АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

теория, организованная (построенная) согласно аксиоматическому методу. Первой такой теорией была эллинская геометрия («Начала» Евклида), заложившая традиции, которым следовали по существу два тысячелетия. Аксиоматическая теория Евклида была содержательной—пространственная интуиция. и логика выступали в ней на равных правах. Лишь в конце 19 в. эта традиция была нарушена (М. Пасш и Д. Гильберт). Хотя содержательной аксиоматике до сих пор стараются следовать в неформализованных теориях (напр., общая систематика А. А. Любищева), в математике перешли от содержательной аксиоматики к модельной и далее к формальной. В модельной аксиоматической теории свойства описываемых объектов выражаются на математическом языке с использованием некоторых стандартных математических понятий, напр. понятия числа. Таковы, в частности,, современные аксиоматические изложения механики, электродинамики (законы Максвелла) и теории относительности. В формальной аксиоматической системе точно определены и язык, и правила вывода, и аксиомы. В принципе такая система не содержит никаких внешних ссылок (в том числе на смысл изучаемых в ней объектов) и является исчислением, с которым можно оперировать чисто механически. Но необходимо помнить, что в математических науках принципиальная возможность всегда означает практическую невозможность либо нецелесообразность. Поэтому с формальной аксиоматикой всегда манипулируют на основе некоторой интерпретации, обращаясь с формальной системой как с модельной. В данном случае преимуществом формальной системы является возможность в любой момент опуститься на уровень формального манипулирования для перепроверки результатов. Еще одним преимуществом формальных аксиоматик является возможность нескольких разнородных классов моделей, позволяющих взаимно перепроверять полученные выводы, не опускаясь до чисто формального манипулирования. Таким свойством обладает, напр., интуиционистская логика.
Н. Н. Непейвода