Количество

объективная определенность качественно однородных явлений, или качество в его пространственно-временном аспекте, со стороны его бытия в пространстве и времени. Поскольку все явления в природе и человеч. истории существуют в пространстве и изменяются во времени, постольку они и могут рассматриваться как качественно тождественные, т.е. со стороны лишь количеств. различий, а категория К. является универсальной, т.е. логич. категорией, необходимой ступенькой познания действительности. Универсально-логич. характер категории К. доказывается всей историей познания и практики человека. Познание внешнего мира на стадии его количеств. анализа связано с методами и языком математики. Количеств. характеристика явлений необходима в процессе целенаправл. изменения природы человеком. Предмет, не отраженный в аспекте К., не может считаться конкретно познанным. Однако ошибочно видеть только в чисто количеств. описании явлений их полное, тем более исчерпывающее, познание. Односторонне-количественный взгляд на действительность есть такой, с т. зр. к-рого единственно объективными формами существования внешнего мира являются лишь пространственно-геометрич. контуры тел и их изменения во времени, т.е. механич. перемещение частей материи, а все остальные чувственно воспринимаемые качества и свойства тел объявляются субъективными иллюзиями человека, его органов чувств. Поэтому односторонне-количеств. понимание внешнего мира и выступает исторически как механистич. материализм. Идеалистич. вариант односторонне-количеств. взгляда на мир и его познание всегда связан с идеалистическим же пониманием пространства и времени, с толкованием их как субъективно-психологич. (Юм) или трансцедентальных (Кант) категорий. В своем крайнем выражении этот взгляд приводит к чисто формальному представлению о К. как о чисто субъективном феномене. Материализм, отстаивая предметный смысл категории К., а также ее универсальный характер, всегда усматривал предметную основу количественно-математич. характеристик в реальной пространственно-временной форме бытия материи. К. всегда находится в диалектически противоречивой связи с качеством, выступающей, в частности, как закон перехода количеств. изменений в качественные и обратно (см. Мера, Переход количественных изменений в качественные). Первой попыткой специально проанализировать проблему К. можно считать исследования пифагорейцев. Непосредств. предметом их анализа явилось число как абстрактнейшая форма выражения К., сложившаяся в стихийно-практич. сознании людей на основе их предметно-практич. деятельности. Число сразу же обнаруживает свойства, кажущиеся таинственными. Натуральный ряд чисел содержит в себе ярко выраженные правильности, гармонически-периодич. соотношения. Но ведь люди, создавшие числа и расположившие их в естеств. (натуральную) последовательность, вовсе не заботились о том, чтобы вложить в нее эти правильные соотношения. Откуда же они там взялись? Религиозно-мистич. традиция подсовывала готовый ответ, объявляя загадочные свойства чисел и числовых рядов божеств. природой числа. Пифагорейская мистика чисел и есть не что иное, как отсутствие объяснения, принятое за объяснение, или постановка действит. проблемы, выданная за ее решение. В наблюдениях пифагорейцев был зафиксирован также и тот загадочный факт, что "правила", обнаруженные в числовых рядах, затем открываются и в явлениях внешнего (чувственно созерцаемого) мира, напр. в соотношениях длин звучащих частей струн и т.п. Этот факт также был отнесен к числу божественных. Отсюда прямо вытекало и пифагорейское понимание задачи рацион. познания. Оно сводилось к тому, чтобы обнаруживать в чувственно воспринимаемых явлениях те самые соотношения и закономерности, к-рые были до этого обнаружены в числах как таковых. Однако обожествление числа очень скоро привело пифагорейскую школу к ряду противоречий. Оказалось, напр., что невозможно найти путем подбора такие целые числа, к-рые выражали бы сформулированное самим Пифагором правильное соотношение между квадратом гипотенузы и квадратами катетов, когда катеты равны (т.