понятие логики (см. Умозаключение апагогическое).
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Источник: Философский энциклопедический словарь
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
вид логического доказательства, отличающийся способом обоснования тезиса. В отличие от прямого доказательства косвенное доказательство истинность доказываемого тезиса обосновывается посредством установления ложности некоторых положений. Последние так связаны с доказываемым тезисом, что из их ложности с необходимостью следует истинность тезиса.
Источник: Словарь науки. Общенаучные термины и определения. 2008 г.
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
вид логического доказательства, отличающийся способом обоснования тезиса. В отличие от прямого доказательства в К. Д. истинность доказываемого тезиса обосновывается посредством установления ложности нек-рых положений. Последние так связаны с доказываемым тезисом, что из их ложности следует истинность тезиса. Существуют разные виды К. д. В разделительном К. Д. рассматривается нек-рое число предположении, в совокупности исчерпывающих все возможные в данном случае утверждения; выясняется ложность всех предположений, кроме одного, истинность к-рого, т. обр., и устанавливается. Др. вид К. Д.— апагогическое доказательство (доказательство от противного), в ходе к-рого получают логическое противоречие из допущения истинности антитезиса (утверждения, противоречащего доказываемому тезису) и на этом основании делают заключение об истинности тезиса.
Источник: Философский энциклопедический словарь
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
- доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем показа ошибочности противоположного ему допущения.
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. В К. д. рассуждение идет как бы окольным путем. Прямые аргументы для выведения из них доказываемого положения не отыскиваются. Вместо этого формулируется антитезис, отрицание этого положения, и тем или иным способом показывается его несостоятельность.
Поскольку К. д. использует отрицание доказываемого положения, оно называется также доказательством от противного. Напр., врач, убеждая пациента, что тот не болен малярией, может рассуждать так: "Если бы действительно была малярия, имелся бы ряд характерных для нее симптомов, в частности общая слабость и озноб. Однако таких симптомов нет. Значит, нет и малярии".
К. д. проходит, таким образом, следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.
В зависимости от того, как устанавливается ложность антитезиса, можно выделить несколько вариантов К. д. Иногда ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами, эмпирическими данными. Так, в приведенном примере рассуждение идет по схеме: если неверно первое, то второе; но второе неверно, значит, верно первое.
Нередко анализ самой логической структуры следствий антитезиса позволяет сделать вывод, что он ошибочен. Так, если в числе следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне противоречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания.
Напр., для доказательства тезиса "Квадрат - это ромб с прямыми углами" выдвигается антитезис: "Неверно, что квадрат есть ромб с прямыми углами". Из последнего выводится как то, что у квадрата все углы прямые (т. к. быть квадратом значит иметь четыре прямых угла), так и то, что у квадрата углы не являются прямыми. Раз из антитезиса вытекает и утверждение, и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является противоположное утверждение - тезис.
Рассуждение здесь идет в соответствии с законом косвенного доказательства: если из отрицания высказывания вытекает логическое противоречие, само высказывание истинно.
Существует разновидность К. д., когда прямо не приходится искать ложных следствий антитезиса. Согласно закону Клавия, если из отрицания высказывания вытекает это высказывание, оно является истинным. Напр., из отрицательного высказывания "Ни одно суждение не является отрицательным" вытекает: "Некоторые суждения являются отрицательными"; значит, истинно это утвердительное высказывание, а не исходное отрицательное.
К. д. - эффективное средство обоснования выдвигаемых положений. Однако его специфика в определенной мере ограничивает сферу применения. Эта специфика состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено ложное утверждение или логическое противоречие. Имея дело с К. д., приходится все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Более серьезные возражения против К.д. связаны с использованием в нем закона (снятия) двойного отрицания. Этот закон не признается универсальным, неограниченно приложимым интуиционистской логикой.
