Арифметика

древнейшая математическая дисциплина, наука о свойствах целых чисел и дробей и действиями над ними. Аксиоматизация А. была осуществлена лишь в конце XIX в. прежде всего благодаря усилиям Дж. Пеано. Формальная арифметика многими воспринималась как образец математической дисциплины. В 1899 г. Д. Гильберту удалось построить средствами А. действительных чисел модель евклидовой геометрии. Распространение этой методологии на теорию множеств оказалось затруднительным, особенно в связи с ее многочисленными парадоксами. В этой связи считалось весьма актуальным доказать непротиворечивость А. финитными методами. Но в 1931 г. К. Гёдель доказал невыполнимость этой задачи. В этих условиях пришлось обратиться к ин- финитным методам, используя которые, Г. Генцену, а вслед за ним и целому ряду других ученых, все-таки удалось доказать непротиворечивость А. Впрочем, этот успех не оказал решающего влияния на судьбы метаматематики. Дело в частности в том, что концептуальный потенциал А. недостаточен для построения моделей наиболее развитых современных математических систем, например таких, как топология или теория категорий. Вопрос о непротиворечивости А. по настоящее время остается чрезвычайно дискуссионным. Суть в том, что не существует единой общепризнанной формулировки А., но в каждой из них вопрос о непротиворечивости А. оказывается вполне актуальным. В одних случаях он решаем, в других — нет. Некоторые доказательства непротиворечивости А. настолько громоздки, что их использование уже из-за одного этого факта является затруднительным. Констатируем: многочисленные анализы проблемы непротиворечивости А. нуждаются в философском осмыслении.