е. когда гипотенузой служит диагональ квадрата). Это "атеистическое" свойство квадрата настолько обескуражило священнослужителей пифагорейского союза, что его решили держать в строжайшей тайне. Ни к чему не привели и старания выразить через целое число соотношение радиуса и окружности. Пифагорейцы в итоге оказывались перед альтернативой – либо отказаться от священных основоположений, либо закрыть дорогу свободному математич. исследованию. Тайны и мистич. обряды, к-рыми пифагорейцы окружили число, превратились очень скоро в тормоз развития антич. математики. Еще острее выявились трудности, связанные с числом, в исследованиях элейской школы. Здесь число было поставлено на очную ставку с чувственно воспринимаемым фактом движения тел, перемещения тела в пространстве. Между выражением этого факта через число как отчетливо выраженную дискретную величину и столь же отчетливо выраженной непрерывностью движения тела в пространстве и времени был зафиксирован неразрешимый конфликт, апория. У числа появился новый грозный враг – бесконечность. Оказывалось, что любая конечная величина (тела, пройденного им пути или отрезка времени, в течение к-рого этот путь проходится), будучи выражена через число, выглядит как бесконечная величина, как нечто неисчислимое. До исследований элейцев К. выступало в сознании только в виде числа, выражающего определ. величину, т.е. как нечто всецело дискретное, многое. Апории Зенона остро зафиксировали, что число и величина суть формы выражения чего-то иного, притом такие формы, к-рые бессильны выразить это иное. То, что выражается в числе как многое, как прерывное, на самом деле есть "одно", "единое", "непрерывное". Объективно только здесь и мог встать вопрос о том, что такое К. независимо от его выражения в числе, т.е. как особое понятие, отличное от понятий числа и величины. Рассуждения элейцев разрушали представление о божеств. природе числа. По существу они доказывали, что число, связанное с представлением о дискретности бытия, есть лишь субъективно произвольная форма, извне налагаемая на бытие, к-рое на самом деле непрерывно и едино, и что поэтому число и числовые соотношения выражают не подлинное бытие, а лишь видимость, пестрое марево чувственно воспринимаемых фактов. Тем самым математика попадала, по классификации элейцев, в сферу "мнения". По этой причине элейская школа не могла противопоставить пифагорейской мистике чисел своего принципа математич. мышления. Единственно плодотворным для конкретного исследования количеств. аспекта действительности принципом оказалась в этих условиях атомистика Левкиппа – Демокрита. Более того, сам атомистич. принцип возник, по-видимому, именно как единственно возможный выход из трудностей, до предела обостренных столкновением пифагорейской и элейской школ. Представление об атоме как о мельчайшей, физически неделимой частице позволяло сохранить в составе представления о реальном мире оба взаимно исключающих друг друга момента количеств. (пространственно-временного) аспекта действительности – и прерывность и непрерывность, и неделимость и делимость, и единое и многое, и бесконечное и конечное (т.е. величину). Атомистика позволяла истолковать число, выражающее форму и порядок тел в пространстве и времени, как чисто объективную характеристику материального мира, не зависящую от произвола людей или богов. Согласно учению Левкиппа – Демокрита, любое чувственно воспринимаемое тело состоит из очень большого (отнюдь не бесконечного) числа атомов, "неделимых". Поэтому величина есть функция от числа неделимых. Неделимое выступает, Т.о., как естеств. единица, как реальное основание измерения и счета. Осн. понятия математики (арифметики и геометрии) выстраивались, Т.о., в строгую систему, построенную к тому же на чисто материалистич. фундаменте. И прерывность и непрерывность, и делимость и неделимость, и единство и множество, и бесконечность и конечность определялись здесь как одинаково объективные свойства и характеристики "тела", ибо понятие тела формально объемлет как "атом", так и чувственно воспринимаемое тело. Реальностью К. тем самым оказывалась телесность, а не нек-рые "бестелесные" сущности вроде единицы, точки, линии или поверхности. Эта установка атомистики отнюдь не была только философско-гносеологич. принципом. Она являлась также могучим эвристич. принципом развития собственно математич. построений. Идея Демокрита позволяла перекинуть мост между бытием и его образами в чувств. созерцании, в частности между числами и геометрич. фигурами. Толкуя, напр., окружность как многоугольник с очень большим числом сторон, равным числу "неделимых", Демокрит теоретически разрешил проблему числа "пи". При этом толковании бесконечность частичной дроби выступала как показатель того факта, что масштаб (мера) измерения взят неточно, приближенно, огрублено. В