Источник: Словарь по логике
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
непрямое доказательство) – доказательство, в к-ром заключение об истинности доказываемого суждения (тезиса доказательства) извлекается непосредственно из опровержения нек-рого др. суждения (или суждений), находящегося в определ. отношении к тезису. Обычно рассматривают разделительные и апагогические К. д. В разделительном К. д. тезис представляет собой один из членов дизъюнкции суждений, о к-рой известно, что она истинна; доказательство состоит в опровержении всех членов дизъюнкции, кроме одного – тезиса доказательства. [Этот вид К. д. имеет, т.о., форму отрицающе-утверждающего модуса (modus tollendo ponens) разделительно-категорич. умозаключения ]. Если известно, что истинно какое-то из суждений Т1, Т2, ..., Тn (что можно представить разделит. посылкой "Т1 или Т2, или ..., или Тi или..., или Тn") и что все эти суждения, кроме одного из них, напр. Тi, ложны (т.е. имеет место Т1 и Т2, и ..., и Ti-1, и 1 ?i+1, и ..., и Тn", где – знак отрицания), то суждение ?i (тезис доказательства) истинно. Эта форма К. д. применима как в том случае, когда в разделит. посылке подразумевается истинность п о к р а й н е й м е р е одного из n ее членов, так и в том случае, когда имеется в виду истинность т о л ь к о о д н о г о из них. В а п а г о г и ч е с к о м К. д. (от греч. apagoge – вывод), иначе называемом доказательством от противного, вывод об истинности тезиса извлекается из опровержения противоречащего ему суждения (т.н. антитезиса) посредством выведения из последнего такого заключения, к-рое является ложным суждением [это выведение наз. "приведением к нелепости", "приведением к абсурду" (лат. reductio ad absurdum, deductio ad absurdum) или "приведением к невозможному" (лат. reductio ad impossibile); наиболее распространенным случаем "приведения к абсурду" является выведение логич. противоречия ]. Если антитезис представляет собой отрицание тезиса (т.е. если ? – тезис, а ? – антитезис), то переход от ложности антитезиса к истинности тезиса предполагает (наряду с положением о равнозначности ложности суждения истинности его отрицания) применение закона снятия двойного отрицания (апагогическое К. д. 1-го вида); если же тезис есть отрицание антитезиса (т.е. если Т – тезис, а Т – антитезис), то такой переход свободен от применения указанного закона (апагогич. К. д. 2-го вида). К. д. широко применяются в рассуждениях. Это особенно касается апагогич. К. д., играющих важную роль в дедуктивных науках, в которых апагогич. К. д. часто оказываются более краткими и простыми, чем некосвенные (прямые) доказательства тех же тезисов. В дедуктивных науках применяются апагогич. К. д. обоих видов, хотя они и различаются по своей применимости к разл. вопросам. Последнее находит отражение в разл. отношении к этим двум видам апагогич. К. д. в классич. и неклассич. (в частности, конструктивной, интуиционистской и минимальной) математич. логике, что объясняется различием в подходе к закону снятия двойного отрицания (см. Двойного отрицания законы) и связанному с ним принципу исключенного третьего. Закон снятия двойного отрицания (принимаемый в классич. логике) в общем случае не принимается в неклассич. логич. системах (принятие его в конструктивной и интуиционистской логике было бы равносильно отбрасываемому здесь закону исключенного третьего; в др. неклассич. системе – в минимальной логике – принятие закона снятия двойного отрицания влечет за собой принятие закона исключенного третьего, но не обратно). Поэтому в указанных неклассич. системах не допускаются апагогич. К. д. 1-го вида [кроме, напр., тех из них, в к-рых тезис представляет собой отрицание нек-рого высказывания (т.е. имеет вид В, в силу чего антитезис имеет вид В); это исключение объясняется тем, что в этих системах опровержимость формулы В равносильна опровержимости формулы В, что сводит этот случай апагогич. К. д. 1-го вида к апагогич. К. д. 2-го вида ]. В упомянутых неклассич. системах допустимые там апагогич. К. д. обосновываются теоремой о дедукции и контрапозиции законами (А?В ? ( B ? A) и (A ? B) ? (B? A) или законом приведения к абсурду (A?B) ? ((A?В) ? A) (принятие к-рого, впрочем, влечет за собой принятие обеих указанных форм принципа контрапозиции и равносильно принятию второй из них). В классич. логике в качестве средства обоснования апагогич. К. д. пригодны и нек-рые иные законы – в частности те, к-рые получаются из только что упомянутых путем обмена местами A и A. Исторически К. д. возникли очень давно. Так, их применяли представители др.-греч. науки и философии (элейцы, софисты и др.). Они были известны Аристотелю. Апагогич. К. д. пользовался Эвклид в своих "Началах", в силу чего они широко известны из школьного курса геометрии. Термин "К. д." применяется и в юриспруденции (в теории судебных доказательств), однако в отличном от описанного смысле. В юриспруденции К. д. (или косвенными уликами, или просто уликами) называют источники сведений о таких фактах, к-рые сами непосредственно не являются предметом судебного исследования, но связаны с этим предметом и могут поэтому при определ. условиях служить основанием для вывода о существ. чертах преступления. Лит.: Начала Эвклида, кн. 1–6, пер. с греч., М.–Л., 1948 (см. такжекоммент. с. 262–64 и 346–50); Аристотель, Аналитики первая и вторая, [пер. с греч., М., 1952 ], с. 141–47, 156, 238; Асмус В. Ф., Учение логики о док-ве и опровержении, М., 1954, с. 44–49; Строгович М. С., Материальная истина и судебные док-ва в сов. уголовном праве, М., 1955; Рутковский Л. В., Критика методов индуктивного доказательства, в кн.: Избр. труды рус. логиков XIX в., М., 1956, с.217–21; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 50, 52, 439; Старченко ?. ?., Логика в судебном исследовании, М., 1958, гл. 1, Градштейн И. С., Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики, 3 изд., М., 1959, гл. 1; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959, с. 99–105; Черч ?., Введение в матем. логику, [т. ] 1, пер. с англ., [М. ], 1960, § 26.
Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ (непрямое доказательство)
доказательство «от противоречащего случая», такая форма логической аргументации, при которой явно используются дедуктивные свойства противоречия. Обычно выделяют две формы косвенного доказательства — разделительную и апагогическую.
В разделительной форме исходной посылкой служит дизъюнкция суждений, о которой известно, что она истинна и Образует полную систему гипотез (альтернатив), а тезисом доказательства (тем, что требуется доказать) объявляется (по крайней мере) одна из гипотез этой дизъюнкции. Т. о., особенность разделительного косвенного доказательства—в исключении (как ложных) всех гипотез главной посылки, кроме тезиса. Такое исключение проводится многократным применением правила (modus tollend ponens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая; «А или В, не-А, следовательно, В». При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства.
В апагогической форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса—суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством «от противного». Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т. о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum).
Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, «уличающие опровержения» Зенона Элейского, его апории, соответствующие одному из логических законов, а именно ((3-)3-). Аристотель уже явно формулирует идею апагогического косвенного доказательства как доказательства «посредством приведения к невозможному» (reductio ad impossible), добавляя, что «при приведении к невозможному противоположное суждение есть истина не заранее признанная, а условно взятая» (Аристотель. Аналитики. 61а 19—61Ь 4. M., 1952, с. 142). Однако он не указывает, на какие логические законы опирается апагогическое косвенное доказательство. Между тем уточнение этих законов и их семантики привело к разделению апагогических косвенных форм на «различные степени косвенности» и к размежеванию современной логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм косвенного доказательства, и интуиционистскую (конструктивную) логику, допускающую, вообще говоря, только одну его форму—доказательство отрицательных суждений (тезисов) через построение, приводящее к абсурду гипотезу об истинности противоречащей им посылки. Т. о., приведенный выше закон Зенона соответствует интуиционистской установке и принимается, а его («симметричная») форма—т. н. «тонкое следование» (consequentia mirabilis), восходящее к «Началам» (кн. IX, теорема 12) Евклида,—этой установке не соответствует и отвергается. Размежевание в подходах к законности некоторых форм косвенного доказательства связано с интуиционистским отказом от использования положительной и отрицательной манеры утверждения как равноправных. Это равноправие выражается, в частности, в свободном использовании закона снятия двойного отрицания (duplex negati affirmat), вообще говоря, неприемлемого (равно как и дедуктивно связанного с ним закона исключенного третьего) в силу неэффективности (неконструктивности) в ситуациях, когда мысль выходит за пределы финитных возможностей опыта, и вопрос об истинности или ложности суждений решается не прямой опытной проверкой, а некоторым трансфинитным рассуждением. В результате оба этих закона (несмотря на их простоту и широкое использование в математике, начиная с Евклида) и соответственно формы апагогического косвенного доказательства, от них зависящие, в интуиционистской логике отвергаются. А в отсутствии этих законов косвенно доказываются только отрицательные тезисы, поскольку интуиционистски верная импликация -i-i-iAs-iA независима от них. По существу именно этого рода дедукции, формально представимые, к примеру, такой формой закона приведения к абсурду (к противоречию), как (Аэ В) э ((А=>->В) =>-.А), являются единственным (не считая прямого определения) логическим путем введения отрицания в интуиционистских теориях, что указывает на важность этой формы косвенного доказательства для этих теорий. Из других интуиционистски приемлемых форм можно указать на контрапозицию (A=>B)s(-iB3-iA), (Аэ-1В)э(Вэ-^А) и Вз((Аэ-.В)э-1А), а из приемлемых еще и классически — закон обратной контрапозиции ( -i В э -i А) э (А => В) : предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (АзВ).
Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его трансцендентный характер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений.
Лит.: Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954, гл. 5; Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965; Клини С. К. Математическая логика. М., 1973; Luwenheim L. On Making Indirect Proofs Direct.—«Scripta Math.», 1946, 12; Goodstein R. L. Proof by reductio ad absurdum.—«Math. Gazette», 1948, 32; Beth E. W. bservation au sujet du raisonnement indirect.—«Logique et Analyse» 1960.N 11-12.
M. M. Новоселов
В разделительной форме исходной посылкой служит дизъюнкция суждений, о которой известно, что она истинна и Образует полную систему гипотез (альтернатив), а тезисом доказательства (тем, что требуется доказать) объявляется (по крайней мере) одна из гипотез этой дизъюнкции. Т. о., особенность разделительного косвенного доказательства—в исключении (как ложных) всех гипотез главной посылки, кроме тезиса. Такое исключение проводится многократным применением правила (modus tollend ponens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая; «А или В, не-А, следовательно, В». При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства.
В апагогической форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса—суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством «от противного». Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т. о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum).
Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, «уличающие опровержения» Зенона Элейского, его апории, соответствующие одному из логических законов, а именно ((3-)3-). Аристотель уже явно формулирует идею апагогического косвенного доказательства как доказательства «посредством приведения к невозможному» (reductio ad impossible), добавляя, что «при приведении к невозможному противоположное суждение есть истина не заранее признанная, а условно взятая» (Аристотель. Аналитики. 61а 19—61Ь 4. M., 1952, с. 142). Однако он не указывает, на какие логические законы опирается апагогическое косвенное доказательство. Между тем уточнение этих законов и их семантики привело к разделению апагогических косвенных форм на «различные степени косвенности» и к размежеванию современной логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм косвенного доказательства, и интуиционистскую (конструктивную) логику, допускающую, вообще говоря, только одну его форму—доказательство отрицательных суждений (тезисов) через построение, приводящее к абсурду гипотезу об истинности противоречащей им посылки. Т. о., приведенный выше закон Зенона соответствует интуиционистской установке и принимается, а его («симметричная») форма—т. н. «тонкое следование» (consequentia mirabilis), восходящее к «Началам» (кн. IX, теорема 12) Евклида,—этой установке не соответствует и отвергается. Размежевание в подходах к законности некоторых форм косвенного доказательства связано с интуиционистским отказом от использования положительной и отрицательной манеры утверждения как равноправных. Это равноправие выражается, в частности, в свободном использовании закона снятия двойного отрицания (duplex negati affirmat), вообще говоря, неприемлемого (равно как и дедуктивно связанного с ним закона исключенного третьего) в силу неэффективности (неконструктивности) в ситуациях, когда мысль выходит за пределы финитных возможностей опыта, и вопрос об истинности или ложности суждений решается не прямой опытной проверкой, а некоторым трансфинитным рассуждением. В результате оба этих закона (несмотря на их простоту и широкое использование в математике, начиная с Евклида) и соответственно формы апагогического косвенного доказательства, от них зависящие, в интуиционистской логике отвергаются. А в отсутствии этих законов косвенно доказываются только отрицательные тезисы, поскольку интуиционистски верная импликация -i-i-iAs-iA независима от них. По существу именно этого рода дедукции, формально представимые, к примеру, такой формой закона приведения к абсурду (к противоречию), как (Аэ В) э ((А=>->В) =>-.А), являются единственным (не считая прямого определения) логическим путем введения отрицания в интуиционистских теориях, что указывает на важность этой формы косвенного доказательства для этих теорий. Из других интуиционистски приемлемых форм можно указать на контрапозицию (A=>B)s(-iB3-iA), (Аэ-1В)э(Вэ-^А) и Вз((Аэ-.В)э-1А), а из приемлемых еще и классически — закон обратной контрапозиции ( -i В э -i А) э (А => В) : предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (АзВ).
Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его трансцендентный характер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений.
Лит.: Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954, гл. 5; Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965; Клини С. К. Математическая логика. М., 1973; Luwenheim L. On Making Indirect Proofs Direct.—«Scripta Math.», 1946, 12; Goodstein R. L. Proof by reductio ad absurdum.—«Math. Gazette», 1948, 32; Beth E. W. bservation au sujet du raisonnement indirect.—«Logique et Analyse» 1960.N 11-12.
M. M. Новоселов
Источник: Новая философская энциклопедия