеры формул, содержащих К.: 1) ?х(х>0); 2) ?х(х>0); 3) ?х (2+2=5); 4) ?x (2+2=4); 5) ?х (х = х)& (х+2=у); 6) ?х?у (?z (x = z?x ? 0) & (x