том случае, когда единицей измерения оказывается "неделимое", число "пи" должно выразиться в целом конечном числе. Рассматривая атом как естественный объективно допустимый предел деления тел, как естеств. единицу измерения, Демокрит ставил математику на прочный фундамент физич. реальности. Именно в атомистич. строении тел обнаруживалась та однородность и одноименность, к-рая вообще позволяет рассматривать тела любой формы и вида как математически соизмеримые, как различающиеся между собой только количественно. По существу только здесь было обосновано право математики рационально соотносить и сравнивать между собой линию с точкой, линию – с поверхностью, поверхность – с объемом, кривую – с прямой, число – с фигурой и т.д. К. только здесь переставало быть просто собират. названием для совершенно разнородных понятий и выступало как тот общий для всех математич. понятий предмет, без к-рого они, строго рассуждая, должны рассыпаться. Атомистика, направленная своим острием против спиритуалистич. концепций внешнего мира, будто внешний (телесный) мир так или иначе состоит из бестелесных, непротяженных точек, из линий, лишенных толщины, и поверхностей, лишенных глубины, и оформляется бестелесными же числами, попадала в естеств. конфликт с официальной греч. математикой [ср. Аристотель: "Постулируя неделимые тела, они (Демокрит и Левкипп) вынуждены впасть в противоречие с математикой" ]. Греч. геометров смущало, что при допущении мельчайшей, даже мысленно неделимой частицы оказывается невозможным разделить точно пополам отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Две половины такого отрезка никогда не могут быть "равными", "конгруэнтными", а будут только казаться таковыми в силу грубости наших чувств, слабой разрешающей силы глаза. Но тем самым "равенство", "конгруэнтность" и им подобные понятия, на к-рых геометрия основывала свои доказательства, оказывались, строго рассуждая, лишь приблизительными, лишь огрубленными образами. Отстоять свою "абсолютность" геометрия в этих условиях могла, только провозгласив суверенность геометрич. образов и построений от внешнего мира, причем не только от чувственно воспринимаемого многообразия эмпирии, но и от бытия в филос. смысле, от физич. реальности в смысле Демокрита. Интересы геометров в этом пункте прямо смыкались с интересами филос. учений, враждебных атомистике. Офиц. математика поэтому шла в общем и целом в фарватере идеалистич. филос. систем и получила от них ярлык точнейшей из наук и квалификацию своих аксиом как вечных и неизменных. Школа Платона попыталась усвоить идеи атомистики, отвергая в то же время материализм, представление о телесно-физич. природе неделимых. Вместо неделимого тела она приняла неделимую, минимальную поверхность и далее неделимый бестелесный контур – треугольник, к-рый, подобно идеям, оформляет бесформенную материю. Тем самым прерывность, оформленность, ограниченность чувственно воспринимаемых тел приписывались действию бестелесных математич. идей, а чистая геометрия получала полную независимость от материи, от физич. (качеств.) характеристик. Материя, представленная в этой концепции как нечто киселеобразное, как "апейрон", внутри себя абсолютно однородна и не может быть представлена как определ. К., как величина, число или фигура. Это – чистая возможность количеств. различений, полагаемых в нее извне, со стороны царства "идей"; опосредующим же звеном между идеями и материей выступают как раз "математич. предметы", непосредственно воплощающиеся в виде чувственно воспринимаемых контуров, очертаний и фигур определ. величины и числа, короче говоря – в виде многообразных тел в пространстве. Тем же путем была лишена предметного смысла и "единица", основа счета и измерения. Числовые пропорции и отношения вновь, как у пифагорейцев, начинают представляться абсолютно самостоят. сущностями, т.е. особого рода вещами, к-рые существуют несмотря на то, что у них нет тела. Аристотель попытался впервые зафиксировать и рассмотреть К. как особую категорию, не совпадающую с числом, величиной, фигурой и другими специально математич. понятиями. "К о л и ч е с т в о м – называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это – величина, если его можно измерить" (Met. V, 13, 1020 а 7–14; рус. пер., М., 1934). "Между количествами одни раздельны, другие – непрерывны, и одни состоят из находящихся в них частей, имеющих определенное положение друг к другу, а другие из частей, не имеющих такого положения. Раздельными являются, например, число и речь, непрерывными – линия, поверхность, тело; а кроме того еще время и пространство" (Cat., VI, 4 b.; pyc. пер., M., 1939). Уже формальная (словесная) дефиниция весьма характерна, она обнимает не только "разнородные", но и прямо взаимоисключающие, противоположные друг другу предметы рассмотрения; К. выступает как высший род, содержащий внутри себя противоположности, как единство этих противоположностей. Рассмотрение этих диалектич. трудностей и попытки найти им решение осуществляются Аристотелем не в общей форме, а в его обычной манере двигаться "от частного к частному". Сила аристотелевского гения вообще обнаруживается не в дефинициях и итоговых выводах, а именно в способе рассмотрения трудностей, в поиске, в постоянных поворотах мысли, точки зрения, постановки вопроса и т.д. В качестве примеров непрерывных К. фигурируют линия, поверхность, тело, "а кроме того еще время и пространство". Все эти примеры просто ставятся рядом, как равноценные. Но анализ показывает, что линия и поверхность ни в коем случае не суть самостоятельно существующие вещи, а только определ. характеристики тела. Кроме того, Аристотель категорически отвергает и самостоят. существование пространства, т.е. представление о нем в виде пустоты, и толкует пространство также в качестве определ. характеристики того же "тела". Т.о., все непрерывные К. по существу сводятся к одному образу – к образу пространственно определенного тела. Время тоже рассматривается им как "число движения", т.е. тоже как определение тела, поскольку то движется, перемещается в пространстве. Непрерывное К. тем самым толкуется уже не как у элейцев, т.е. не как неразличенная сплошность, в к-рой отсутствуют какие бы то ни было границы. Это непрерывное К. само внутри себя различено, разграничено, т.е. состоит из частей. Но части непрерывного К. соприкасаются друг с другом, т.е. имеют общую (одну на двоих) границу и между ними нет промежутка, заполненного инородным телом или инородной "сущностью". Раздельные же (прерывные) К. характеризуются тем, что их части не имеют общей границы. В качестве примеров раздельных К. фигурируют число и речь, единицы и слоги. Иными словами, пока речь идет о реальной, вне человека сущей, действительности, Аристотель допускает в ней только непрерывные К., т.е. такие К., составные части к-рых всегда имеют общую границу. В итоге вопрос об отношении прерывных и непрерывных К. у Аристотеля фактически сводится к вопросу об отношении числа и речи к реальному чувственно воспринимаемому миру или знаков к вещам, этими знаками обозначаемым. Число, как постоянно повторяет Аристотель в ходе своей полемики с пифагорейско-платоновским идеализмом, ни в коем случае нельзя рассматривать как особую вещь, имеющую отдельное, обособленное от чувств. (телесных) вещей существование (см. Met. XIV, 6 1093 b 24–29). Комментируя рассуждения Аристотеля, Ленин особо выделяет эту мысль "Метафизики": "Наивное выражение "трудностей" насчет "философии математики" (говоря по современному): книга 13, глава 2, § 23: "Далее, тело есть субстанция, ибо оно обладает известной законченностью. Но как могли бы быть субстанциями линии? Они не могли бы таковыми быть ни в смысле формы и образа, подобно, например, душе, ни в смысле материи, подобно телу: ибо очевидно, что ничто не может состоять из линий, или из плоскостей, или из точек...". К н и г а 1 3 , г л а в а 3 разрешает эти трудности превосходно, отчетливо, ясно, м а т е р и а л и с т и ч е с к и (математика и другие науки абстрагируют о д н у из сторон тела, явления, жизни). Но автор н е в ы д е р ж и в а е т последовательно этой точки зрения" ("Философские тетради", в кн.: Соч., т. 38, с. 371). "Количеством в собственном смысле называется только то, что указано выше; все же остальное называется так привходящим образом: в самом деле, имея в виду те , которые были указаны, мы называем количествами и остальные предметы; так, например, белое называется большим, потому что велика поверхность, и дело – продолжительным, потому что оно совершается (происходит) долгое время, и точно также движение – значительным: все это называется количеством не само по себе. В самом деле, если человек указывает, сколь продолжительно данное деяние, он определит это посредством времени, называя такое деяние одногодичным или как-нибудь подобным образом; также указывая, что белое есть некоторое количество, он определит его чрез посредство поверхности: как велика поверхность, такую величину припишешь ты и белому. Поэтому только указанное выше называется количеством в собственном смысле и само по себе; из всего же остального ничто не называется так само по себе, а если и называется, то – привходящим образом" (Cat., VI, 5 b). К. здесь весьма явственно толкуется как пространственная, временная, или пространственно- временная определенность того предмета, о к-ром идет речь. Но для Аристотеля совершенно ясно, что эта (количеств.) характеристика никогда не исчерпывает полной действительности предмета. Напр., исследователь чисел рассматривает человека не поскольку он человек, а поскольку он – единое и неделимое. С др. стороны, геометр не рассматривает его ни поскольку он человек, ни поскольку он неделим, а поскольку это – тело (см. Met. XIII, 3). Но человек является "единым и неделимым" именно постольку, поскольку он – человек. По той же причине он есть вполне определенное геометрически тело, а не просто тело. Иными словами, Аристотель отмечает здесь, что человек в его "полной действительности" есть всегда нечто большее, чем его изображение в арифметике (в числе) и в геометрии (в виде пространственно-определенной фигуры). Здесь же ясно видна и принципиальная разница между Аристотелем и атомистикой. Аристотель в качестве примера "единого и неделимого" приводит здесь человека, точнее – индивидуума, понимая это в том смысле, что индивидуум есть предел деления рода "человек". При делении человека пополам получаются не две половинки "человека", а две половинки трупа. Это значит, что каждый род действительности имеет свою "меру", т.е. свою "естеств." единицу. "И мера всегда должна быть дана как что-то одно для всех предметов , например, если дело идет о лошадях, то мера – лошадь, и если о людях, то мера – человек. А если мы имеем человека, лошадь и бога, то здесь, пожалуй – живое существо, и их число будет числом живых существ. Если же мы имеем человека, белое и идущее, здесь всего менее можно говорить об их числе, потому что все эти определения принадлежат тому же самому предмету и одному по числу, но все же число таких определений будет числом родов, или здесь надо взять какое-нибудь другое подобное обозначение" (Met. XIV, 1 1087 b 33–1088 а 14). Число тут явно понимается как мера, повторенная много раз, т.е. как математич. выражение качества предмета. Аристотель, как отмечает Ленин, не выдерживает последовательно материалистич. т. зр. на математич. предметы. Это связано с тем, что, кроме тела, в его философии важнейшую роль играет активная форма как самостоят. сущность, и с тем, что он постоянно путается в диалектич. трудностях, касающихся отношений общего и единичного, чувственно воспринимаемого и умопостигаемого. Но сама эта путаница не плод недомыслия, а выражение того факта, что проблема К. на самом деле ведет к др. общефилос. проблемам и решается, в конце концов, только в общефилос. контексте, и ни в коем случае не внутри математики. Схоластика, почву для к-рой подготовили уже стоики своей предельно формалистич. логикой, в общем не дала почти ничего для постановки и решения проблемы К. Это было связано, в частности, и с тем, что на протяжении средних веков почти не двинулись вперед исследования в области математики. Логика стоиков и схоластов не могла послужить сколько-нибудь плодотворным средством развития математики или способом объяснения существа ее методов и результатов. Ни стоики, ни схоласты не выделили из своей среды ни одного крупного математика, а их разработки носили по большей части характер формальных спекуляций по поводу готовых результатов математич. исследования или философствования по поводу "основ математики". Дальнейшее продвижение вперед стало возможно только вместе с подъемом математич. естествознания в 16 в. и было связано с именами Кавальери, Декарта, Ньютона, Спинозы. Проблема К. естественно выступала на первый план по той причине, что естествознание 16–18 вв. было преимущественно математическим или, если охарактеризовать его методологич. и мировоззренч. характер, механистическим. Особый интерес в этом плане представляет фигура Декарта, соединившего в себе, впервые после Демокрита, математика и философа. Его открытия в области математики в значит. мере обусловлены его философией, и в частности – его анализом проблемы К. как филос. категории. Математич. естествознание 16–17 вв. стихийно склонялось к др.-греч. атомистике, возрожденной почти без корректив; однако Декарт в своей реконструкции атомистич. принципа сделал важнейший шаг вперед по сравнению с Демокритом. В его представлениях о К. сказывается сильнейшее влияние филос. диалектики, идей Аристотеля. Декарт отвергает представление о пространстве как о бестелесной пустоте и также представление об абс. пределе деления тел. Но это как раз те два пункта, к-рые разделили Аристотеля и Демокрита. В этих пунктах Декарт решительно стал на сторону Аристотеля и тем самым против традиции, к-рая связана с именами Ньютона и Гоббса, против некритич. репродукции древней атомистики. В качестве единственно объективных форм действительности здесь признаются только пространственно-геометрич. формы чувственно созерцаемых тел и отношения тел в пространстве и времени, выражаемые числами. Поэтому категория К. становится здесь центр. категорией мировоззрения и метода. Декарт ставит проблему К. в "Правилах для руководства ума". Прежде всего, он обращает внимание на отношение математич. форм выражения К. к реальному предмету математич. исследования. Солидаризируясь с Демокритом и Аристотелем, Декарт возражает против представления, будто число и величина и далее – точка, линия и поверхность, представляют собой нечто действительно существующее отдельно от тел. Он выступает здесь против иллюзии, к-рая характерна для профессионально-одностороннего математич. мышления, принимающего субъективный образ предмета за сам предмет. Эта иллюзия замыкает мышление в кругу уже ранее идеализированных свойств подлинного предмета математич. исследования и делает мышление неспособным к действит. приращению математич. знания. Задача теоретически-математич. исследования на почве этой иллюзии неизбежно ограничивается чисто формальными преобразованиями уже ранее полученного знания. В итоге получается, как выражается Декарт, не математик, исследующий реальный предмет, а "счетчик", бессмысленно оперирующий с готовыми знаниями. Декарт подчеркивает, что предметом математич. исследования являются не "числа", "линии", "поверхности" и "объемы", т.е. не та или иная уже известная форма или вид К., а самое реальное К., к-рое и расшифровывается как реальная пространственная и временная определенность тел. Поэтому К. только выражается через число, меру, величину и т.д., но ни в коем случае нельзя сказать, что К. это и есть число, мера, величина и пр. Это значило бы принять математич. средства выражения К. как предмета математики за самый предмет и превратиться из математика в "счетчика". "Счетчик" просто заучивает словесно-знаковые формулы математики, не умея соотнести их с тем реальным предметом, в исследовании к-рого они возникли и зафиксированы. Поэтому реальный предмет загорожен от счетчика непроницаемой для его умств. взора стеной слов, знаков, с к-рыми он и манипулирует, постоянно принимая слова за предметы, сочетая и разделяя их по правилам, заданным ему др. людьми как штампы, как догмы, проверить и понять к-рые он не в состоянии. Различение, к-рое проводится между "протяжением" и "телом", счетчик принимает за реальное различие между двумя вещами. "...Большинство придерживается ложного мнения, что протяжение содержит в себе нечто отличное от того, что обладает протяжением...", – т.е. от протяженного тела (Декарт Р., Избр. произв., M., 1950, с. 148). Для ума счетчика характерно, что он, встречая три слова, выражающих одну и ту же вещь, строит в своем воображении три разные вещи и никак не понимает, как и почему эти три вещи связаны между собой. Поэтому-то "очень важно различать выражения, в которых слова протяжение, форма, число, поверхность, линия, точка, единица и др. имеют столь строгое значение, что иногда исключают из себя даже то, от чего они реально не отличаются, напр., когда говорят, что п р о т я ж е н и е или фигура не есть тело, число не есть сочтенная вещь, поверхность есть предел тела, линия есть предел поверхности, точка есть предел линии, единица не есть к о л и ч е с т в о и т.д. Все такие положения и другие, подобные им, должны быть совершенно удалены из воображения, как бы они ни были истинны" (там же, с. 148–49). Поэтому как протяжение, так и К. не следует представлять себе в виде нек-рой "вещи", существующей реально отдельно от протяженных тел, находящихся в тех или иных отношениях друг к другу. "Нужно обратить особое внимание на то, что во всех других положениях, где эти названия хотя и удерживают то же самое значение и таким же образом абстрагируются от предметов, но не исключают, однако, или не отрицают ничего в той вещи, от которой они реально не отличаются, мы можем и должны прибегать к помощи воображения, ибо если интеллект имеет дело только с тем, что обозначается словом, то воображение должно представлять себе действительную идею вещи, для того чтобы интеллект мог по мере надобности обращаться и к другим свойствам, которые не выражены в названии, и опрометчиво не считал бы их исключенными. Так, например, если речь идет о числе, мы представляем себе какой-нибудь предмет, измеряемый многими единицами, но хотя наш интеллект мыслит здесь только о множественности этого предмета, мы, тем не менее, должны остерегаться, чтобы он не сделал вывода, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства, – чистейший вздор, к которому они не питали бы такого доверия, если бы не считали число отличным от исчисляемой вещи" (там же, с. 149). Данное рассуждение Декарт продолжает далее и по отношению к "фигуре", "величине" и т.д. Здесь, как и везде, Декарт предполагает понимание материи (телесной субстанции), как тождественной с протяженностью. Поэтому и К. есть в общем и целом одно и то же, что и материя, только рассматриваемая под аспектом ее численной измеримости; иными словами, К. есть численно измеримое протяжение. Оспаривая схоластич. определение материи, Декарт говорит, что все трудности, испытываемые философами в вопросе о материи, происходят "...только оттого, что они хотят отличать материю от ее собственного количества и ее внешней протяженности, то есть от ее свойства занимать пространство" (там же, с. 196). Собственное понимание Декарт формулирует так: "...Количество описанной мною материи не отличается от численно измеримой субстанции", "истинной формой и сущностью" к-рой является протяженность и ее свойство занимать пространство (см. тамже). Спиноза, излагая философию Декарта, также формулирует в числе ее аксиоматич. определений ту мысль, что протяжение не есть что-либо отличное от К. (Quantitas) (см. "Принципы философии Декарта", ч. 2, определение 1). С этой идеей как раз и связана у Декарта идея "всеобщей математики", лишь частями к-рой должны являться арифметика и геометрия, исследующие только частные виды К., т.е. телесной субстанции, понимаемой как безграничная протяженность. Именно этот взгляд позволил Декарту разорвать узкие рамки предшествующей и современной ему математики и вывести математику в принципиально новые области исследования, заложить основы аналитич. геометрии, дифференциального и интегрального исчисления и т.д. Принципиально тот же, глубоко верный в филос. отношении, но парадоксальный для узко-формально мысливших математиков взгляд на природу К.развивал и Спиноза. "„;Количество представляется нами двояким образом: абстрактно или поверхностно, а именно, как мы его воображаем, или же как субстанция, что может быть сделано только интеллектом. Таким образом, если мы рассматриваем количество, как оно существует в воображении, что бывает часто и гораздо легче, то мы находим его конечным, делимым и состоящим из частей; если же мы рассматриваем его, как оно существует в интеллекте, и представляем его как субстанцию, что очень трудно, то мы находим его бесконечным, единым и неделимым. Это будет достаточно ясно для каждого, кто умеет различать между воображением и интеллектом“. – "Этика", ч. 1, теорема 15-я, схолия..." (цит. по кн.: Гегель, Наука логики, в кн.: Соч., т. 5, М., 1937, с. 202; см. также Б. Спиноза, Избр. произв., т. 1, М., 1957, с. 376). Данное положение Спинозы на первый взгляд просто воспроизводит позицию элейской школы. Однако Спиноза вовсе не отрицает фактич. разделенности природы в целом (субстанции) на отд. тела. Отд. тела и границы между ними существуют, по Спинозе, отнюдь не только в воображении, а лишь познаются с помощью воображения. Отрицает Спиноза совсем другое, – то представление, будто эта фактич. ограниченность (конечность) отд. тел свидетельствует об их принципиальной, субстанциальной разнородности. Смысл этого рассуждения в том, что реальные границы между телами, служащие, в частности, основанием для математич. выражения (для измерения и счета), суть границы между принципиально однородными частями или границы внутри одной и той же субстанции – внутри естественно-природной материи, а не между материей и чем-то ей противоположным, именно пустотой. Лейбниц, возражавший Декарту и Спинозе по ряду других принципиально важных пунктов, в вопросе об отношении материи и К. выразился хотя и более осторожно, но достаточно определенно: "Не совсем невероятно, что материя и количество суть в действительности одно и то же" (цит. по кн.: Гегель, Наука логики, в кн.: Соч., т. 5, с. 203). Лейбниц соглашается с тем, что величина и фигура суть пространств. определения тела (см. Избр. филос. соч., М., 1908, с. 4). Однако дело сразу же оборачивается по-иному, как только вопрос встает не о пространстве и К. вообще, а об определенном К., об определенной величине и фигуре: "...Из природы тел их о п р е д е л е н н а я величина или фигура объяснена быть не может" (там же, с. 5). Точно также остается без объяснения и движение. Лейбниц делает следующий вывод: "...тела могут иметь определенную фигуру и величину, а также движение, только при предположении невещественного Существа... Но почему это невещественное Существо избрало именно такую, а не иную, величину, фигуру и движение – это можно объяснить лишь в том случае, если Оно разумно, мудро, – в виду красоты вещей, а всемогуще – в виду повиновения их его мановению" (там же, с. 9). Здесь и заключается секрет отношения Лейбница к общей линии механистич. материализма – Гассенди, Декарта, Гоббса и др.: "Я принимаю общее всем этим реставраторам правило, что в телах все должно объяснять только посредством величины, фигуры и движения" (там же, с. 15). Однако количеств. определенность сама требует объяснения и его приходится искать вне тел, вне материи, вне вещества. Тело при этом представляется как нечто само в себе абсолютно неопределенное, неограниченное, сплошное и киселеобразное, к тому же лишенное движения. Поэтому в теле самом по себе нельзя найти основания для счета, для измерения, и математика лишается своего веществ. фундамента. Все различения и границы в телесную субстанцию вносит, посредством движения, разум. В итоге получается такая картина: "Итак, материя есть бытие в пространстве или бытие, сопротяженное с пространством. Движение есть перемена пространства. Фигура же, величина, положение, число и т.д. суть не бытия, реально отличные от пространства, материи и движения, но лишь отношения между пространством, материей и движением и их частями, созданные привзошедшим разумом. Фигуру я определяю как границу протяженного, в е л и ч и н у – как число частей в протяженном. Ч и с л о я определяю как единица + единица + единица и т.д., т.е. как совокупность единиц. П о л о ж е н и е сводится к фигуре, так как оно есть конфигурация нескольких вещей. В р е м я есть не что иное, как величина движения. А так как всякая величина есть число частей, то нет ничего удивительного, что Аристотель определил время как число движения" (там же, с. 32). Итак, все количеств. (пространственные и временные) различия и соотношения между телами – это различия, привнесенные в материю деятельной силой разума. Протяженная, но неопределенная, неразличенная в себе "материя" играет здесь роль экрана, на к-рый проецируются различия, границы и соотношения, заключенные в нематериальном начале, определяющемся в конце концов как монада, как "энтелехия" – субъект "действующей силы". Монада есть подлинная "единица", "единое и неделимое" и тем не менее, заключающая внутри себя все многообразие мира, все его прошлое, настоящее и будущее. Арифметическая же единица делима (дробь). Следовательно, все те количеств. (геометрич. и арифметич.) определения, в к-рых исчерпывается понимание внешнего, телесного мира, суть только внешние способы выражения внутр. определенности монады, имманентной ей "живой силы". Все богатство необходимых математич. истин, т.е. вся количеств. определенность мироздания, заключается, согласно концепции Лейбница, внутри монады, и тем самым в "душе" математика, сопричастной, в силу предустановленной гармонии, к универсальному миропорядку. "И хотя все частные явления природы могут быть объяснены математически и механически тем, кто их понимает, тем не менее, общие начала телесной природы и самой механики носят скорее метафизический, чем геометрический характер, и коренятся скорее в известных неделимых формах и натурах, как причинах явлений, чем в телесной или протяженной массе" (там же, с. 79). Это в общем очень похоже на Платона, на к-рого Лейбниц не устает ссылаться в своей полемике с Декартом, Спинозой и представителями механистич. естествознания. Следующим принципиально важным этапом филос. анализа проблемы К. является нем. классич. философия конца 18 – н